人教版高中數(shù)學(xué)必修四 知識(shí)點(diǎn)精講視頻
第一章
1.高中數(shù)學(xué)必修4《第一章 三角函數(shù)》
2.高中數(shù)學(xué)必修4《1 .1 任意角和弧度制》
3.高中數(shù)學(xué)必修4《任意角》微課
4.高中數(shù)學(xué)必修4《任意角》精講
5.高中數(shù)學(xué)必修4《1.2 任意角的三角函數(shù)》
6.高中數(shù)學(xué)必修4《三角學(xué)與天文學(xué)》
7.高中數(shù)學(xué)必修4《1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》
8.高中數(shù)學(xué)必修4《1.4 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》
9.高中數(shù)學(xué)必修4《探究與發(fā)現(xiàn) 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）及函y=Acos（ωx+φ）》
10.高中數(shù)學(xué)必修4《1.5 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》
11.高中數(shù)學(xué)必修4《閱讀與思考 振幅、周期、頻率、相位》
12.高中數(shù)學(xué)必修4《1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用》
第二章
1.高中數(shù)學(xué)必修4《第二章 平面向量》
2.高中數(shù)學(xué)必修4《2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念》
3.高中數(shù)學(xué)必修4《閱讀與思考 向量及向量符號(hào)的由來(lái)》
4.高中數(shù)學(xué)必修4《2.2 平面向量的線性運(yùn)算》
5.高中數(shù)學(xué)必修4《2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》 精講
6.高中數(shù)學(xué)必修4《2.3 平面向量的基本定及坐標(biāo)表示 》黃岡名師講課
7.高中數(shù)學(xué)必修4《2.4 平面向量的數(shù)量積》
8.高中數(shù)學(xué)必修4《2.5 平面向量應(yīng)用舉例》
第三章
1.高中數(shù)學(xué)必修4《第三章 三角恒等變換》
2.高中數(shù)學(xué)必修4《3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》
3.高中數(shù)學(xué)必修4《3.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換》
1.1．1 任意角
1．角的有關(guān)概念：
①角的定義：
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．
②角的名稱：
圖片
③角的分類：
圖片
④注意：
⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡(jiǎn)化成“α ”；
⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念經(jīng)過(guò)推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角．
圖片
2．象限角的概念：
①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．
1.1.2弧度制（一）
1．定 義
我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略．
弧度制的性質(zhì)：
圖片
5．常規(guī)寫(xiě)法：
① 用弧度數(shù)表示角時(shí),常常把弧度數(shù)寫(xiě)成多少π 的形式, 不必寫(xiě)成小數(shù)．
② 弧度與角度不能混用．
6．特殊角的弧度
圖片
弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積．
4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）
1. 三角函數(shù)的定義
2. 誘導(dǎo)公式
當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。
1．有向線段：
坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。
規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。
有向線段：帶有方向的線段。
2．三角函數(shù)線的定義：
圖片
圖片 圖片 圖片
我們就分別稱有向線段圖片為正弦線、余弦線、正切線。
說(shuō)明：
（1）三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與a的終邊的交點(diǎn)。
（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值。
（4）三條有向線段的書(shū)寫(xiě)：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。
4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）
1．三角函數(shù)定義
函 數(shù)
定 義 域
值 域
2．三角函數(shù)的定義域、值域
注意：
(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.
(2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無(wú)關(guān).
(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.
(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:
銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過(guò)程.
(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.
3．例題分析
例1．求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值： （通過(guò)本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以
， ， ， 不存在。
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以
， ， ， 不存在，
（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以
， ， 不存在， ，
例2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)函數(shù)值。
解：因?yàn)椋裕谑?/p>
； ；
； ．
例3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)三角函數(shù)值。
解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，
當(dāng)；；
當(dāng)；
； ．
4．三角函數(shù)的符號(hào)
由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：
①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）；
②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）；
③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）．
說(shuō)明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。
5．誘導(dǎo)公式
由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：
，
，其中．
，
這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問(wèn)題．
4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
1. 由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：
（1）商數(shù)關(guān)系： （2）平方關(guān)系：
說(shuō)明：
①注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如等；
②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如
；
③對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用），如：
， ， 等。
總結(jié)：
1. 已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。
2. 解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①?zèng)]有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開(kāi)平方時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根。
小結(jié)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是：
（1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；
（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；
（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開(kāi)出來(lái)；
（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來(lái)，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常將式子中的“1”作巧妙的變形，
1．3誘導(dǎo)公式
1、誘導(dǎo)公式（五）
2、誘導(dǎo)公式（六）
總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號(hào)看象限
小結(jié)：
①三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過(guò)程圖：
②三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過(guò)程口訣：
負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.
1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象
1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)
（1）函數(shù)y=sinx的圖象
第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)，以為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值—弧度制下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)）.
第二步：在單位圓中畫(huà)出對(duì)應(yīng)于角，，,…，2π的正弦線正弦線（等價(jià)于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.
第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．
根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.
把角x的正弦線平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.
（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象
根據(jù)誘導(dǎo)公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.
