一

空間向量的基本概念

1.空間向量的概念：

定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

模長：向量的大小叫做向量的模，a的模長記作￨a￨

備注：文中加粗的小寫字母均代表向量。

2.空間向量的運算：

運算法則：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法符合三角形法則跟平行四邊形法則

運算率：

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

數(shù)乘分配率：λ(a+b)= λa+λb

3.共線向量：

定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或者重合，那么這些向量也叫共線向量或者平行向量

共線向量定理：空間任意兩個向量a，b，且a≠0，a∥b，存在實數(shù)λ，使b=λa

三點共線：此部分的內(nèi)容與平面向量的三點共線是一致的，A，B，C三點共線能得到以下兩個等式。

4.共面向量：

定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量

備注：空間內(nèi)任意的兩個向量肯定是共面的，因為向量可以進(jìn)行平移

共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，p與向量a，b共面的條件是存在實數(shù)x，y使p=xa+yb

四點共面：若A，B，C，D四點共面也可以得到以下兩個等式

5.空間向量基本定理：

定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc

備注：若三向量a，b，c不共面，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。

推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使

6.空間向量的數(shù)量積：

向量的數(shù)量積：此部分內(nèi)容也與平面向量相同，a·b=￨a￨·￨b￨·cos

備注：

① a2=￨a￨2

② 0向量與任何向量的數(shù)量積均為0

空間向量數(shù)量積運算率：

(λa)b=λ(a·b)=a(λb)

a·b=b·a

a·(b+c)=a·b+a·c

7.空間向量的直角坐標(biāo)系：

空間直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對空間任一點A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使OA=x i+y j+z k，有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。

備注: 向量i，j，k作為空間直角坐標(biāo)系的基底，是三個互相垂直的向量，長度為1，這樣的基底叫單位正交基底。

建立空間直角坐標(biāo)系的右手定則:

伸出右手的大拇指、食指和中指，并互為90°，則大拇指代表X坐標(biāo)，食指代表Y坐標(biāo)，中指代表Z坐標(biāo)；大拇指的指向為X坐標(biāo)正方向，食指的指向為Y坐標(biāo)的正方向，中指的指向為Z坐標(biāo)的正方向。

空間向量的坐標(biāo)運算：

a=(x1，y1，z1)，b=( x2，y2，z2)

a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)

a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)

λa=( λx1，λy1，λz1)

a·b=x1x2+y1y2+z1z2

a∥b：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2

a⊥b：x1x2+y1y2+z1z2=0

二

立體幾何在空間向量中的應(yīng)用

1.法相量

定義：如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.

注意：

① 法向量一定是非零向量;

② 一個平面的法向量不唯一，但所有的法向量都互相平行;

③ 向量n是平面的法向量，向量m是與平面平行或在平面內(nèi)，則有n·m=0

求平面法相量的步驟：

① 設(shè)一個平面的法向量為n=(x，y，z)

② 找出平面內(nèi)兩個不共線的向量,并求出其坐標(biāo)a=(a1,b1,c1)和b=(a2,b2,c2)

③ 根據(jù)法相量的定義建立方程組

④ 解方程組，求出其中的一個解，即得到法向量

2.用向量法解決立體幾何平行問題

設(shè)直線L，m的方向向量分別是a，b，平面α，β的法向量分別是n1，n2

線線平行：L∥m⇔a∥b⇔a=k·b

線面平行：L∥α⇔a⊥n1⇔a·n1=0

面面平行：α∥β⇔n1∥n2⇔ n1=k·n2

3.用向量法解決立體幾何垂直問題

設(shè)直線L，m的方向向量分別是a，b，平面α，β的法向量分別是n1，n2

線線垂直：L⊥m⇔a⊥b⇔ a·b=0

線面垂直：L⊥α⇔a∥n1⇔ a=k·n1

面面垂直：α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0

4.用向量法解決立體幾何空間角問題

① 兩條直線的夾角

兩條直線夾角范圍為：[0, 90°]

設(shè)直線L，m的方向向量分別為a，b

則兩直線夾角為：

備注：兩條異面直線的夾角范圍為(0, 90°]，注意兩條異面直線的夾角不會是0°

② 直線與平面的夾角

直線與平面夾角的范圍：[0, 90°]

設(shè)直線L的方向向量為a，平面α的法向量為n

直線L與平面α所成的角為：

③ 二面角

二面角的范圍：[0, 180°]

設(shè)平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2

則平面α-L-β的二面角為法相量的夾角或者法相量夾角的補角。

如果是法相量的夾角：

如果是法相量的夾角的補角：

那么如何判斷二面角是法相量的夾角還是法相量夾角的補角呢？

老師告訴大家一種判斷的方法，在α內(nèi)任意找一點A，β內(nèi)找一點B，得到

如果所得結(jié)果是同號，那么平面的二面角是兩個法向量的夾角

如果所得結(jié)果是異號，那么平面的二面角是兩個法向量的夾角的補角

具體如下圖：