★知識梳理★
1. 橢圓定義：
（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個定點
的距離之和為常數(shù)
的動點
的軌跡叫橢圓,其中兩個定點
叫橢圓的焦點.
（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點
與定直線
(定點
不在定直線
上)的距離之比是常數(shù)
(
)的點的軌跡為橢圓
（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉(zhuǎn)化）.
2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):
標準方程
性
質(zhì)
參數(shù)關系
焦點
焦距
范圍
頂點
對稱性
關于x軸、y軸和原點對稱
離心率
準線
考點1 橢圓定義及標準方程
題型1:橢圓定義的運用
[例1 ] 橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是
A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能
[解析]按小球的運行路徑分三種情況:
(1)
,此時小球經(jīng)過的路程為2(a－c);
(2)
, 此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c);
(3)
此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選D
1.短軸長為
，離心率
的橢圓兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為（ ）
A.3 B.6 C.12 D.24
2.已知
為橢圓
上的一點，
分別為圓
和圓
上的點，則
的最小值為（ ）
A． 5 B． 7 C ．13 D． 15
3．設k＞1，則關于x，y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲線是（ ）
A.長軸在x軸上的橢圓 B.實軸在y軸上的雙曲線
C.實軸在x軸上的雙曲線 D.長軸在y軸上的橢圓
4．橢圓
的長軸長為（ ）
A．2 B.3 C.6 D. 9
5．已知橢圓
（
）的兩個焦點為
,以
為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊，且
，則
等于___________.
1、利用橢圓的定義求橢圓的標準方程：
根據(jù)動點滿足等式的幾何意義，寫出標準方程；
2、利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標準方程：
建立關于
的方程或方程組；
3、利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程：
（1）如果明確橢圓的焦點在
軸上，那么設所求橢圓的方程為
（2）如果明確橢圓的焦點在
軸上，那么設所求橢圓的方程為
（3）如果橢圓的中心在原點，但焦點的位置不明確是在
軸上，還是在
軸上，那么方程可設為
，進而求解
[例2 ]設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為
－4，求此橢圓方程.
【解題思路】將題中所給條件用關于參數(shù)
的式子“描述”出來
[解析]設橢圓的方程為
或
，
則
，
解之得：
，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為
或
.
【名師指引】準確把握圖形特征，正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)
的數(shù)量關系．
［警示］易漏焦點在y軸上的情況．
1. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是____________.
2．已知
是橢圓的兩個焦點，過
的直線
交橢圓于
兩點，若
的周長為8，則橢圓方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
3．已知焦點在
軸上的橢圓的離心率為
，它的長軸長等于圓
的半徑，則橢圓的標準方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知方程
,討論方程表示的曲線的形狀
橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是
，求這個橢圓方程.
考點2 橢圓的幾何性質(zhì)
題型1:求橢圓的離心率（或范圍）
解題方法歸納：
（1）若給定橢圓的方程，則根據(jù)橢圓的焦點位置確定
求出
的值，利用公式
直接求解
（2）由已知轉(zhuǎn)化為
或
，利用公式
或變形
求解
（3）若橢圓方程未知，則根據(jù)條件及幾何圖形建立關于
的關系式，化為關于
的齊次方程，再化為關于
的方程求解 ：或者化為關于
的齊次方程，求
再用
求解
[例3 ] 在
中，
．若以
為焦點的橢圓經(jīng)過點
，則該橢圓的離心率
．
【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定
（2）只要列出
的齊次關系式，就能求出離心率（或范圍）
（3）“焦點三角形”應給予足夠關注
【新題導練】
1.如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為
.
.
.
.
2.已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓
的離心率為
3．已知橢圓方程
，橢圓上點M到該橢圓一個焦點F1的距離是2，N是MF1的中點，O是橢圓的中心，那么線段ON的長是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.
4．設
分別是橢圓
的左、右焦點，點
在橢圓
上，線段
的中點在
軸上，若
，則橢圓
的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
5．橢圓
與漸近線為
的雙曲線有相同的焦點
,
為它們的一個公共點,且
,則橢圓的離心率為（ )
（A）
（B)
（C）
（D)
6．已知橢圓
的上、下頂點分別為
、
，左、右焦點分別為
、
，若四邊形
是正方形，則此橢圓的離心率
等于
A．
B．
C．
D．
7．過點M（1，1）作斜率為﹣
的直線與橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．
8．橢圓
的兩個焦點分別是
，若
上的點
滿足
，則橢圓
的離心率
的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
9．橢圓
＋
＝1(a>b>0)的兩頂點為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為( )
A．
B．
C．
D．
題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）
[例4 ] 已知實數(shù)
滿足
,求
的最大值與最小值
【解題思路】 把
看作
的函數(shù)
[解析] 由
得
,
當
時,
取得最小值
,當
時,
取得最大值6
【新題導練】
1.已知點
是橢圓
（
，
）上兩點,且
,則
=
2.如圖，把橢圓
的長軸
分成
等份，過每個分點作
軸的垂線交橢圓的上半部分于
七個點，
是橢圓的一個焦點
則
________________
3．已知橢圓
上存在兩點
、
關于直線
對稱，求
的取值范圍.