正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．
2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）：
正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函數(shù)y=cosx xÎ[0,2p]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)
1．周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)f (x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有：f (x+T)=f (x)那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。
問(wèn)題：（1）對(duì)于函數(shù)，有，能否說(shuō)是它的周期？
（2）正弦函數(shù)，是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函數(shù)的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？
（是，其原因?yàn)椋海?/p>
2、說(shuō)明：
1°周期函數(shù)xÎ定義域M，則必有x+TÎM,且若T>0則定義域無(wú)上界；T<0則定義域無(wú)下界；2°“每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)1f (x0)）
3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p （一般稱為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；
判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？ （沒(méi)有最小正周期）
說(shuō)明：（1）一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，（其中 為常數(shù)，且，）的周期；
（2）若，如：①；②；③，．
則這三個(gè)函數(shù)的周期又是什么？
一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，的周期
1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)
1. 奇偶性
(1)余弦函數(shù)的圖形
當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù)y取同一值。
(2)正弦函數(shù)的圖形
2.單調(diào)性
從y＝sinx，x∈［－］的圖象上可看出：
當(dāng)x∈［－，］時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.
當(dāng)x∈［，］時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.
結(jié)合上述周期性可知：
正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；
在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
3.有關(guān)對(duì)稱軸
觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知
y=sinx的對(duì)稱軸為x= k∈Z y=cosx的對(duì)稱軸為x= k∈Z
1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
1．正切函數(shù)的定義域
2．正切函數(shù)是周期函數(shù)
，
∴是的一個(gè)周期。
是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來(lái)判斷。
3．作，的圖象
說(shuō)明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比小，正切函數(shù)的最小正周期是；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)
，且的圖象，稱“正切曲線”。
（3）正切曲線是由被相互平行的直線所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的。
4．正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：；
（2）值域：R 觀察：當(dāng)從小于，時(shí)，
當(dāng)從大于，時(shí)，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；
（5）單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。
1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象（二）
函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)：
A：這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.
T：
f ：
稱為“相位” .
x=0時(shí)的相位，稱為“初相”.
2.1.1 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
①用有向線段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；
③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；④向量的大小―長(zhǎng)度稱為向量的模，記作||.
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
向量與有向線段的區(qū)別：
（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.
②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.
說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.1.2 相等向量與共線向量
1、相等向量定義：
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說(shuō)明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).
2、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.
說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；
（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
2.2.1 向量的加法運(yùn)算及其幾何意義
１、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 規(guī)定： a+ 0-= 0 + a
（1）兩向量的和仍是一個(gè)向量；
（2）當(dāng)向量與不共線時(shí)：
當(dāng)向量與不共線時(shí)，+的方向不同向，且|+|<||+||；
當(dāng)與同向時(shí)，則+、、同向，且|+|=||+||，
當(dāng)與反向時(shí)，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；
若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個(gè)向量連加
3．加法的交換律和平行四邊形法則
1）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）
2）向量加法的交換律：+=+
六、備用習(xí)題 思考：你能用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？
2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1） “相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作 -a
（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0
如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0
（3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：a - b = a + (-b) 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：
若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b
∵(a-b) + b = a + (-b)+ b = a + 0 = a
作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，
作= a， = b 則= a - b
即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.
注意：1°表示a - b. 強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)
2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算
1.(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；
(4) 基底給定時(shí)，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
2．向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=0°，、同向，當(dāng)=180°，、反向，當(dāng)=90°，與垂直，記作⊥。
3．平面向量的坐標(biāo)表示
（1）正交分解：把向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量。
如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得
…………1
我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………2
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為. 特別地，，，.
如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定.
設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.
2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1） 若，，則，
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
（2）若和實(shí)數(shù)，則.
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
設(shè)基底為、，則，即
實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
（3） 若，，則
=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)
一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，
則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（0≤θ≤π）.
并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.
（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.
（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在實(shí)數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.
（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c
如右圖：a×b = |a||b|cosb =|b||OA|，b×c = |b||c|cosa =|b||OA|
T a×b = b×c 但a 1 c
(5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c)
顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.
2．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；
當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值； 當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；
當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.
3．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.
兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，
1、a^b Û a×b= 0
2、當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a||b|； 當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a||b|.
特別的a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq =
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:
1．交換律：a × b = b × a
證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b =|a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a
2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)×b=(a×b)= a×(b)
證：若> 0，(a)×b=|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，
若< 0，(a)×b=|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.
3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c
在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2
∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b|cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c
說(shuō)明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即
2. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式
（1）設(shè)，則或.
（2）如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，
那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)
3．向量垂直的判定
設(shè)，，則
4．兩向量夾角的余弦（）
cosq =
2.5.1平面幾何中的向量方法
運(yùn)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：
(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；
(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
3.1.1 兩角差的余弦公式
兩角差的余弦公式：
3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（分式分子、分母同時(shí)除以，得到．
注意：
將、、稱為和角公式，、、稱為差角公式。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
公式推導(dǎo)：
變形：
注意：
3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（一）
代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對(duì)于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)．
3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換（二）
(1) 二倍角公式：
(2)二倍角變式：
(3)三角變形技巧和代數(shù)變形技巧
常見(jiàn)的三角變形技巧有
①切割化弦；②“1”的變用；③統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)，統(tǒng)一形式等等．
