第11章  平面直角坐標(biāo)系

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線,垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(a,b)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.x軸和y軸把坐標(biāo)平面分成四個(gè)部分,分別叫做第一、二、三、四象限.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)分別為(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).

【溫馨提示】

1.點(diǎn)的坐標(biāo)是用一個(gè)序?qū)崝?shù)對(duì)表示的,有順序要求,即點(diǎn)(a,b)和(b,a)一般不表示同一個(gè)點(diǎn).

2.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限,其縱橫坐標(biāo)的積為0.

3.利用平面直角坐標(biāo)系描述某些地理位置，坐標(biāo)系的確定是關(guān)鍵,有些是自由確定,有些要根據(jù)題目所給條件進(jìn)行確定.

【方法技巧】

1.在根據(jù)點(diǎn)的位置確定字母的取值范圍時(shí),根據(jù)題目條件得到不等式組是關(guān)鍵.

2.在坐標(biāo)系中,求多邊形的面積,常通過向坐標(biāo)軸作垂線,將多邊形分割成直角三角形、直角梯形、長(zhǎng)方形等的面積和繼續(xù)計(jì)算.

專題一  點(diǎn)的位置與不等式間的關(guān)系

1.已知點(diǎn)M（3a－9，1－a）在第三象限，且它的坐標(biāo)都是整數(shù)，則a =（    ）.

A.1         B.2         C.3       D.0

2.在平面直角坐標(biāo)系中，如果mn＞0，那么點(diǎn)(m，∣n∣)一定在（   ）.

A.第一象限或第二象限          B.第一象限或第三象限

C.第二象限或第四象限          D.第三象限或第四象限

3.若點(diǎn)A（a-1,a）在第二象限，則點(diǎn)B（,a-2）在第      象限.

專題二  點(diǎn)的坐標(biāo)中的開放題

4.若點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x＋y＝xy，則稱點(diǎn)P為“和諧點(diǎn)”。請(qǐng)寫出一個(gè)“和諧點(diǎn)”的坐標(biāo)，答：     .

5.已知點(diǎn)P在第四象限，它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的和為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)可以是       （只要寫出一個(gè)符合條件的坐標(biāo)即可）.

專題三  點(diǎn)的坐標(biāo)中的規(guī)律探究題

6.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（0，1），然后接著按圖12-1-10中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位，那么第35秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)是（   ）.

A.(4，0)  B.(5，0)  C.(0，5)  D.(5，5)

7.在直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．且規(guī)定，正方形的內(nèi)部不包含邊界上的點(diǎn)．觀察如圖所示的中心在原點(diǎn)、一邊平行于x軸的正方形：邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部有1個(gè)整點(diǎn)，邊長(zhǎng)為3的正方形內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)，…則邊長(zhǎng)為8的正方形內(nèi)部的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(    )

    A．64．   B．49．     C．36．　　D．25．

專題四  點(diǎn)的坐標(biāo)中的閱讀理解題

8.一只青蛙在平面直角坐標(biāo)系上從點(diǎn)（1，1）開始，可以按照如下兩種方式跳躍：

①能從任意一點(diǎn)（a，b），跳到點(diǎn)（2a，b）或（a，2b）；

②對(duì)于點(diǎn)（a，b），如果a＞b，則能從（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，則能從（a，b）跳到（a，b－a）．

例如，按照上述跳躍方式，這只青蛙能夠到達(dá)點(diǎn)（3，1），跳躍的一種路徑為：

（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．

請(qǐng)你思考：這只青蛙按照規(guī)定的兩種方式跳躍，能到達(dá)下列各點(diǎn)嗎？如果能，請(qǐng)分別給出從點(diǎn)（1，1）出發(fā)到指定點(diǎn)的路徑；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（１）（3,　5）；　（２）（12，60）；　（3）（200，5）；　（4）（200，6）．

第12章  一次函數(shù)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x在它允許取值范圍內(nèi)的每一個(gè)值,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù).

2.函數(shù)的表示方法一般有三種:(1)解析式法;(2)列表法;(3)圖象法.

3.在函數(shù)解析式中,用自變量的值帶入求得的值叫做函數(shù)值.函數(shù)自變量的取值由所給函數(shù)解析式確定,要保證函數(shù)解析式有意義.

