【集合】命題及其關系

【學習目標】

1．了解命題、真命題、假命題的概念，能夠指出一個命題的條件和結論；

2．了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關系，能判斷四種命題的真假；

3．能熟練判斷命題的真假性.[來

源:學科網(wǎng)]

【要點梳理】

要點一、命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題.

要點詮釋：

1. 不是任何語句都是命題，不能確定真假的語句不是命題，如“”，“2不一定大于3”.

2. 只有能夠判斷真假的陳述句才是命題.祈使句，疑問句，感嘆句都不是命題，例如：“起立”、“是有理數(shù)嗎？”、“今天天氣真好！”等.

3. 語句能否確定真假是判斷其是否是命題的關鍵.一個命題要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱兩可.命題陳述了我們所思考的對象具有某種屬性，或者不具有某種屬性，這類似于集合中元素的確定性.

要點二、命題的結構

命題可以改寫成“若，則”的形式，或“如果，那么”的形式.其中是命題的條件，是命題的結論.

要點詮釋：

1. 一般地，命題“若p則q”中的p為命題的條件q為命題的結論.

2. 有些問題中需要明確指出條件p和q各是什么，因此需要將命題改寫為“若p則q”的形式.

要點三、四種命題

原命題：“若，則”；

逆命題：“若，則”；實質(zhì)是將原命題的條件和結論互相交換位置；

否命題：“若非，則非”，或“若，則”；實質(zhì)是將原命題的條件和結論兩者分別否定；

逆否命題：“若非，則非”，或“若，則”；實質(zhì)是將原命題的條件和結論兩者分別否定后再換位或?qū)⒃�命題的條件和結論換位后再分別否定.

要點詮釋：

對于一般的數(shù)學命題，要先將其改寫為“若，則”的形式，然后才方便寫出其他形式的命題.

要點四、四種命題之間的關系

四種命題之間的構成關系

四種命題之間的真值關系

要點詮釋：

（1）互為逆否命題的兩個命題同真同假；

（2）互為逆命題或互為否命題的兩個命題的真假無必然聯(lián)系.

【典型例題】

類型一：命題的概念

例1.判斷下列語句中哪些是命題，是命題的判斷其是真命題還是假命題.

（1）末位是0的整數(shù)能被5整除；

（2）平行四邊形的對角線相等且互相平分；

（3）兩直線平行，則斜率相等；

（4）△ABC中，若∠A=∠B，則sinA=sinB；

（5）余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？

【思路點撥】依據(jù)命題的定義判斷。

【解析】

（1）是命題，真命題；

（2）是命題，假命題；

（3）是命題，假命題；

（4）是命題，真命題；

（5）不是命題.這是一個疑問句，沒有做出判斷.

【總結升華】對于命題真假的判斷應根據(jù)已學習過的已有定義、定理、公理及已有結論等進行.

舉一反三：

【變式1】判斷下列語句是否為命題？若是，判斷其真假.

(1)；　　　

(2) 當時, ；　　

(3) 你是男生嗎？　

(4) 求證：是無理數(shù).

【答案】

(1) 不是命題；由于無法確定變量的值，所以無法確定其真假．

(2) 是命題；假命題．　

(3) 不是命題；這是一個疑問句，沒有做出判斷．

(4) 不是命題；這是一個祈使句，沒有做出判斷．

【變式2】下列語句中是命題的是（    ）

A．    B．{0}∈N    C．元素與集合    D．真子集

【答案】B

【變式3】判斷下列語句是否是命題.

（1）這是一棵大樹；[來源:學#科#網(wǎng)]

（2）sin30=；

（3）x2+1>0；

（4）梯形是平行四邊形.

【答案】

（1）不是，無法確定“大”；（2）是；（3）是；（4）是.

類型二：命題的結構

例2.指出下面命題的條件和結論.

（1）對頂角相等；

（2） 四邊相等的四邊形是菱形.

【思路點撥】

命題都是一定的條件下推出的一定的結果，所以據(jù)此確定哪是條件，哪是結論。

【解析】（1）原命題寫成：若兩個角是對頂角，則這兩個角相等.條件：兩個角是對頂角；結論：這兩個角相等.[來源:學,科,網(wǎng)Z,X,X,K]

（2）原命題可寫成：如果一個四邊形的四邊相等，則這個四邊形是菱形.條件：一個四邊形的四邊相等；結論：這個四邊形是菱形.

【總結升華】要寫出一個命題的條件和結論，一般是把一個命題改寫成“如果p，那么q”的形式，其中p是條件，q是結論.

舉一反三：

【變式】指出下列命題的條件p和結論q.

（1）若空間四邊形為正四面體，則頂點在底面上的射影為底面的中心；

（2）若兩條直線a和b都和直線c平行，則直線a和直線b平行.

【答案】[來源:Zxxk.Com]

（1）條件p：空間四邊形為正四面體；結論q：頂點在底面上的射影為底面的中心.

（2）條件p：兩直線a、b都和直線c平行；結論q：直線a和b平行.

例3. 將下列命題改寫為“若p，則q”的形式，并判斷其真假.

（1）垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；

（2）對角線相等的平面四邊形是矩形.

【解析】

（1）“若兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面平行”，真命題.

（2）“若一個平面四邊形的兩條對角線相等，則這個四邊形是矩形”，假命題.

