人工智能（Artificial Intelligence，簡(jiǎn)稱(chēng)AI）正以驚人的速度改變著我們的生活。然而，要實(shí)現(xiàn)智能的機(jī)器，離不開(kāi)數(shù)學(xué)的支持。本文將帶你深入探索人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，揭示AI背后的數(shù)學(xué)奧秘。

一、線(xiàn)性代數(shù)（Linear Algebra）

線(xiàn)性代數(shù)是人工智能的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，它涉及向量、矩陣、線(xiàn)性變換等概念。在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)中，線(xiàn)性代數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)處理、特征提取和模型訓(xùn)練等方面。

二、微積分（Calculus）

微積分是研究變化和積分的數(shù)學(xué)分支，對(duì)于理解和優(yōu)化機(jī)器學(xué)習(xí)算法至關(guān)重要。梯度下降、反向傳播等核心算法都依賴(lài)于微積分的基本原理。

三、概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)（Probability and Statistics）

概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)是人工智能中不可或缺的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。它們用于建模和分析不確定性，幫助我們理解和處理數(shù)據(jù)中的隨機(jī)性，為人工智能算法提供可靠的推斷和決策依據(jù)。

四、信息論（Information Theory）

信息論是研究信息量和信息傳輸?shù)臄?shù)學(xué)理論。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，信息論被廣泛應(yīng)用于特征選擇、數(shù)據(jù)壓縮和模型評(píng)估等方面，為模型的學(xué)習(xí)和泛化能力提供基礎(chǔ)。

五、優(yōu)化理論（Optimization Theory）

優(yōu)化理論是研究如何找到最優(yōu)解的數(shù)學(xué)分支。在人工智能中，優(yōu)化理論被廣泛應(yīng)用于模型訓(xùn)練、參數(shù)調(diào)優(yōu)和決策制定等方面，幫助我們找到最佳的解決方案。

六、圖論（Graph Theory）

圖論是研究圖和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)分支。在人工智能中，圖論被廣泛應(yīng)用于推薦系統(tǒng)、社交網(wǎng)絡(luò)分析和路徑規(guī)劃等方面，幫助我們理解和分析復(fù)雜的關(guān)系和連接。

人工智能必備高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)清單

AI 技術(shù)崗所要求的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，大致可以分為四個(gè)方面：微積分、概率統(tǒng)計(jì)、線(xiàn)性代數(shù)，和最優(yōu)化理論。

每個(gè)分領(lǐng)域都至少是一本書(shū)（也可以是一摞書(shū)）。我們?cè)谶@里暫且抽取和機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)相關(guān)的最基礎(chǔ)部分，給大家做一下聚焦：

【微積分】

基礎(chǔ)概念（極限、可微與可導(dǎo)、全導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)）：只要學(xué)微積分，就必須要明白的概念，否則后面什么都無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)。

函數(shù)求導(dǎo)：求導(dǎo)是梯度的基礎(chǔ)，而梯度是 AI 算法的基礎(chǔ)，因此求導(dǎo)非常重要！必須要搞清楚概念，并學(xué)會(huì)常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求法。

鏈?zhǔn)椒▌t：符合函數(shù)求導(dǎo)法則，反向傳播算法的理論基礎(chǔ)。

泰勒公式和費(fèi)馬引理：這兩者也是梯度下降法的基礎(chǔ)組成，重要程度與求導(dǎo)相同。

微分方程及其求解：很重要，是部分機(jī)器學(xué)習(xí)模型求解的必備知識(shí)。

拉格朗日乘子法和對(duì)偶學(xué)習(xí)：理解 SVM/SVR 的理論基礎(chǔ)。SVM/SVR 作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型的常用“中堅(jiān)力量”，其重要程度不言而喻。

【概率統(tǒng)計(jì)】

簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)量（個(gè)數(shù)、最大值、最小值、中位數(shù)、均值、方差）及其物理意義：概率統(tǒng)計(jì)的概念基礎(chǔ)。

