第一章 三角形的證明

※知識(shí)點(diǎn)1 全等三角形的判定及性質(zhì)

判定定理簡(jiǎn)稱

判定定理的內(nèi)容

性質(zhì)

SSS

三角形分別相等的兩個(gè)三角形全等

全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等

SAS

兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

ASA

兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

AAS

兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等 

※知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)定理及推論

內(nèi)容

幾何語言

條件與結(jié)論

等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的兩底角相等。簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角

在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C

條件：邊相等，即AB=AC

結(jié)論：角相等，即∠B=∠C

推論

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相垂直，簡(jiǎn)述為：三線合一

在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，則AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC

條件：等腰三角形中一直頂點(diǎn)的平分線，底邊上的中線、底邊上的高線之一

結(jié)論：該線也是其他兩線 

※等腰三角形中的相等線段：

1.等腰三角形兩底角的平分線相等

2.等腰三角形兩腰上的高相等

3.兩腰上的中線相等

4.底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等

※知識(shí)點(diǎn)3 等邊三角形的性質(zhì)定理

內(nèi)容

性質(zhì)定理

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度

解讀

【要點(diǎn)提示】1）等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì)2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對(duì)角的平分線“三線合一”

【易錯(cuò)點(diǎn)】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等邊三角形

※知識(shí)點(diǎn)4 等腰三角形的判定定理

內(nèi)容

幾何語言

條件與結(jié)論

等腰三角形的判定定理

有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)述為：等校對(duì)等邊

在△ABC中，若∠B=∠C則AC=BC

條件：角相等，即∠B=∠C

結(jié)論：邊相等，即AB=AC

解讀

【注意】對(duì)“等角對(duì)等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個(gè)三角形中”

拓展

判定一個(gè)三角形是等腰三角形有兩種方法

（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角對(duì)等邊” 

※知識(shí)點(diǎn)5 反證法

概念

證明的一般步驟

反證法

在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法

（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立

（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

（3）由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題正確

解讀

【要點(diǎn)提示】（1）當(dāng)一個(gè)命題涉及“一定”“至少”“至多”“無限”“唯一”等情況時(shí)，由于結(jié)論的反面簡(jiǎn)單明確，常常用反證法來證明

（2）“推理”必須順著假設(shè)的思路進(jìn)行，即把假設(shè)當(dāng)作已知條件，“得出矛盾”是指推出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

第二章  一元一次不等式與一元一次不等式組

一. 不等關(guān)系

※1. 一般地,用符號(hào)“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式

※2. 準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語.

非負(fù)數(shù) <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正數(shù) <===> 不小于0

非正數(shù) <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和負(fù)數(shù) <===> 不大于0

二. 不等式的基本性質(zhì)

※1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用：

(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變，即：

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即：

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，

(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即：

如果a>b,并且c<0,那么ac

※2. 比較大小：(a、b分別表示兩個(gè)實(shí)數(shù)或整式)

一般地：

如果a>b，那么a-b是正數(shù)；反過來，如果a-b是正數(shù)，那么a>b；

如果a=b，那么a-b等于0；反過來，如果a-b等于0，那么a=b；

如果a

即：

a>b <===> a-b>0

a=b <===> a-b=0

a a-b<0

三. 不等式的解集：

※1.能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；一個(gè)不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集；求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

※2.不等式的解可以有無數(shù)多個(gè)，一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的解不同

3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：

①邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無等號(hào)的是空心圓圈；

②方向：大向右，小向左

四. 一元一次不等式：

※1.只含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式。

※2.解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似，當(dāng)不等式兩邊都乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向。

※3.解一元一次不等式的步驟：

①去分母；

②去括號(hào)；

③移項(xiàng)；

④合并同類項(xiàng)；

⑤系數(shù)化為1(不等號(hào)的改變問題) 