【總結升華】有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，但適當?shù)母膶懞罂梢詫懗伞叭魀，則q”的形式，那么就能很清楚地看出其條件和結論.

舉一反三：

【變式1】把命題“6是12和24的公約數(shù)”寫成若p則q的形式.

【答案】若一個數(shù)等于6，則這個數(shù)是12和24的公約數(shù).

【變式2】將下列命題改寫成“若p則q”的形式，并判斷真假.

（1）偶數(shù)能被2整除；

（2）奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；

（3）同弧所對的圓周角不相等.

【答案】

（1）若一個數(shù)是偶數(shù)，則它能被2整除；真命題.

（2）若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖象關于原點對稱；真命題.[來源:學科網(wǎng)ZXXK]

（3）若兩個角為同弧所對的圓周角，則它們不相等；假命題.

類型三：命題的四種形式

例4.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷四種命題的真假.

（1）若，則；

（2）若，則；

（3）若一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形有兩個角相等.

【思路點撥】

由原命題寫出逆命題，否命題和逆否命題時注意規(guī)律：

①交換原命題的條件和結論.所得命題就是逆命題.

②同時否定原命題的條件和結論所得命題就是否命題.

③交換原命題的條件和結論并且同時否定.所得命題就是逆否命題.

【解析】

（1）

原命題：若，則；       假命題

逆命題：若，則；       真命題

否命題：若，則；       真命題

逆否命題：若，則.       假命題

（2）

原命題：若，則；      真命題

逆命題：若，則；      假命題

否命題：若，則；      假命題

逆否命題：若，則.     真命題

（3）

原命題：若一個三角形有兩條邊相等，則這個三角形有兩個角相等；真命題

逆命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等；真命題

否命題：若一個三角形沒有兩條邊相等，則這個三角形沒有兩個角相等；真命題

逆否命題：若一個三角形沒有兩個角相等，則這個三角形沒有兩條邊相等.   真命題

【總結升華】

①一般地，先將命題改寫成“若…，則…”的形式，再寫出其他命題形式；某些命題存在大前提，寫其它命題時應注意保留.

②互為逆否命題的兩個命題是等價的，同為真或同為假，因此在判定真假時，只需判定二者中的一個．

舉一反三：

【變式】寫出下列的命題的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.

（1）對頂角相等；       

（2）空集A是非空集合B的真子集；

【答案】

（1）

原命題：如果兩角是對頂角，那么這兩角相等（真命題）；

逆命題：如果兩角相等，那么兩角是對頂角（假命題）；

否命題：如果兩角不是對頂角，那么這兩角不相等（假命題）；

逆否命題：如果兩角不相等，那么這兩角不是對頂角（真命題）.[來源:Z*xx*k.Com]

（2）

原命題：若A是空集，則A是非空集合B的真子集（真命題）；

逆命題：若A是非空集合B的真子集，則A是空集（假命題）；

否命題：若A不是空集，則A不是非空集合B的真子集（假命題）；

逆否命題：若A不是非空集合B的真子集，則A不是空集（真命題）.

例5．設命題: 若，則關于的方程有實數(shù)根．試寫出它的逆命題，否命題和逆否命題，并分別判斷其真假．

【思路點撥】

判斷原命題，逆命題，否命題，逆否命題的真假時，只要判斷原命題與逆命題的真假，就可知道其它兩個命題的真假，不必一一判斷.

【解析】

逆命題：若關于的方程有實數(shù)根，則.

否命題：若,則關于的方程無實數(shù)根．

逆否命題：若關于的方程無實數(shù)根，則.

①先判斷原命題和逆否命題的真假.

∵, ∴ 當時，方程有實數(shù)根．

∵當時，成立，∴ 方程有實數(shù)根，∴原命題為真，逆否命題也為真．

②判斷逆命題和否命題的真假

當方程有實數(shù)根，即時，推不出，∴逆命題為假，否命題也為假．

【總結升華】

先將命題中的條件等價轉(zhuǎn)化，然后關于不等式的集合的命題可以借助于集合的韋恩圖解決.

舉一反三：

【變式1】試寫出下列命題的逆命題，否命題和逆否命題，并分別判斷其真假．

（1）當集合，時，若，則.

（2）若，則，  （3）若，則

【答案】

（1）

原命題：當集合，時，若，則（假命題）；

逆命題：當集合，時，若，則（真命題）；

否命題：當集合，時，若，則（真命題）；

逆否命題：當集合，時，若，則（假命題）.

（2）

原命題：若，則（真命題）；

逆命題：若，則（假命題）；[來源:學#科#網(wǎng)]

否命題：若，則（假命題）；

逆否命題：若，則（真命題）.

（3）

原命題：若，則（假命題）；

逆命題：若，則（真命題）；

否命題：若，則（真命題）；

逆否命題：若，則（假命題）.

【變式2】已知命題：“如果，那么關于的不等式的解集是空集”，寫出它的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.

【答案】

逆命題：如果關于的不等式的解集是空集，那么；

否命題：如果,那么關于的不等式的解集不是空集；

逆否命題：如果關于的不等式的解集不是空集，那么.

①       判斷原命題的真假. 當時

故的解集為，故原命題為真，則逆否命題亦真.

② 對于逆命題，當?shù)慕鉃榭占瘯r，

先研究得，滿足題意，

這樣與矛盾，故命題為假，而否命題與逆命題互為逆否命題，故否命題亦為假.