隨機(jī)和抽樣：隨機(jī)——概率統(tǒng)計(jì)成立的基礎(chǔ)；抽樣——統(tǒng)計(jì)的方法。

頻率和概率，以及概率的基本概念：搞清什么是概率，它和頻率的區(qū)別與聯(lián)系。

幾種常見(jiàn)的概率分布及公式（平均分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布……）

參數(shù)估計(jì)：只知道大致的分布，不知道具體的參數(shù)怎么辦？沒(méi)關(guān)系，我們可以根據(jù)估計(jì)一下。其中最重要的是極大似然估計(jì)。

中心極限定理：如果不知道某事物的概率分布該怎么辦?沒(méi)關(guān)系，就當(dāng)它符合正態(tài)分布好了。可是為什么能這樣近似呢?因?yàn)槲覀冇兄行臉O限定理呀。

假設(shè)驗(yàn)證：到底假設(shè)得對(duì)不對(duì)呢？我們根據(jù)樣本來(lái)驗(yàn)證一下。

貝葉斯公式：太重要啦！是它使得我們可以根據(jù)先驗(yàn)概率來(lái)預(yù)測(cè)后驗(yàn)概率。而樸素貝葉斯公式自己就是樸素貝葉斯模型本身啊。

回歸分析：想想那么多名字里有“回歸”的模型吧!

狀態(tài)轉(zhuǎn)移網(wǎng)絡(luò)：概率鏈、隱馬爾可夫模型和條件隨機(jī)場(chǎng)。

【線(xiàn)性代數(shù)】

向量與標(biāo)量：用向量和標(biāo)量表示事物特征的差別是什么？

向量空間，向量性質(zhì)及向量的幾何意義：所謂高維低維指的是什么？同一個(gè)向量能否存在于不同的向量空間里？向量的移動(dòng)、轉(zhuǎn)向和拉伸是如何做到的？

線(xiàn)性函數(shù)：什么是線(xiàn)性函數(shù)，它具備怎樣的性質(zhì)？

矩陣和矩陣運(yùn)算：矩陣出現(xiàn)的目的是什么？掌握矩陣的基礎(chǔ)運(yùn)算（與常數(shù)/向量/矩陣的加法和乘法）。

特殊矩陣（方陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣、（半）正定/負(fù)定矩陣等）及其性質(zhì)：根據(jù)不同的性質(zhì)，我們可以劃分出哪些特殊矩陣，它們都有哪些特殊性質(zhì)？

特征值和特征向量：定義、性質(zhì)，以及特征值求解。

用矩陣求解微分方程。

正交：什么是正交？函數(shù)的正交，向量的正交，和超平面的正交分別是如何形式化表達(dá)的，又具備怎樣的物理意義。

【最優(yōu)化方法】

凸函數(shù)與極值：搞清楚什么是凸函數(shù)，凸函數(shù)與極值的關(guān)系，極值和最值的關(guān)系等。

注意：國(guó)內(nèi)不同教科書(shū)對(duì)于“凸”的定義存在不一致的情況，有些書(shū)上把其他書(shū)上說(shuō)的“凸函數(shù)”叫做“凹函數(shù)”。

直觀(guān)而言，我們一向說(shuō)的“凸函數(shù)”是那類(lèi)一維自變量情況下看起來(lái)像個(gè)“U”，二維自變量下像個(gè)碗的那種函數(shù)。

最優(yōu)化：什么是最優(yōu)化問(wèn)題？什么是最優(yōu)化方法？無(wú)限制條件和有限制條件下的最優(yōu)化方法基本原理分別是什么？

梯度下降法：最基礎(chǔ)最常用的最優(yōu)化方法，以及其他若干最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)，務(wù)必全面掌握。

