人工智能（Artificial Intelligence，簡稱AI）正以驚人的速度改變著我們的生活。然而，要實現智能的機器，離不開數學的支持。本文將帶你深入探索人工智能的數學基礎，揭示AI背后的數學奧秘。

一、線性代數（Linear Algebra）

線性代數是人工智能的數學基礎之一，它涉及向量、矩陣、線性變換等概念。在機器學習和深度學習中，線性代數被廣泛應用于數據處理、特征提取和模型訓練等方面。

二、微積分（Calculus）

微積分是研究變化和積分的數學分支，對于理解和優(yōu)化機器學習算法至關重要。梯度下降、反向傳播等核心算法都依賴于微積分的基本原理。

三、概率論與統(tǒng)計學（Probability and Statistics）

概率論與統(tǒng)計學是人工智能中不可或缺的數學基礎。它們用于建模和分析不確定性，幫助我們理解和處理數據中的隨機性，為人工智能算法提供可靠的推斷和決策依據。

四、信息論（Information Theory）

信息論是研究信息量和信息傳輸的數學理論。在機器學習中，信息論被廣泛應用于特征選擇、數據壓縮和模型評估等方面，為模型的學習和泛化能力提供基礎。

五、優(yōu)化理論（Optimization Theory）

優(yōu)化理論是研究如何找到最優(yōu)解的數學分支。在人工智能中，優(yōu)化理論被廣泛應用于模型訓練、參數調優(yōu)和決策制定等方面，幫助我們找到最佳的解決方案。

六、圖論（Graph Theory）

圖論是研究圖和網絡結構的數學分支。在人工智能中，圖論被廣泛應用于推薦系統(tǒng)、社交網絡分析和路徑規(guī)劃等方面，幫助我們理解和分析復雜的關系和連接。

人工智能必備高等數學知識點清單

AI 技術崗所要求的高等數學知識，大致可以分為四個方面：微積分、概率統(tǒng)計、線性代數，和最優(yōu)化理論。

每個分領域都至少是一本書（也可以是一摞書）。我們在這里暫且抽取和機器學習、深度學習相關的最基礎部分，給大家做一下聚焦：

【微積分】

基礎概念（極限、可微與可導、全導數與偏導數）：只要學微積分，就必須要明白的概念，否則后面什么都無法繼續(xù)學習。

函數求導：求導是梯度的基礎，而梯度是 AI 算法的基礎，因此求導非常重要！必須要搞清楚概念，并學會常見函數的導函數求法。

鏈式法則：符合函數求導法則，反向傳播算法的理論基礎。

泰勒公式和費馬引理：這兩者也是梯度下降法的基礎組成，重要程度與求導相同。

微分方程及其求解：很重要，是部分機器學習模型求解的必備知識。

拉格朗日乘子法和對偶學習：理解 SVM/SVR 的理論基礎。SVM/SVR 作為機器學習模型的常用“中堅力量”，其重要程度不言而喻。

【概率統(tǒng)計】

簡單統(tǒng)計量（個數、最大值、最小值、中位數、均值、方差）及其物理意義：概率統(tǒng)計的概念基礎。

隨機和抽樣：隨機——概率統(tǒng)計成立的基礎；抽樣——統(tǒng)計的方法。

頻率和概率，以及概率的基本概念：搞清什么是概率，它和頻率的區(qū)別與聯系。

幾種常見的概率分布及公式（平均分布、二項分布、正態(tài)分布……）

參數估計：只知道大致的分布，不知道具體的參數怎么辦？沒關系，我們可以根據估計一下。其中最重要的是極大似然估計。

中心極限定理：如果不知道某事物的概率分布該怎么辦?沒關系，就當它符合正態(tài)分布好了。可是為什么能這樣近似呢?因為我們有中心極限定理呀。

假設驗證：到底假設得對不對呢？我們根據樣本來驗證一下。

貝葉斯公式：太重要啦！是它使得我們可以根據先驗概率來預測后驗概率。而樸素貝葉斯公式自己就是樸素貝葉斯模型本身啊。

回歸分析：想想那么多名字里有“回歸”的模型吧!