4.函數(shù)y=kx+b(k≠0)叫做一次函數(shù),當(dāng)b=0時(shí),叫做正比例函數(shù).

5.一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,其位置是由k和b來(lái)確定的.只要知道一次函數(shù)圖象兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),就可以畫出該函數(shù)的圖象.

6.一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí),y隨著x的增大而增大(圖象是自左向右上升的).當(dāng)k＜0時(shí),y隨著x的增大而減小(圖象是自左向右下降的).

7.求一次函數(shù)的解析式常用的方法是待定系數(shù)法.

【溫馨提示】

1.常量與變量是相對(duì)于一個(gè)變化過程而言,變化過程不同,它們可能發(fā)生變化,要能具體問題具體分析,防止因知識(shí)遷移發(fā)生錯(cuò)誤.

2.函數(shù)的三種表示方法之間是可以相互轉(zhuǎn)化的,在具體的問題中,應(yīng)選擇合理的函數(shù)表示方法.

3.弄清一次函數(shù)和正比例函數(shù)的關(guān)系,正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情形,即正比例函數(shù)是一次函數(shù),但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

4.一次函數(shù)的性質(zhì)可借助函數(shù)的圖象直觀得到,注意“數(shù)形結(jié)合”思想的合理利用.

5.確定一次函數(shù)解析式的基本方法是待定系數(shù)法,其實(shí)質(zhì)是二元一次方程組知識(shí)的應(yīng)用.除此以外,還可以根據(jù)題目所給基本數(shù)量關(guān)系或數(shù)學(xué)公式列出一次函數(shù)的解析式.

【方法技巧】

1.函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚�(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,判斷一個(gè)關(guān)系式是不是函數(shù)關(guān)系,關(guān)鍵是看自變量取一個(gè)值后,是不是只有唯一值與其對(duì)應(yīng).

2.自變量的取值范圍主要考慮:(1)分母中有自變量時(shí),應(yīng)使分母不能為零;(2)當(dāng)含有開偶次方的式子時(shí),要保證被開方數(shù)非負(fù);(3)自變量的取值要使實(shí)際問題有意義.

3.直線y=kx+b的位置是由k和b的符號(hào)決定的,其中k決定直線從左到右是呈上升趨勢(shì)還是下降趨勢(shì),b決定直線與y軸的交點(diǎn)位置.

4.用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的一般步驟是:(1)設(shè)含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式;(2)把已知條件代入解析式,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程(組);(3)解方程(組),得到待定系數(shù);(4)將求得的待定系數(shù)的值代回所設(shè)的解析式.

專題一  函數(shù)圖象信息題

1.下列各圖中，是函數(shù)圖象的是（  ）．

2.在今年我市初中學(xué)業(yè)水平考試體育學(xué)科的女子800米耐力測(cè)試中,某考點(diǎn)同時(shí)起跑的小瑩和小梅所跑的路程S（米）與所用時(shí)間 t （秒）之間的函數(shù)圖象分別為線段OA和折線OBCD . 下列說(shuō)法正確的是(    ).

A.小瑩的速度隨時(shí)間的增大而增大

B.小梅的平均速度比小瑩的平均速度大

C.在起跑后 180 秒時(shí)，兩人相遇

D.在起跑后 50 秒時(shí)，小梅在小瑩的前面

專題二  函數(shù)中的閱讀理解題

4.在密碼學(xué)中，直接可以看到內(nèi)容的為明碼，對(duì)明碼進(jìn)行某種處理后得到的內(nèi)容為密碼.有一種密碼，將英文26個(gè)字母a，b，c，…，z（不論大小寫）依次對(duì)應(yīng)1，2，3，…，26這26個(gè)自然數(shù)（見表格）.當(dāng)明碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)x為奇數(shù)時(shí)，密碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)y＝；當(dāng)明碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)x為偶數(shù)時(shí)，密碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)y＝+13.

字母

a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m

序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

字母

n

o

p

q

r

s

t

u

v

w

x

y

z

序號(hào)

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

按上述規(guī)定，將明碼“l(fā)ove”譯成密碼是（    ）.