※4.一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax

①當(dāng)a>0時(shí)，解為 ；

②當(dāng)a=0時(shí)，且b<0，則x取一切實(shí)數(shù)；

當(dāng)a=0時(shí)，且b≥0，則無解；

③當(dāng)a<0時(shí)，解為 。

5. 列不等式解應(yīng)用題基本步驟與列方程解應(yīng)用題相類似，即：

①審：認(rèn)真審題，找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義；

②設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

③列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集；

⑤答：寫出答案，并檢驗(yàn)答案是否符合題意。

六. 一元一次不等式組

※1.定義：由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

※2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集。如果這些不等式的解集無公共部分，就說這個(gè)不等式組無解。（解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定。） 

※3.解一元一次不等式組的步驟：

(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實(shí)數(shù)，且a

x>b，兩大取較大

x>a，兩小取小

a

無解，在大小分離沒有解(是空集)

第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移變換： 

1.概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。 

2.性質(zhì)：

（1）平移前后圖形全等； 

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行或在同一直線上且相等。  

3.平移的作圖步驟和方法： 

（1）分清題目要求，確定平移的方向和平移的距離；

（2）分析所作的圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)健點(diǎn)；

（3）沿一定的方向，按一定的距離平移各個(gè)關(guān)健點(diǎn)；

（4）連接所作的各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并標(biāo)上相應(yīng)的字母；

（5）寫出結(jié)論。 

二、旋轉(zhuǎn)變換： 

1.概念：

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。 

說明：

（1）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度所決定的；

（2）旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)中心始終保持不動(dòng)。

（3）旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)的方向是相同的．

（4）旋轉(zhuǎn)過程靜止時(shí)，圖形上一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度是一樣的。

旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。

2.性質(zhì)：

（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； 

（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋角；

（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。

3.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟和方法：

（1）確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；

（2）找出圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

（3）將圖形的關(guān)鍵點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連接起來，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，得到這些關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

（4）按原圖形順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形。

說明：在旋轉(zhuǎn)作圖時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的夾角即為旋轉(zhuǎn)角。

4.常見考法 

（1）把平移旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來證明三角形全等；

（2）利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，設(shè)計(jì)一些題目  

第四章  因式分解

一. 分解因式

※1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

※2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系：

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：

(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，化為一個(gè)多項(xiàng)式；

(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘。

二.提公共因式法

※1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

※2.概念內(nèi)涵：

(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；

(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律。

※3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò)；

(2)公因式是否提“干凈”；

(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式；提出后；括號(hào)中這一項(xiàng)為+1；不漏掉。

三.公式法

※1.如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。

※2.主要公式：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)完全平方公式： 圖片

※3.運(yùn)用公式法：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式；

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方；

③二項(xiàng)是異號(hào)。

(2)完全平方公式：圖片

①應(yīng)是三項(xiàng)式；

②其中兩項(xiàng)同號(hào)，且各為一整式的平方；

③還有一項(xiàng)可正負(fù)，且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍。

※4.因式分解的思路與解題步驟：

(1)先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來達(dá)到分解的目的；

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積，否則不是因式分解；

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。

四.分組分解法：

※1.分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。

圖片

※2.概念內(nèi)涵：

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組，要嘗試通過分組后是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解，分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式。

※3.注意：分組時(shí)要注意符號(hào)的變化。

五. 十字相乘法：

※1.對(duì)于二次三項(xiàng)式圖片 ，將a和c分別分解成兩個(gè)因數(shù)的乘積，圖片  ，圖片 ，且滿足圖片 ，往往寫成圖片的形式，將二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解。

※2. 二次三項(xiàng)式圖片的分解：

※3.規(guī)律內(nèi)涵：

(1)理解：分解因式時(shí)，如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。

(2)如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同，對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù)p。

4. 易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：

(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò)；

(2)分解的結(jié)果與原式不等，這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確。

第五章  分式與方程

一.認(rèn)識(shí)分式

※1.兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)，出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)；類似地，當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí)，就出現(xiàn)了分式。

整式A除以整式B，可以表示成圖片的形式。如果除式B中含有字母，那么稱圖片為分式，對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零。

※2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式，即圖片

※3.進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，常要進(jìn)行約分和通分，其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。

※4.一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí)，可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，把這個(gè)分式的分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式，也就是把分子、分母的公因式約去，這叫做約分。

二. 分式的乘除法