第一章 三角形的證明

※知識點1 全等三角形的判定及性質(zhì)

判定定理簡稱

判定定理的內(nèi)容

性質(zhì)

SSS

三角形分別相等的兩個三角形全等

全等三角形對應邊相等、對應角相等

SAS

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

ASA

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

AAS

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等 

※知識點2 等腰三角形的性質(zhì)定理及推論

內(nèi)容

幾何語言

條件與結(jié)論

等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的兩底角相等。簡述為：等邊對等角

在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C

條件：邊相等，即AB=AC

結(jié)論：角相等，即∠B=∠C

推論

等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相垂直，簡述為：三線合一

在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，則AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC

條件：等腰三角形中一直頂點的平分線，底邊上的中線、底邊上的高線之一

結(jié)論：該線也是其他兩線 

※等腰三角形中的相等線段：

1.等腰三角形兩底角的平分線相等

2.等腰三角形兩腰上的高相等

3.兩腰上的中線相等

4.底邊的中點到兩腰的距離相等

※知識點3 等邊三角形的性質(zhì)定理

內(nèi)容

性質(zhì)定理

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60度

解讀

【要點提示】1）等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì)2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線“三線合一”

【易錯點】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等邊三角形

※知識點4 等腰三角形的判定定理

內(nèi)容

幾何語言

條件與結(jié)論

等腰三角形的判定定理

有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡述為：等校對等邊

在△ABC中，若∠B=∠C則AC=BC

條件：角相等，即∠B=∠C

結(jié)論：邊相等，即AB=AC

解讀

【注意】對“等角對等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個三角形中”

拓展

判定一個三角形是等腰三角形有兩種方法

（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角對等邊” 

※知識點5 反證法

概念

證明的一般步驟

反證法

在證明時，先假設命題的結(jié)論不成立，然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法

（1）假設命題的結(jié)論不成立

（2）從這個假設出發(fā)，應用正確的推論方法，得出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

（3）由矛盾的結(jié)果判定假設不正確，從而肯定原命題正確

解讀

【要點提示】（1）當一個命題涉及“一定”“至少”“至多”“無限”“唯一”等情況時，由于結(jié)論的反面簡單明確，常常用反證法來證明

（2）“推理”必須順著假設的思路進行，即把假設當作已知條件，“得出矛盾”是指推出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

第二章  一元一次不等式與一元一次不等式組

一. 不等關系

※1. 一般地,用符號“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式

※2. 準確“翻譯”不等式,正確理解“非負數(shù)”、“不小于”等數(shù)學術語.

非負數(shù) <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正數(shù) <===> 不小于0

非正數(shù) <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和負數(shù) <===> 不大于0

二. 不等式的基本性質(zhì)

※1. 掌握不等式的基本性質(zhì),并會靈活運用：

(1) 不等式的兩邊加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變，即：

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，

(3) 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：

如果a>b,并且c<0,那么ac

※2. 比較大小：(a、b分別表示兩個實數(shù)或整式)

一般地：

如果a>b，那么a-b是正數(shù)；反過來，如果a-b是正數(shù)，那么a>b；

如果a=b，那么a-b等于0；反過來，如果a-b等于0，那么a=b；

如果a

即：

a>b <===> a-b>0

a=b <===> a-b=0

a a-b<0

三. 不等式的解集：

※1.能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；一個不等式的所有解，組成這個不等式的解集；求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

※2.不等式的解可以有無數(shù)多個，一般是在某個范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的解不同

3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

①邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；

②方向：大向右，小向左

四. 一元一次不等式：

※1.只含有一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的式子是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式。

※2.解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似，當不等式兩邊都乘以一個負數(shù)時，不等號要改變方向。

※3.解一元一次不等式的步驟：

①去分母；

②去括號；

③移項；

④合并同類項；

⑤系數(shù)化為1(不等號的改變問題) 

※4.一元一次不等式基本情形為ax>b(或ax

①當a>0時，解為 ；

②當a=0時，且b<0，則x取一切實數(shù)；

當a=0時，且b≥0，則無解；

③當a<0時，解為 。

5. 列不等式解應用題基本步驟與列方程解應用題相類似，即：

①審：認真審題，找出題中的不等關系，要抓住題中的關鍵字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含義；

②設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)；

③列：根據(jù)題中的不等關系，列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集；

⑤答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意。

六. 一元一次不等式組

※1.定義：由含有一個相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。

※2.一元一次不等式組中各個不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集。如果這些不等式的解集無公共部分，就說這個不等式組無解。（解集的公共部分,通常是利用數(shù)軸來確定。） 