A.gawq          B.shxc            C.sdri             D.love

5.閱讀下面材料，再回答問題：

    一般地，如果函數(shù)x=f（x）對(duì)于自變量取值范圍的的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函數(shù)；如果y=f（x）對(duì)于自變量取值范圍內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函數(shù)．

    例如：f（x）=x3+x，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x），即f（-x）=-f（x），因此f（x）=x3+x為奇偶數(shù)．

    又如f（x）=│x│，當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，f（-x）=│-x│=│x│=f（x），即f（-x）=f（x），因此f（x）=│x│是偶函數(shù)．

問題（1）：下列函數(shù)中：

    ①y=x4；②y=x2+1；③y=；④y=；⑤y=x+．

    奇函數(shù)有_________，偶函數(shù)有________（只填序號(hào)）．

問題（2）：請(qǐng)你再分別寫出一個(gè)奇函數(shù)、一個(gè)偶函數(shù)．

 專題三  函數(shù)中的規(guī)律探究題

6.觀察圖1至圖5中小黑點(diǎn)的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第n個(gè)圖中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)為y.

(1)填表：

n

1

2

3

4

5

6

···

y

1

3

7

···

(2)用函數(shù)解析式來(lái)表示y與n之間的關(guān)系.

  專題四  一次函數(shù)解析式的確定

7.小明受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用量筒和體積相同的小球進(jìn)行了如下操作：

請(qǐng)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：

（1）放入一個(gè)小球量筒中水面升高_(dá)______cm；

（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）與小球個(gè)數(shù)x（個(gè)）之間的一次函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）量筒中至少放入幾個(gè)小球時(shí)有水溢出？

專題五  一次函數(shù)中的開放性問題

8. “一根彈簧原長(zhǎng)10cm,在彈性限度內(nèi)最多可掛質(zhì)量為5kg的物體，掛上物體后彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛物體的質(zhì)量成正比，                 ，則彈簧的總長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=10+0.5x  (0≤x≤5).”

王剛同學(xué)在閱讀上面材料時(shí)就發(fā)現(xiàn)部分內(nèi)容被墨跡污染，被污染部分是確定函數(shù)關(guān)系式的一個(gè)條件，你認(rèn)為該條件可以是：                     （只需寫出一個(gè)）．

專題六  一次函數(shù)中的實(shí)驗(yàn)操作題

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，每次向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．

（1）實(shí)驗(yàn)操作：

在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，平移1次后，2次后，3次后可能到達(dá)的點(diǎn)，并把相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)填寫在表格中：

（2）觀察發(fā)現(xiàn)：

任一次平移，點(diǎn)P可能到達(dá)的點(diǎn)在我們學(xué)過的一種函數(shù)的圖象上，如：平移1次后在函數(shù)                的圖象上；平移2次后在函數(shù)               的圖象上……由此我們知道，平移n次后在函數(shù)               的圖象上．（請(qǐng)?zhí)顚懴鄳?yīng)的解析式）

（3）探索運(yùn)用：

點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)經(jīng)過n次平移后，到達(dá)直線上的點(diǎn)Q，且平移的路徑長(zhǎng)不小于50，不超過56，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

12.4  綜合實(shí)踐  一次函數(shù)模型的應(yīng)用

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)y=0時(shí),得方程kx+b=0,其解是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集,相當(dāng)于一次函數(shù)y=kx+b的圖象在x軸上方或下方時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值.

【溫馨提示】

1.借助一次函數(shù)與一元一次方程間的關(guān)系,可以通過解方程的方法得到一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),也可以用一次函數(shù)的圖象求一元一次方程的解,但求出的解一般是近似解.

2.利用一次函數(shù)求一元一次不等式的解集,更多的是考查對(duì)圖象的理解能力,這也說(shuō)明在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí),“數(shù)形結(jié)合”思想在這一章的重要性.

3.用一次函數(shù)圖象解方程或不等式未必簡(jiǎn)單,但是能發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,能直觀地看到方程的解與不等式的解在圖形中的位置.

【方法技巧】

1.由于任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a、b為常數(shù))的形式,所以解一元一次方程可轉(zhuǎn)化為:當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí),求相應(yīng)的自變量的值,從圖象上看,這相當(dāng)于已知直線y=ax+b,確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b＞0或ax+b＜0(a、b為常數(shù),a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí),求自變量的相應(yīng)的取值范圍.

