第一章 三角形的證明

  1. 等腰三角形

  2. 直角三角形

  3. 線段的垂直平分線

  4. 角平分線

第二章 一元一次不等式與一元一次不等式組

  1. 不等關(guān)系

  2. 不等式的基本性質(zhì)

  3. 不等式的解集

  4.一元一次不等式

  5.一元一次不等式與一次函數(shù)

  6.一元一次不等式組

第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

  1. 圖形的平移

  2. 圖形的旋轉(zhuǎn)

  3. 中心對稱

  4. 簡單的圖案設(shè)計

第四章 因式分解

  1. 因式分解

  2. 提公因式法

  3. 公式法

第五章 分式與分式方程

  1. 認識分式

  2. 分式的乘除法

  3. 分式的加減法

  4. 分式方程

第六章 平行四邊形

  1. 平行四邊形的性質(zhì)

  2. 平行四邊形的判定

  3. 三角形的中位線

  4. 多邊形的內(nèi)角和與外角和

第一章 三角形的證明

一、全等三角形判定、性質(zhì)：

1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）

2.全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

二、等腰三角形的性質(zhì)

定理：等腰三角形有兩邊相等；(定義)

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。    

推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合。（三線合一）

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。

等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形；

三、等腰三角形的判定  

1. 有關(guān)的定理及其推論

定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”。）     

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。

推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。  

2. 反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法  

四、直角三角形

1、直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的兩銳角互余

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；   

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形；

3、互逆命題、互逆定理    

在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.    

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.     

五、線段的垂直平分線、角平分線   

1、線段的垂直平分線。  

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等； 

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（外心）

判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 

2、角平分線。  

性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。 

三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（內(nèi)心）

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。  

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式組

1.定義：一般地，用符號“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）連接的式子叫做不等式。

2.基本性質(zhì)：性質(zhì)1：.不等式的兩邊都加（或減）同一個整式，不等號的方向不變. 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移項要變號，但不等號不變）

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, 

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變. 如果a>b,并且c<0,那么ac

說明： 比較大小:作差法

a>b <===> a-b>0   a=b <===> a-b=0    a a-b<0

3.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解

4.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

5.解不等式：求不等式解集的過程叫做解不等式。邊界:有等號的是實心圓點,無等號的是空心圓圈

6.一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式

7.解不等式的步驟:  1、去分母;    2、去括號;    3、移項、合并同類項;    

4、系數(shù)化為1。                                                 

8.列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：

（1） 審題；（2）設(shè)未知數(shù)，找（不等量）關(guān)系式；（3）(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組) （4）解不等式組；（5）檢驗（6）作答。

9一元一次不等式與一次函數(shù) 教材第50頁

10.一元一次不等式組

一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一次不等式組。一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，焦作這個一元一次不等式組的解集。求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式

解集

圖示

敘述語言表達

x>b

大大取大

x>a

小小取小

a

大小小大中間找

無解

大大小小解不了

(是空集)

第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、圖形的平移  

1平移的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。  

關(guān)鍵：a. 平移不改變圖形的形狀和大小（也不會改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。   b. 圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。  

2平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等，對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等、對應(yīng)角相等。  

注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。

3簡單的平移作圖：     

平移作圖要注意：①方向；②距離。整個平移作圖，就是把整個圖案的每一個特征點按一定方向和一定的距離平行移動。

二、圖形的旋轉(zhuǎn)  

1旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形饒一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)。這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。  

關(guān)鍵：a. 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小（但會改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。   

b. 圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。

2旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))：      

一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。

3簡單的旋轉(zhuǎn)作圖：       

旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。

整個旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個圖案的每一個特征點繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動。

三、中心對稱

1．概念：中心對稱、對稱中心、對稱點   

把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們的對稱中心。

2．中心對稱的基本性質(zhì)：  

（1）成中心對稱的兩個圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)。  

（2）成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。   

3．中心對稱圖形概念：中心對稱圖形、對稱中心   

把一個平面圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。 

4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系  

如果將成中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么這個整體就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形沿著過對稱中心的任一條直線分成兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對稱。 5、圖形的平移、軸對稱（折疊）、中心對稱（旋轉(zhuǎn)）的對比

6、圖案的分析與設(shè)計  ① 首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運動變換而形成。 ② 圖案設(shè)計的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。

第四章  因式分解

一、公式：

1. 因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，因式分解也可稱為分解因式。 

2.公因式：把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.