※3.解一元一次不等式組的步驟：

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集；

(2)利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

兩個一元一次不等式組的解集的四種情況(a、b為實數(shù)，且a

x>b，兩大取較大

x>a，兩小取小

a

無解，在大小分離沒有解(是空集)

第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移變換： 

1.概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。 

2.性質(zhì)：

（1）平移前后圖形全等； 

（2）對應點連線平行或在同一直線上且相等。  

3.平移的作圖步驟和方法： 

（1）分清題目要求，確定平移的方向和平移的距離；

（2）分析所作的圖形，找出構成圖形的關健點；

（3）沿一定的方向，按一定的距離平移各個關健點；

（4）連接所作的各個關鍵點，并標上相應的字母；

（5）寫出結(jié)論。 

二、旋轉(zhuǎn)變換： 

1.概念：

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)。 

說明：

（1）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度所決定的；

（2）旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)中心始終保持不動。

（3）旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)的方向是相同的．

（4）旋轉(zhuǎn)過程靜止時，圖形上一個點的旋轉(zhuǎn)角度是一樣的。

旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。

2.性質(zhì)：

（1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； 

（2）對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋角；

（3）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。

3.旋轉(zhuǎn)作圖的步驟和方法：

（1）確定旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；

（2）找出圖形的關鍵點；

（3）將圖形的關鍵點和旋轉(zhuǎn)中心連接起來，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個旋轉(zhuǎn)角度數(shù)，得到這些關鍵點的對應點；

（4）按原圖形順次連接這些對應點，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形。

說明：在旋轉(zhuǎn)作圖時，一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的夾角即為旋轉(zhuǎn)角。

4.常見考法 

（1）把平移旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來證明三角形全等；

（2）利用平移變換與旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，設計一些題目  

第四章  因式分解

一. 分解因式

※1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。

※2.因式分解與整式乘法是互逆關系：

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系：

(1)整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；

(2)因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘。

二.提公共因式法

※1.如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

※2.概念內(nèi)涵：

(1)因式分解的最后結(jié)果應當是“積”；

(2)公因式可能是單項式,也可能是多項式；

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對加法的分配律。

※3.易錯點點評：

(1)注意項的符號與冪指數(shù)是否搞錯；

(2)公因式是否提“干凈”；

(3)多項式中某一項恰為公因式；提出后；括號中這一項為+1；不漏掉。

三.公式法

※1.如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。

※2.主要公式：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)完全平方公式： 圖片

※3.運用公式法：

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

①應是二項式或視作二項式的多項式；

②二項式的每項(不含符號)都是一個單項式(或多項式)的平方；

③二項是異號。

(2)完全平方公式：圖片

①應是三項式；

②其中兩項同號，且各為一整式的平方；

③還有一項可正負，且它是前兩項冪的底數(shù)乘積的2倍。

※4.因式分解的思路與解題步驟：

(1)先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

(2)再看能否使用公式法；

(3)用分組分解法，即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的；

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

(5)因式分解的結(jié)果必須進行到每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。

四.分組分解法：

※1.分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。

圖片

※2.概念內(nèi)涵：

分組分解法的關鍵是如何分組，要嘗試通過分組后是否有公因式可提，并且可繼續(xù)分解，分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式。

※3.注意：分組時要注意符號的變化。

五. 十字相乘法：

※1.對于二次三項式圖片 ，將a和c分別分解成兩個因數(shù)的乘積，圖片  ，圖片 ，且滿足圖片 ，往往寫成圖片的形式，將二次三項式進行分解。

※2. 二次三項式圖片的分解：

※3.規(guī)律內(nèi)涵：

(1)理解：分解因式時，如果常數(shù)項q是正數(shù)，那么把它分解成兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)p的符號相同。

(2)如果常數(shù)項q是負數(shù)，那么把它分解成兩個異號因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)p的符號相同，對于分解的兩個因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項系數(shù)p。

4. 易錯點點評：

(1)十字相乘法在對系數(shù)分解時易出錯；

(2)分解的結(jié)果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原后檢驗分解的是否正確。

第五章  分式與方程

一.認識分式

※1.兩個整數(shù)不能整除時，出現(xiàn)了分數(shù)；類似地，當兩個整式不能整除時，就出現(xiàn)了分式。

整式A除以整式B，可以表示成圖片的形式。如果除式B中含有字母，那么稱圖片為分式，對于任意一個分式，分母都不能為零。

※2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式，即圖片

※3.進行分數(shù)的化簡與運算時，常要進行約分和通分，其主要依據(jù)是分數(shù)的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變。

※4.一個分式的分子、分母有公因式時，可以運用分式的基本性質(zhì)，把這個分式的分子、分母同時除以它的們的公因式，也就是把分子、分母的公因式約去，這叫做約分。

二. 分式的乘除法