3.在用函數(shù)圖象解一元一次不等式時(shí),對(duì)較復(fù)雜的不等式應(yīng)先化簡(jiǎn)為ax+b＞0或ax+b＜0(a、b為常數(shù),a≠0)的形式,然后作出相應(yīng)的函數(shù)圖象進(jìn)行解決,可使解題過程相對(duì)簡(jiǎn)單.

專題一  函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積問題

1.如圖，已知兩直線y＝－x＋3和y＝2x－1，求它們與y軸所圍成的三角形的面積.

 2.如圖,△AOB為正三角形,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),過點(diǎn)C(－2,0)作直線l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等.求直線l的解析式.

專題二  實(shí)際應(yīng)用題

3.某學(xué)校要印制一批《學(xué)生手冊(cè)》，甲印刷廠提出：每本收1元印刷費(fèi)，另收500元制版費(fèi)；乙印刷廠提出：每本收2元印刷費(fèi)，不收制版費(fèi)．

(1)分別寫出甲、乙兩廠的收費(fèi)y甲 (元)、y乙(元)與印制數(shù)量x (本)之間的關(guān)系式；

(2)問：該學(xué)校選擇哪間印刷廠印制《學(xué)生手冊(cè)》比較合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．

專題三  一次函數(shù)模型的應(yīng)用

4.某學(xué)校的復(fù)印任務(wù)原來(lái)由甲復(fù)印社承接，其收費(fèi)y（元）與復(fù)印頁(yè)數(shù)x（頁(yè)）的關(guān)系如下表：

x(頁(yè))

100

200

400

1000

…

y(元)

40

80

160

400

⑴若y與x滿足初中學(xué)過的某一函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的解析式；

⑵現(xiàn)在乙復(fù)印社表示：若學(xué)校先按每月付給200元的承包費(fèi)，則可按每頁(yè)0.15元收費(fèi).則乙復(fù)印社每月收費(fèi)y（元）與復(fù)印頁(yè)數(shù)x（頁(yè)）的函數(shù)關(guān)系為                ；

⑶每月復(fù)印頁(yè)數(shù)在1200左右應(yīng)選擇哪個(gè)復(fù)印社？

第13章  三角形中的邊角關(guān)系

13.1  三角形中的邊角關(guān)系

              13.2  命題與證明

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.不在同一直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形.

2.三角形的三邊要滿足:任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.

3.三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形,按角分可分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形.

4.三角形的內(nèi)角和等于180°.

【溫馨提示】

1.不是任何三條線段首尾順次連接都可以組成三角形,這三條線段必須滿足三角形的三邊關(guān)系定理.

2.三角形按邊可分為不等邊三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底邊不相等的等腰三角形和等邊三角形.

3.三角形的角平分線、高、中線都是線段,在理解這些概念時(shí),可以從畫圖入手,有助于理解三條角平分線、中線、高交于一點(diǎn).

【方法技巧】

1.確定三角形個(gè)數(shù)時(shí),要按照大小順序或從圖中的某一條線段開始沿著一定方向去數(shù)或先固定一個(gè)頂點(diǎn),再確定另外兩個(gè)頂點(diǎn)來(lái)數(shù).

2.判斷已知長(zhǎng)度的三條線段能否組成三角形的方法是:當(dāng)三條線段互不相等時(shí),只需要檢驗(yàn)較短的兩條線段之和是否大于較長(zhǎng)線段,若大于則能組成,否則不能組成.

3.在解決與三角形內(nèi)角有關(guān)的問題時(shí),可通過已知條件,設(shè)其中的一個(gè)角的度數(shù)為x,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程或方程組解決.

專題一  三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用

1．若a、b、c是△ABC的三邊，化簡(jiǎn)|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.

2.已知a、b、c是三角形的三邊，且滿足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.試判斷三角形的形狀.

專題二  三角形中的探究題

3.已知△ABC中,三邊長(zhǎng)a,b,c都是整數(shù),且滿足a＞b＞c,a=8,那么滿足條件的三角形共有多少個(gè)?