四．橢圓的焦點三角形
例：已知橢圓的兩焦點為
、
，
為橢圓上一點，且
。
（1）求此橢圓的方程；
（2）若
在第二象限，
，求
的面積。
1、圓
的焦點為
、
，點
在橢圓上，若
，則
；
的大小為 ；
2.設
是橢圓
上的一點，
、
為焦點，
，求
的面積。
3.已知點
是橢圓
上的一點，
、
為焦點，
，求點
到
軸的距離。
4.橢圓
的焦點為
、
，
為其上一動點，當
為鈍角時，點
的橫坐標的取值范圍為 。
5.P為橢圓
上一點，
、
分別是橢圓的左、右焦點。（1）若
的中點是
，求證：
；（2）若
，求
的值。
、
及
；
7.設
分別是橢圓
的左、右焦點，點P在橢圓上，若△
為直角三角形，則△
的面積等于__
8.已知橢圓
的左、右焦點分別是
、
，點P在橢圓上.
若P、
、
是一個直角三角形的三個頂點，則點P到
軸的距離為（ ）
A.
B.
C.
D.
或
拓展結(jié)論：已知P是橢圓
上的一點,
為橢圓的兩焦點.
(1) 當
時，橢圓上存在4個點，使得
，且
；
(2) 當
時，橢圓上存在2個點，使得
，且
；
(3) 當
時，橢圓上不存在點，使得
，且
.
專題訓練：
1.P為橢圓
上一點,
為焦點，滿足
的點的個數(shù)為 .(4個)
2.已知
為橢圓的兩個焦點，滿足
的點M總在橢圓內(nèi)，則橢圓的離心率為 . (
)
3. 橢圓
的左右焦點分別為
，且在橢圓上存在點P,使得
,則實數(shù)M的取值范圍為 .(
) 擴展
考點3 橢圓的最值問題
[例5 ]橢圓
上的點到直線l:
的距離的最小值為___________．
【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù)
[解析]在橢圓上任取一點P,設P(
). 那么點P到直線l的距離為：
【名師指引】也可以直接設點
，用
表示
后，把動點到直線的距離表示為
的函數(shù)，關鍵是要具有“函數(shù)思想”
【新題導練】
1.橢圓
的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
2.
是橢圓
上一點，
、
是橢圓的兩個焦點，求
的最大值與最小值
3.已知點
是橢圓
上的在第一象限內(nèi)的點，又
、
，
是原點，則四邊形
的面積的最大值是_________．
4．已知
是曲線
上的動點，則
的最大值為
A.
B.
C.
D.
5．點
是橢圓
上的一個動點，則
的最大值為（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．若點
和點
分別為橢圓
的中心和右焦點，點
為橢圓上的任意一點，則
的最小值為
A．
B．
C．
D．1
7．動點
在橢圓
上,若
點坐標為
,
,且
,則
的最小值是（ )
A.
B.
C.
D.
8．在橢圓
上有兩個動點
，
為定點，
，則
的最小值為（ ）
A.6 B.
C.9 D.
9．若點O和點F分別為橢圓
＋
＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則
·
的最大值為( )
A.2 B.3 C.6 D.8
考點4.橢圓的中點弦問題
例： （1）已知動點
到直線
的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍，
(Ⅰ) 求動點M的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線m的斜率.
1、直線
交橢圓
于A、B兩點，
中點的坐標是
，則直線
的方程為
；
2、已知橢圓的方程是
，則以點
為中點的弦所在的直線方程是 ．
3.已知橢圓
的右焦點為
,過點
的直線交橢圓于
兩點.若
的中點坐標為
,則
的方程為（ ）
A．
B．
C．
D．
4．中心為
, 一個焦點為
的橢圓,截直線
所得弦中點的橫坐標為
,則該橢圓方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.直線
過橢圓
的左焦點F，且與橢圓相交于P、Q兩點，M為PQ的中點，O為原點．若△FMO是以OF為底邊的等腰三角形，則直線l的方程為 ．
6．(本題滿分12分)
已知定點
及橢圓
,過點
的動直線與該橢圓相交于
兩點
(1)若線段
中點的橫坐標是
,求直線
的方程;
7．設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(0,4)，離心率為.
(1)求C的方程； (2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．
8、橢圓Ｃ：
的左右焦點分別為
、
，點
在橢圓Ｃ上，且
，
。
（I）求橢圓Ｃ的方程；
（II）若直線
過圓
的圓心
交橢圓于
、
兩點，且
、
關于點
對稱，求直線
的方程。
橢圓專題訓練
設經(jīng)過點F（1,0）的直線
與橢圓
交于A，B兩點
（1）若點F恰好為AB的中點，求直線
的方程； （答案：x=1）
（2）若弦長
，求直線
的方程； （答案：
）
（3）若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線
的方程；（答案：
）
（4）若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過左焦點
，求直線
的方程；（答案：
）
（5）若點M恰好在橢圓上，使得
，求直線
的方程；（答案：
）
（6）若
，求直線
的方程； （答案：
）
（7）若定點C（0，
），使得
，求直線
的方程；（答案：
）
（8）若動點P在x=2上，使得△PAB為正三角形，求直線
的方程；（答案：
）
（9）若動點P在x=2上，使得
，求直線
的方程；（答案：不存在）
（10）若直線
的斜率為1，使得△ABD為正三角形，求頂點D的坐標；
答案：
或
（11）若
，點T在橢圓上使得△TAB面積為
，求點T的個數(shù)；（答案：個數(shù)為4）
