⾼⼀數(shù)學(xué)必修⼀知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
⾼⼀數(shù)學(xué)必修⼀的學(xué)習(xí)，需要⼤家對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)⾏總結(jié)，這樣⼤家最⼤效率地提⾼⾃⼰的學(xué)習(xí)成績，
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⾼⼀數(shù)學(xué)必修⼀知識(shí)點(diǎn)總結(jié)篇1
知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
本節(jié)知識(shí)包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的
圖象等知識(shí)點(diǎn)。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對(duì)稱性是學(xué)習(xí)函數(shù)
的圖象的基礎(chǔ)，函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前⾯的⼏個(gè)知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)的圖象就迎刃⽽解了。
⼀、函數(shù)的單調(diào)性
1、函數(shù)單調(diào)性的定義
2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明：(1)定義法(2)復(fù)合函數(shù)分析法(3)導(dǎo)數(shù)證明法(4)圖象法
⼆、函數(shù)的奇偶性和周期性
1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義
2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明⽅法
3、函數(shù)的周期性的判定⽅法
三、函數(shù)的圖象
1、函數(shù)圖象的作法(1)描點(diǎn)法(2)圖象變換法
2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換。
常見考法
本節(jié)是段考和⾼考必不可少的考查內(nèi)容，是段考和⾼考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。選擇題、填空題和解答
題都有，并且題⽬難度較⼤。在解答題中，它可以和⾼中數(shù)學(xué)的每⼀章聯(lián)合考查，多屬于拔⾼題。多考
查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。
誤區(qū)提醒
1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問題定義域優(yōu)先的原則”。
2、單調(diào)區(qū)間必須⽤區(qū)間來表⽰，不能⽤集合或不等式，單調(diào)區(qū)間⼀般寫成開區(qū)間，不必考慮端點(diǎn)
問題。
3、在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能⽤“或”和“”連接，只能⽤逗號(hào)隔開。
4、判斷函數(shù)的奇偶性，⾸先必須考慮函數(shù)的定義域，如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)
⼀定是⾮奇⾮偶函數(shù)。
5、作函數(shù)的圖象，⼀般是⾸先化簡(jiǎn)解析式，然后確定⽤描點(diǎn)法或圖象變換法作函數(shù)的圖象。
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域．
注意：
1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。
求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
第 1 頁
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零，
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.
◆相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
(見課本21頁相關(guān)例2)
2．值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法
(2)配方法
(3)代換法
3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納
第 2 頁
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(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
A、描點(diǎn)法：
B、圖象變換法
常用變換方法有三種
1)平移變換
2)伸縮變換
3)對(duì)稱變換
4．區(qū)間的概念
第 3 頁
（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間
（2）無窮區(qū)間
（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．
5．映射
一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）”
第 4 頁
對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：
(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；
(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。
(2)各部分的自變量的取值情況．
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．
補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
第 5 頁
二．函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))
（1）增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1 如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)； （2） 圖象的特點(diǎn) 如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. 第 6 頁 (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法 (A) 定義法： 任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）． (B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 第 7 頁 復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減” 注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)） （1）偶函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)． （2）．奇函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)． （3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 第 8 頁 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)． 注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 . 9、函數(shù)的解析表達(dá)式 （1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域. （2）求函數(shù)的解析式的主要方法有： 1)湊配法 2)待定系數(shù)法 第 9 頁 3)換元法 4)消參法 10．函數(shù)最大（小）值（定義見課本p36頁） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值 利用圖象求函數(shù)的最大（小）值 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值： 第 10 頁 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)； 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 例題： 1.求下列函數(shù)的定義域： ⑴ ⑵ 2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開 _ 3.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是 4.函數(shù) ，若，則= 第 11 頁 5.求下列函數(shù)的值域： ⑴ ⑵ (3) (4) 6.已知函數(shù)，求函數(shù)，的解析式 7.已知函數(shù)滿足，則= 。 8.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí)= 在R上的解析式為 9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： ⑴ ⑵ ⑶ 10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論． 第 12 頁 11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證：． 第三章 基本初等函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù) （一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*． ◆負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： 第 13 頁 ， ◆0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （1）· ； （2） ； （3） ． （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽． 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1． 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 第 14 頁 a>1 0 定義域 R 定義域 R 值域y＞0 值域y＞0 在R上單調(diào)遞增 在R上單調(diào)遞減 非奇非偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1） 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（0，1） 注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； 第 15 頁 （2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)； （3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有； 二、對(duì)數(shù)函數(shù) （一）對(duì)數(shù) 1．對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：（— 底數(shù)，— 真數(shù)，— 對(duì)數(shù)式） 說明： 注意底數(shù)的限制，且； ； 注意對(duì)數(shù)的書寫格式． 兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)； 第 16 頁 自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)． ◆指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 冪值 真數(shù) ＝ N＝ b 底數(shù) 指數(shù) 對(duì)數(shù) （二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 第 17 頁 如果，且，，，那么： ·＋； －； ． 注意：換底公式 （，且；，且；）． 利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 （1）；（2）． （二）對(duì)數(shù)函數(shù) 1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）． 第 18 頁 注意： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)． 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且． 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： a>1 0 定義域x＞0 定義域x＞0 值域?yàn)镽 值域?yàn)镽 在R上遞增 在R上遞減 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0） 函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0） （三）冪函數(shù) 第 19 頁 1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)． 2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納． （1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）； （2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸； 第 20 頁