4.湖邊上有A，B兩個(gè)村莊（如圖），從A到B有兩條路可走，即A→P→B和A→Q→B．試判別哪條路更短，并說(shuō)明理由．

專題三  三角形中的計(jì)算與證明題

5.已知△ABC的高為AD，∠BAD=70o，∠CAD=20o，求∠BAC的度數(shù)。

6.如圖，已知AB∥DE，試求證：∠A+∠ACD+∠D=3600（你有幾種證法?）

第14章  全等三角形

14.1  全等三角形

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形,能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.

【溫馨提示】

1.利用全等三角形的性質(zhì)解決問題時(shí),一定要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)元素.

2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)相等、面積相等,但周長(zhǎng)、面積相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形.

【方法技巧】

1.全等三角形是指能夠完全重合的兩個(gè)三角形,準(zhǔn)確的找出兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素是解決全等三角形問題的關(guān)鍵.在表示兩個(gè)三角形全等時(shí),對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)要寫在對(duì)應(yīng)的位置上.

2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,利用這兩個(gè)性質(zhì)可以說(shuō)明線段或角相等,以及線段的平行或垂直等.

3.一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置發(fā)生了變化,但形狀和大小都沒有改變,即經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.像這樣只改變圖形的位置而不改變圖形的形狀和大小的變換叫全等變換,常見的有平移變換,翻折變換,旋轉(zhuǎn)變換.

專題一  全等三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

 1.如圖,已知△EAB≌△DCE,AB、EC分別是兩個(gè)三角形的最長(zhǎng)邊，∠A=∠C=35°，

∠CDE=100°，∠DEB=10°，求∠AEC的度數(shù).

專題二  全等三角形的探究題

2.全等三角形又叫合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真正合同三角形與鏡面合同三角形．假設(shè)△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，且點(diǎn)A與A1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與B1對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)C1對(duì)應(yīng)，當(dāng)沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1環(huán)繞時(shí),若運(yùn)動(dòng)方向相同,則稱它們是真正合同三角形，如圖1；若運(yùn)動(dòng)方向相反，則稱它們是鏡面合同三角形，如圖2．

(1) 

(2)

兩個(gè)真正合同三角形，都可以在平面內(nèi)通過平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合；而兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中一個(gè)翻折180°，下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是（   ）．

 3.如圖所示，A，D，E三點(diǎn)在同一直線上，且△BAD≌△ACE．

    （1）試說(shuō)明BD=DE+CE；

（2）△ABD滿足什么條件時(shí)，BD∥CE？

14.2  三角形全等的判定

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,直角三角形除了上述判斷方法外,還可以利用“HL”判斷.

2.在已知三邊或兩邊及其夾角或兩角及其夾邊的情況下,可以利用尺軌作圖作出符合條件的三角形.

3.三角形具有穩(wěn)定性,即三角形三邊確定的情況下,其形狀和大小就固定了.

【溫馨提示】

1.在書寫兩個(gè)三角形全等時(shí),對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)要寫在對(duì)應(yīng)的位置上.

2.判斷兩個(gè)直角三角形全等共有五種判定方法,除“HL”外,還可以利用一般三角形全等的方法進(jìn)行判斷.

3.注意全等三角形性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用.

【方法技巧】

1.證明三角形全等的一般思路是:

(1)如果有兩條對(duì)應(yīng)邊相等,還應(yīng)尋找它們的夾角或第三邊對(duì)應(yīng)相等;

(2)如果有一個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等,還應(yīng)尋找另一個(gè)角相等;

(3)如果有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,還應(yīng)尋找一條邊對(duì)應(yīng)相等.

2.證明線段或角相等時(shí),常常先證明線段或角所在的三角形全等.當(dāng)圖形中找不到這些線段或角所在的全等三角形時(shí),應(yīng)考慮添加適當(dāng)?shù)妮o助線.