3.提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那末就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法

4.找公因式的一般步驟：（1）若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；

（3）取相同的多項式，多項式的指數(shù)取較低的.（4）所有這些因式的乘積即為公因式.

5.公式法：

（1）ma+mb+mc=m(a+b+c) （ 2）a2_b2=(a+b)(a-b) （3）a2±2ab+b2=（a±b）2                            

6.、分解因式的一般步驟為:

（1）若有“-”先提取“-”，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.

（2）若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.

（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止.

7、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。

（1）把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.

（2）把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.

補充：十字相乘法

第五章 分式與分式方程

1.分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母。對于任意一個分式，墳?zāi)苟疾荒転榱恪?/p>

2.注意事項

（1）分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別：分式的字母必須含有字母，即未知數(shù)；分子可含字母可不含字母。

（2）分式有意義的條件：分母不為零，即分母中的代數(shù)式的值不能為零。

（3）分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零

3.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。

用式子表示  

注意：（1）利用分式的基本性質(zhì)進行分時變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。

（2）應(yīng)用基本性質(zhì)時，要注意C≠0，以及隱含的B≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同時乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分項，或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個整式的錯誤。

4.分式的乘除：兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,分母相乘的積作為積的分母;兩個分式相除,把除式的分子、分母顛倒位置后再與被除式相乘.即: ,  

5. 分式乘方：把分子、分母分別乘方.  即:   

逆向運用,當n為整數(shù)時,仍然有成立.

6. 最簡分式： 分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.

7.分式的通分和約分：關(guān)鍵先是分解因式

（1）分式的約分：利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。

（2）最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式

（3）分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式化成同分母的分式，這一過程稱為分式的通分。

（4）最簡公分母：最簡單的公分母簡稱最簡公分母。

8.分式的加減： (1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減; 上述法則用式子表示是:

(2)異號分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算;

上述法則用式子表示是:

9.分式的符號法則

分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個分式的值不變。用式子表示為

注：分子與分母變號時，是指整個分子或分母同時變號，而不是指改變分子或分母中的部分項的符號。

10.分式方程：分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程。

 增根：分式方程的增根必須滿足兩個條件：

（1）增根是最簡公分母為0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。

11.分式方程的解法：

(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程；(4)驗根．

注：解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根。

分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。

12.列分式方程解應(yīng)用題:步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗（6）寫出答案，檢驗時要注意從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。

應(yīng)用題基本類型；

a.行程問題：b.數(shù)字問題c.工程問題． d. 順水逆水問題  e．相遇問題   f追及問題g流水問題 h濃度問題m利潤與折扣問題     

第六章 平行四邊形

一、平行四邊形的性質(zhì)        

1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、性質(zhì):（1）平行四邊形的對邊平行且相等。 （2）平行四邊形的鄰角互補 （3）平行四邊形的對角相等  （4）平行四邊形的對角線互相平分。  

二、平行四邊形的判定    

1、平行四邊形的判定  

（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

（3）定理2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

（4）定理3：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

2、兩條平行線的距離: 兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。 平行線間的距離處處相等。 

 3、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底×高=ah  

三、三角形的中位線   

1、概念：連接三角兩邊中點的線段叫做三角的中位線（共三條中位線）  

2、定理： 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半   

四、多邊形的內(nèi)角和與外角和   

1、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°；  

多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。  

2、正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)：［（n-2）·180°］/n

3、中心對稱圖形：線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形    

不是中心對稱圖形：四邊形、三角形、梯形、邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形等 

4、常見的軸對稱圖形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形

復(fù)習(xí)提綱

第一章 三角形的證明

※知識點1 全等三角形的判定及性質(zhì)

