直線和圓的方程是平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，在學(xué)習(xí)時，應(yīng)掌握三個核心問題：①直線方程的特征值或直線方程；②直線和圓的位置關(guān)系；③直線和圓與其他知識的交匯。這三類問題也是考試命題的熱點(diǎn)，下面加以分類歸納。
一、掌握好直線方程的特征值或直線方程
例1 “”是“直線平行于直線”的（ ）
A. 充分而不必要條件
B. 必要而不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解：因?yàn)闀r，直線與直線的斜率相等，所以兩直線平行，而直線平行于直線，則斜率相等，，所以選C。
二、掌握好直線與圓的位置關(guān)系
例2 圓心為（1，1）且與直線相切的圓的方程是_____________。
解：設(shè)所求圓的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑，可解得，所求圓的方程為。
例3 若圓上至少有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
解：由題意得圓的方程為，圓心為（2，2），半徑為，若使圓上至少有三個點(diǎn)到直線的距離為，結(jié)合圖形可知只需圓心到直線的距離d滿足，即，顯然，兩邊同除以得，解得，直線的斜率，所以，可解得，故選B。
本題是有關(guān)于直線與圓的較為綜合的題目，處理這類問題的關(guān)鍵是：（1）充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，直觀明了；（2）處理好圓心到直線的距離、圓上的點(diǎn)到直線的距離以及直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)是解決問題的關(guān)鍵。
三、復(fù)習(xí)好直線和圓與其他知識的交匯
例4 若直線按向量平移后與圓相切，則的值為（ ）
A. 8或
B. 6或
C. 4或
D. 2或
解：過程略。答案為A。
點(diǎn)評：本題考查向量的平移公式和直線與圓的位置關(guān)系，是向量與平面解析幾何交匯的題目。問題轉(zhuǎn)化為：圓按向量平移后得到的圓與已知直線相切。圓心（，1）到直線的距離等于半徑，答案為A。
例5 已知直線與圓O：相交于A、B兩點(diǎn)，且，則=___________。
解：先由圓的幾何特征，求得兩向量的夾角是，則
。
解決直線與圓位置關(guān)系問題的
四種常用途徑
題目：直線與圓相切，則a的值為（ ）
A.
B.
C.1
D.
一. 利用幾何量之間關(guān)系處理
即利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系：
（1）圓C與直線相離；
（2）圓C與直線相切；
（3）圓C與直線相交。
解法1：圓的圓心為（1，0），半徑，據(jù)題意有，解得。
故選D。
二. 利用方程思想處理
即把直線方程代入圓的方程，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，其判別式為△，則有：
（1）圓C與直線相離；
（2）圓C與直線相切；
（3）圓C與直線相交。
解法2：由直線方程得，并代入圓方程，整理得。
又直線與圓相切，應(yīng)有
，解得。
故選D。
三. 利用數(shù)形結(jié)合法處理
即作出直線與圓的圖形，利用圖形的直觀性，從而使問題解決。
解法3：由直線過定點(diǎn)，如下圖知，若直線與圓相切，則有直線與x軸平行，即。
故選D。
四. 特殊方法處理
對于選擇題，除了以上常規(guī)的方法，還可借助特殊方法來處理，如驗(yàn)證法、估算法、特征分析法等途徑。
解法4：驗(yàn)證法
取，顯然滿足條件，排除B、C；再取a=1，得直線方程是與圓相交。
故排除A，而選D。
來源：高中數(shù)學(xué)競賽。