其他最優(yōu)化算法：了解其他一些常用最優(yōu)化方法，例如，牛頓法、共軛梯度法、線(xiàn)性搜索算法、模擬退火算法、遺傳算法等。

人工智能背后的數(shù)學(xué)大神們

上述知識(shí)點(diǎn)，看起來(lái)好像有點(diǎn)嚇人哦，不像是“我能記得住”的樣子。

有沒(méi)有辦法能夠輕松愉快不累且高效地掌握人工智能（機(jī)器學(xué)習(xí)/深度學(xué)習(xí)）領(lǐng)域要用到的數(shù)學(xué)知識(shí)呢？

這里推薦一種筆者在探索中逐步發(fā)現(xiàn)的，簡(jiǎn)單直接又有些趣味的方法：以數(shù)學(xué)家為主線(xiàn)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí) —— 也就是，“以人為軸”學(xué)AI數(shù)學(xué)。

我們先來(lái)看看下面這些畫(huà)像吧： 

圖片

你能認(rèn)出幾個(gè)？

他們分別是（從左到右從上到下依次）：牛頓、高斯、貝葉斯、費(fèi)馬、泰勒、拉格朗日、拉普拉斯、傅立葉，和伯努利。

說(shuō)實(shí)話(huà)，現(xiàn)在全球數(shù)以千萬(wàn)計(jì)的 AI 技術(shù)人員真應(yīng)該把這些大佬供起來(lái)，說(shuō)咱們的飯碗都是他們賞的也不為過(guò)。

牛頓大神發(fā)明了微積分；

輔之以費(fèi)馬引理、泰勒公式，奠定了如今一切 AI 最優(yōu)化算法工程實(shí)現(xiàn)的理論基礎(chǔ)。

拉格朗日乘子法為限定條件下多元函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題提供了解法。

數(shù)學(xué)王子高斯在概率論和線(xiàn)性代數(shù)領(lǐng)域的非凡貢獻(xiàn)不勝枚舉，僅僅高斯分布一項(xiàng)就堪稱(chēng)概率論之抗鼎模型。

貝葉斯讓我們可以用既往經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)未來(lái)。

伯努利家族不僅在概率論領(lǐng)域貢獻(xiàn)頗豐，就連他家二弟賣(mài)給洛必達(dá)的“洛必達(dá)法則”亦是求解具有不定型的極限的不二法門(mén)。

拉普拉斯算子于微積分和線(xiàn)性代數(shù)而言都是非常重要的基石。

傅立葉變換在時(shí)域信號(hào)和頻域信號(hào)之間的橋梁作用成就了整個(gè)語(yǔ)音領(lǐng)域。

當(dāng)然，還有下面這位：

萊布尼茨與牛頓分別獨(dú)立發(fā)明了微積分，他提出的符號(hào)系統(tǒng)一直沿用至今。他同樣是西方二進(jìn)制算數(shù)體系的提出者和線(xiàn)性代數(shù)的重要奠基人。

當(dāng)然，無(wú)論微積分、概率統(tǒng)計(jì)還是線(xiàn)性代數(shù)，都不是在一日之內(nèi)形成的學(xué)科，都經(jīng)歷了數(shù)百年乃至上千年大量人類(lèi)頂級(jí)頭腦的思考和探索，對(duì)其做出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家燦若繁星。

對(duì)照我們亟待掌握的知識(shí)點(diǎn)，以這些理論的提出者為基點(diǎn)，沿著數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)之，并同步了解數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程。順便還可以以大神們之間的交往和恩怨等八卦作為潤(rùn)滑劑。

如此一路學(xué)來(lái)，既多了許多趣味，又能追本溯源，了解到這些理論提出的現(xiàn)實(shí)背景（例如：物理學(xué)的發(fā)展及其對(duì)數(shù)學(xué)工具的需求）。

在學(xué)理論的同時(shí)了解這一理論最初的作用域和當(dāng)時(shí)解決的實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于我們理解其中各類(lèi)概念的物理意義有著極大的幫助。