判定定理簡稱

判定定理的內(nèi)容

性質(zhì)

SSS

三角形分別相等的兩個三角形全等

全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等

SAS

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

ASA

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

AAS

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等 

※知識點2 等腰三角形的性質(zhì)定理及推論

內(nèi)容

幾何語言

條件與結(jié)論

等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的兩底角相等。簡述為：等邊對等角

在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C

條件：邊相等，即AB=AC

結(jié)論：角相等，即∠B=∠C

推論

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相垂直，簡述為：三線合一

在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，則AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC

條件：等腰三角形中一直頂點的平分線，底邊上的中線、底邊上的高線之一

結(jié)論：該線也是其他兩線 

※等腰三角形中的相等線段：

1.等腰三角形兩底角的平分線相等

2.等腰三角形兩腰上的高相等

3.兩腰上的中線相等

4.底邊的中點到兩腰的距離相等

※知識點3 等邊三角形的性質(zhì)定理

內(nèi)容

性質(zhì)定理

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60度

解讀

【要點提示】1）等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì)2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線“三線合一”

【易錯點】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等邊三角形

※知識點4 等腰三角形的判定定理

內(nèi)容

幾何語言

條件與結(jié)論

等腰三角形的判定定理

有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡述為：等校對等邊

在△ABC中，若∠B=∠C則AC=BC

條件：角相等，即∠B=∠C

結(jié)論：邊相等，即AB=AC

解讀

【注意】對“等角對等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個三角形中”

拓展

判定一個三角形是等腰三角形有兩種方法

（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角對等邊” 

※知識點5 反證法

概念

證明的一般步驟

反證法

在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立

（2）從這個假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

（3）由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題正確

解讀

【要點提示】（1）當一個命題涉及“一定”“至少”“至多”“無限”“唯一”等情況時，由于結(jié)論的反面簡單明確，常常用反證法來證明

（2）“推理”必須順著假設(shè)的思路進行，即把假設(shè)當作已知條件，“得出矛盾”是指推出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

第二章  一元一次不等式與一元一次不等式組

一. 不等關(guān)系

※1. 一般地,用符號“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式

※2. 準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.

非負數(shù) <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正數(shù) <===> 不小于0

非正數(shù) <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和負數(shù) <===> 不大于0

二. 不等式的基本性質(zhì)

※1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會靈活運用：

(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變，即：

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，

(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：

如果a>b,并且c<0,那么ac

※2. 比較大小：(a、b分別表示兩個實數(shù)或整式)

一般地：

如果a>b，那么a-b是正數(shù)；反過來，如果a-b是正數(shù)，那么a>b；

如果a=b，那么a-b等于0；反過來，如果a-b等于0，那么a=b；

如果a

即：

a>b <===> a-b>0

a=b <===> a-b=0

a a-b<0

三. 不等式的解集：

※1.能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；一個不等式的所有解，組成這個不等式的解集；求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

※2.不等式的解可以有無數(shù)多個，一般是在某個范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的解不同

3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

①邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；

②方向：大向右，小向左

四. 一元一次不等式：

※1.只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式。

※2.解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似，當不等式兩邊都乘以一個負數(shù)時，不等號要改變方向。

※3.解一元一次不等式的步驟：

①去分母；

②去括號；

③移項；

④合并同類項；

⑤系數(shù)化為1(不等號的改變問題) 

※4.一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax

①當a>0時，解為 ；

②當a=0時，且b<0，則x取一切實數(shù)；

當a=0時，且b≥0，則無解；

③當a<0時，解為 。

5. 列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似，即：

①審：認真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義；

②設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；

③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集；

⑤答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意。

六. 一元一次不等式組

※1.定義：由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

※2.一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集。如果這些不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解。（解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定。） 

※3.解一元一次不等式組的步驟：

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集；

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實數(shù)，且a

x>b，兩大取較大

x>a，兩小取小

a

無解，在大小分離沒有解(是空集)