狀態(tài)轉移網絡：概率鏈、隱馬爾可夫模型和條件隨機場。

【線性代數】

向量與標量：用向量和標量表示事物特征的差別是什么？

向量空間，向量性質及向量的幾何意義：所謂高維低維指的是什么？同一個向量能否存在于不同的向量空間里？向量的移動、轉向和拉伸是如何做到的？

線性函數：什么是線性函數，它具備怎樣的性質？

矩陣和矩陣運算：矩陣出現的目的是什么？掌握矩陣的基礎運算（與常數/向量/矩陣的加法和乘法）。

特殊矩陣（方陣、實對稱矩陣、（半）正定/負定矩陣等）及其性質：根據不同的性質，我們可以劃分出哪些特殊矩陣，它們都有哪些特殊性質？

特征值和特征向量：定義、性質，以及特征值求解。

用矩陣求解微分方程。

正交：什么是正交？函數的正交，向量的正交，和超平面的正交分別是如何形式化表達的，又具備怎樣的物理意義。

【最優(yōu)化方法】

凸函數與極值：搞清楚什么是凸函數，凸函數與極值的關系，極值和最值的關系等。

注意：國內不同教科書對于“凸”的定義存在不一致的情況，有些書上把其他書上說的“凸函數”叫做“凹函數”。

直觀而言，我們一向說的“凸函數”是那類一維自變量情況下看起來像個“U”，二維自變量下像個碗的那種函數。

最優(yōu)化：什么是最優(yōu)化問題？什么是最優(yōu)化方法？無限制條件和有限制條件下的最優(yōu)化方法基本原理分別是什么？

梯度下降法：最基礎最常用的最優(yōu)化方法，以及其他若干最優(yōu)化方法的基礎，務必全面掌握。

其他最優(yōu)化算法：了解其他一些常用最優(yōu)化方法，例如，牛頓法、共軛梯度法、線性搜索算法、模擬退火算法、遺傳算法等。

人工智能背后的數學大神們

上述知識點，看起來好像有點嚇人哦，不像是“我能記得住”的樣子。

有沒有辦法能夠輕松愉快不累且高效地掌握人工智能（機器學習/深度學習）領域要用到的數學知識呢？

這里推薦一種筆者在探索中逐步發(fā)現的，簡單直接又有些趣味的方法：以數學家為主線學習高等數學知識 —— 也就是，“以人為軸”學AI數學。

我們先來看看下面這些畫像吧： 

圖片

你能認出幾個？

他們分別是（從左到右從上到下依次）：牛頓、高斯、貝葉斯、費馬、泰勒、拉格朗日、拉普拉斯、傅立葉，和伯努利。

說實話，現在全球數以千萬計的 AI 技術人員真應該把這些大佬供起來，說咱們的飯碗都是他們賞的也不為過。

牛頓大神發(fā)明了微積分；

輔之以費馬引理、泰勒公式，奠定了如今一切 AI 最優(yōu)化算法工程實現的理論基礎。

拉格朗日乘子法為限定條件下多元函數的最優(yōu)化問題提供了解法。

數學王子高斯在概率論和線性代數領域的非凡貢獻不勝枚舉，僅僅高斯分布一項就堪稱概率論之抗鼎模型。

貝葉斯讓我們可以用既往經驗預測未來。

伯努利家族不僅在概率論領域貢獻頗豐，就連他家二弟賣給洛必達的“洛必達法則”亦是求解具有不定型的極限的不二法門。

拉普拉斯算子于微積分和線性代數而言都是非常重要的基石。

傅立葉變換在時域信號和頻域信號之間的橋梁作用成就了整個語音領域。

當然，還有下面這位：

萊布尼茨與牛頓分別獨立發(fā)明了微積分，他提出的符號系統(tǒng)一直沿用至今。他同樣是西方二進制算數體系的提出者和線性代數的重要奠基人。

當然，無論微積分、概率統(tǒng)計還是線性代數，都不是在一日之內形成的學科，都經歷了數百年乃至上千年大量人類頂級頭腦的思考和探索，對其做出貢獻的數學家燦若繁星。

對照我們亟待掌握的知識點，以這些理論的提出者為基點，沿著數學史學習之，并同步了解數學發(fā)展的進程。順便還可以以大神們之間的交往和恩怨等八卦作為潤滑劑。

如此一路學來，既多了許多趣味，又能追本溯源，了解到這些理論提出的現實背景（例如：物理學的發(fā)展及其對數學工具的需求）。

在學理論的同時了解這一理論最初的作用域和當時解決的實際問題，對于我們理解其中各類概念的物理意義有著極大的幫助。