專題一  利用全等進(jìn)行測(cè)量

1. 1805年，法國(guó)拿破侖率軍與德軍在萊茵河激戰(zhàn)，德軍在河北岸Ｑ處，如圖，因不知河寬，法軍很難瞄準(zhǔn)敵軍，聰明的拿破侖站在南岸Ｏ處調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦過帽舌邊沿看到敵軍兵營(yíng)Ｑ處，然后后退到B點(diǎn)，這時(shí)他的視點(diǎn)恰好能落在O處，于是他命令部下測(cè)量他腳站的B處與O點(diǎn)之間的距離，并下令按這個(gè)距離炮轟敵兵營(yíng)，法軍能命中嗎？說(shuō)明理由．

專題二  全等三角形中的探究題

2.如圖所示,在△ABC中, ∠C＝90,AC=10㎝,BC=5㎝,一條線段PQ=AB,P,Q兩點(diǎn)分別在AC和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線上運(yùn)動(dòng).問P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC上什么位置時(shí), △ABC才能和△APQ全等 

3.如圖(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE.

（1）試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）若將CD沿CB方向平移得到圖(2)(3)(4)(5)的情形，其余條件不變，此時(shí)第（1）問中AC與CE的位置關(guān)系還成立嗎？結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

第15章  軸對(duì)稱圖形與等腰三角形

15.1  軸對(duì)稱圖形

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.等腰三角形的兩底角相等,等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等,每個(gè)內(nèi)角都等于60°,等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊并且平分底邊.

3.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形,三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形,有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

4.在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

【溫馨提示】

1.在等腰三角形中,若說(shuō)邊或角時(shí),一般都明確指出是腰還是底邊,是頂角還是底角,若題目沒說(shuō)明,要分類討論.

2.等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角,而底角只能是銳角.

3.等邊三角形是特殊的等腰三角形,它不僅具有一般三角形的性質(zhì),而且還具有自身特有的性質(zhì).

【方法技巧】

1.在與等腰三角形有關(guān)的一些命題的證明中,會(huì)遇到一些添加輔助線的問題,其頂角的平分線、底邊上的高、底邊上中線是常見的輔助線,具體作哪條,要根據(jù)具體問題具體分析.

2.要說(shuō)明一個(gè)三角形是等邊三角形,可以考慮:(1)利用定義證明;(2)證明三個(gè)角相等;(3)證明它是等腰三角形并且有一個(gè)角是60°.

4.平行于等邊三角形一邊的直線截其它兩邊或其延長(zhǎng)線,得到的三角形仍是等邊三角形,解決等邊三角形問題時(shí)常用這個(gè)結(jié)果作輔助線.

專題一  軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用

1.如圖，直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l的距離分別為2千米，5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水．現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（　　）

專題二  規(guī)律探究題

3.通過找出這組圖形符號(hào)中所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，在空白處的橫線上填上恰當(dāng)?shù)膱D形.

專題三  操作題

6.將16個(gè)相同的小正方形拼成正方形網(wǎng)格，并將其中的兩個(gè)小正方形涂成黑色，請(qǐng)你用兩種不同的方法分別在圖甲、圖乙中再將兩個(gè)空白的小正方形涂黑，使它成為軸對(duì)稱圖形.

圖甲                            圖乙

15.2  線段的垂直平分線

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.垂直并且平分一條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線.

2.線段的垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)距離相等,與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

3.線段的垂直平分線可以看作到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

【溫馨提示】

1.某條線段的垂直平分線是直線,不是線段或射線.

2.注意區(qū)分線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理.

【方法技巧】

1.在證明某條直線是一條線段的垂直平分線時(shí),可證明該直線垂直且平分這條線段,即根據(jù)定義證明,也可以證明直線上有不同的兩點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.

2.解與線段的垂直平分線有關(guān)的問題時(shí),常先利用線段垂直平分線的性質(zhì)將條件轉(zhuǎn)化,再結(jié)合其他知識(shí)解決問題.

專題一  線段垂直平分線知識(shí)的應(yīng)用

1.△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分別在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD為EF的中垂線，求證BF=2AD.

2.已知，如圖所示，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE=DF．求證：AD垂直平分EF．

    合作學(xué)習(xí)小組的兩位同學(xué)在證明以上結(jié)論時(shí)的過程如下：

    學(xué)生甲：因?yàn)镈E=DF，所以點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上），所以AD垂直平分EF．

    學(xué)生乙：因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,所以AE=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），所以A點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上，又因?yàn)镈E=DF，所以點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上，所以AD垂直平分EF．