三角形基本知識(shí)點(diǎn)：

一、關(guān)于三角形的一些概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角。

1、三角形的角平分線

三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線間的距離）。

定理1、在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

定理2、一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。

可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)）。

2、三角形的中線

三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離）。

3．三角形的高

三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離）。

注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。

如圖1，AD、BE、CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內(nèi)；

如圖2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內(nèi)。

而圖2－3，說(shuō)明高線不一定在 △ABC內(nèi)，

圖3（1），中三條高線都在△ABC內(nèi)，

圖3（2），中高線CD在△ABC內(nèi)，而高線AC與BC是三角形的邊；

圖3（3），中高線BE在△ABC內(nèi)，而高線AD、CF在△ABC外。

三、三角形三條邊的關(guān)系

三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。

等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。

三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類：

推論三角形兩邊的差小于第三邊。

不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。

例如三條線段長(zhǎng)分別為5，6，1人因?yàn)?＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。

三、三角形的內(nèi)角和

定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求得。

如已知△ABC的兩個(gè)角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°

由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。

推論1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

三角形按角分類：

三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。

推論2：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

推論3：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

例如圖中

∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；

∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。

全等三角形知識(shí)點(diǎn)：

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。

兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。

全等用符號(hào)“≌”表示，△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`， B和B`， C和C`是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

如圖，△ABC≌△A`B`C`，則有A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A`、B`、C`；AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊是A`B`、B`C`、C`A`。

∠A，∠B，∠C的對(duì)應(yīng)角是∠A`、∠B`、∠C`。

∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠B＝∠B`，∠C＝∠C`

全等三角形的判定

1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）

注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角“或“ASA”）

3、推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊’域“AAS”）

4、邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）

由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。

除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個(gè)三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫對(duì)稱軸。

兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫軸對(duì)稱。

定理1：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

定理2：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。

定理3：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)相交。那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。

如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱軸，而等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。

等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說(shuō)：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因?yàn)榈妊�三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等n

等腰三角形的判定

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相，那這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊也相等。（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等動(dòng)”）。

推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

整式的乘除：

單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對(duì)于相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個(gè)字母的指數(shù)；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

單項(xiàng)除單項(xiàng)式：把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：（a+b）（a-b）=a-b；

完全平方公式：（a+b）=a+2ab+b，（a-b）=a-2ab+b.

因式分解

1、因式分解概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）

（2）運(yùn)用公式法：

平方差公式：a-b=（a+b）（a-b）；

完全平方公式：（a+b）=a+2ab+b，（a-b）=a-2ab+b

（3）十字相乘法：x+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

（4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。

（5）運(yùn)用求根公式法：若ax+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根是x、x，則有：

ax+bx+c=a（x-x）（x-x）

3、因式分解的一般步驟：

（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或無(wú)公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；

（3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考慮用分組分解法。

分式

1、分式定義：形如A/B的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

（1）分式無(wú)意義：B=0時(shí)，分式無(wú)意義；B≠0時(shí)，分式有意義。

（2）分式的值為0：A=0，B≠0時(shí)，分式的值等于0。

（3）分式的約分：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。

（4）最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫做最簡(jiǎn)分式。分式運(yùn)算的最終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡(jiǎn)分式。

（5）通分：把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)分式相等的同分母分式的過(guò)程，叫做分式的通分。

（6）最簡(jiǎn)公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。

（7）有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

（3）分式的變號(hào)法則：分式的分子，分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變。

3、分式的運(yùn)算：

（1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。

（2）乘：先對(duì)各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一個(gè)分式等于乘上它的倒數(shù)式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

二次根式

1、二次根式的概念：式子√a（a≥0）叫做二次根式。

（1）最簡(jiǎn)二次根式：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因式的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式。

（2）同類二次根式：化為最簡(jiǎn)二次根式之后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式。

（3）分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化。

（4）有理化因式：把兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式（常用的有理化因式有：√a與√a；a√b+c√d與a√b-c√d）

2、二次根式的性質(zhì)：

3、運(yùn)算：

（1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，合并同類二次根式。

二次根式運(yùn)算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡(jiǎn)二次根式。

多邊形

1、多邊形：由一些線段首尾順次連結(jié)組成的圖形，叫做多邊形。

2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。

3、多邊形的頂點(diǎn)：多邊形每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)。

4、多邊形的對(duì)角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

5、多邊形的周長(zhǎng)：多邊形各邊的長(zhǎng)度和叫做多邊形的周長(zhǎng)。

6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長(zhǎng)，如果多邊形的其他各邊都在延長(zhǎng)線所得直線的問(wèn)旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。

說(shuō)明：一個(gè)多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說(shuō)的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。

7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱多邊形的角。

8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做多邊形的外角。

注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點(diǎn)的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角。

9、n邊形的對(duì)角線共有n（n-3）/2條。

說(shuō)明：利用上述公式，可以由一個(gè)多邊形的邊數(shù)計(jì)算出它的對(duì)角線的條數(shù)，也可以由一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)求出它的邊數(shù)。

10、多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于（n－2）180°。

11、多邊形內(nèi)角和定理的推論：n邊形的外角和等于360°。

說(shuō)明：多邊形的外角和是一個(gè)常數(shù)（與邊數(shù)無(wú)關(guān)），利用它解決有關(guān)計(jì)算題比利用多邊形內(nèi)角和公式及對(duì)角線求法公式簡(jiǎn)單。無(wú)論用哪個(gè)公式解決有關(guān)計(jì)算，都要與解方程聯(lián)系起來(lái)，掌握計(jì)算方法。

平行四邊形

1、平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對(duì)角相等。

3、平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對(duì)邊相等。

4、平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。

5、平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

6、平行四邊形判定定理1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

7、平行四邊形判定定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

8、平行四邊形判定定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

9、平行四邊形判定定理4：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

說(shuō)明：（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行四邊形的基礎(chǔ)。同時(shí)又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。

（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平行四邊形的一個(gè)判定方法。

矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)?0°時(shí)，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充的。

1、矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長(zhǎng)方形）

2、矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個(gè)角都是直角。

3、矩形性質(zhì)定理2：矩形的對(duì)角線相等。

4、矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

說(shuō)明：因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和等于360度，已知有三個(gè)角都是直角，那么第四個(gè)角必定是直角。

5、矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

說(shuō)明：要判定四邊形是矩形的方法是：

法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個(gè)直角（這是用定義證明）

法二：先證明出是平行四邊形，再證出對(duì)角線相等（這是判定定理1）

法三：只需證出三個(gè)角都是直角。（這是判定定理2）

菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的兩個(gè)鄰邊發(fā)生變化時(shí)，即當(dāng)兩個(gè)鄰邊相等時(shí)，平行四邊形變成了菱形。

1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、菱形的性質(zhì)1：菱形的四條邊相等。

3、菱形的性質(zhì)2：菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

5、菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

說(shuō)明：要判定四邊形是菱形的方法是：

法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。

法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對(duì)角線互相垂直。（這是判定定理2）

法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，又能使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。

1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。

3、正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

4、正方形判定定理互：兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2：兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形。

注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個(gè)角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）

方法二：第一步證出對(duì)角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）

方法三：第一步證出對(duì)角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2）

梯形

1、梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的邊叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。

5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。