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高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊主要包括計數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析三個部分。這些內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計領(lǐng)域的重要組成部分，為學(xué)生進(jìn)一步理解隨機(jī)現(xiàn)象和數(shù)據(jù)分析提供了理論基礎(chǔ)。

計數(shù)原理部分

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

原理內(nèi)容

分類加法計數(shù)原理：完成一件事有類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法…… 在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。例如，從甲地到乙地，可以乘火車、汽車或者飛機(jī)，火車有 3 趟，汽車有 2 趟，飛機(jī)有 1 趟，那么從甲地到乙地的走法共有種。

分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要個步驟，做第步有種不同的方法，做第步有種不同的方法…… 做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。比如，從地經(jīng)地到地，從到有 3 條路，從到有 2 條路，那么從地經(jīng)地到地共有種走法。

應(yīng)用場景與解題思路

這兩個原理用于解決計數(shù)問題。在解題時，首先要判斷是分類還是分步問題。如果一件事情可以分成不同的類別，每一類都能獨立完成這件事，就用分類加法計數(shù)原理；如果一件事情需要分成多個步驟，每個步驟都缺一不可，就用分步乘法計數(shù)原理。

排列與組合

概念與公式

排列：從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，記作，公式為。例如，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)。

組合：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，記作，公式為。例如，從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)。

排列組合的區(qū)別與聯(lián)系

排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)。例如，從三個元素中選兩個元素排列有共種情況；而組合只有共種情況。它們之間的聯(lián)系是。

應(yīng)用場景與解題技巧

排列組合問題常用于解決人員安排、物品選取等實際問題。解題時要注意是否有順序要求，對于復(fù)雜的問題可以采用間接法（先求總數(shù)，再減去不符合條件的情況）、捆綁法（將相鄰元素看作一個整體）、插空法（先排其他元素，再插入指定元素）等技巧。

二項式定理

定理內(nèi)容與公式

，其中，這個式子右邊的多項式叫做的二項展開式，叫做二項式系數(shù)。例如，，這里。

二項式展開式的性質(zhì)

二項式系數(shù)的性質(zhì)有對稱性（與首末兩端 “等距離” 的兩個二項式系數(shù)相等，即）、增減性與最大值（當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)和相等且最大）等。

應(yīng)用場景與解題思路

用于求二項展開式中的特定項（如常數(shù)項、含某一冪次的項），或者利用二項式系數(shù)的性質(zhì)解決系數(shù)和等問題。在求特定項時，先根據(jù)通項公式確定的值，再計算該項。

隨機(jī)變量及其分布部分

隨機(jī)變量及其概率分布

隨機(jī)變量的概念

設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為，如果對于每一個樣本點，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，就稱為隨機(jī)變量。例如，拋一枚硬幣，規(guī)定正面向上記為，反面向上記為，那么這個試驗中的隨機(jī)變量可以取或。

離散型隨機(jī)變量及其分布列

離散型隨機(jī)變量是指其可能取的值可以一一列出。設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值為，取每一個值的概率，則稱表

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為離散型隨機(jī)變量的概率分布列。例如，擲一個骰子，設(shè)隨機(jī)變量表示擲出的點數(shù)，那么的分布列為

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二項分布與超幾何分布

二項分布

若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項分布，記作，其概率分布列為。例如，重復(fù)拋次硬幣，每次拋硬幣正面向上的概率為，設(shè)表示正面向上的次數(shù)，則。

超幾何分布

一般地，設(shè)有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中任取件產(chǎn)品，用表示取出的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則服從參數(shù)為的超幾何分布，記作，其概率分布列為（其中）。例如，從個產(chǎn)品（其中個次品）中任取個，設(shè)表示取出的次品數(shù)，則。

兩種分布的比較與應(yīng)用場景

二項分布適用于獨立重復(fù)試驗，每次試驗只有兩種結(jié)果（成功或失敗），且每次試驗成功的概率相同；超幾何分布適用于不放回抽樣問題。在實際應(yīng)用中，要根據(jù)問題的特點選擇合適的分布模型來解決概率計算問題。

正態(tài)分布

正態(tài)分布的概念與概率密度函數(shù)

若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，其中為參數(shù)，則稱服從正態(tài)分布，記作。正態(tài)分布的圖象是一條鐘形曲線，關(guān)于對稱。

正態(tài)分布的性質(zhì)與原則

性質(zhì)包括曲線在軸上方，與軸之間的面積為等。原則是指在正態(tài)分布中，，這意味著隨機(jī)變量幾乎都落在區(qū)間內(nèi)。例如，考試成績近似服從正態(tài)分布，如果平均成績?yōu)椋瑯?biāo)準(zhǔn)差為，那么大約的成績落在區(qū)間內(nèi)。

應(yīng)用場景

正態(tài)分布在實際生活中有廣泛應(yīng)用，如質(zhì)量控制、考試成績分析、生物特征統(tǒng)計等領(lǐng)域，用于估計數(shù)據(jù)在某個區(qū)間內(nèi)的概率。

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析部分

變量的相關(guān)性

相關(guān)關(guān)系的概念

兩個變量之間的關(guān)系可以分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。例如，身高和體重之間有相關(guān)關(guān)系，一般來說，身高較高的人體重可能會較重，但不是絕對的，這與許多其他因素（如飲食習(xí)慣、運動情況等）有關(guān)。

散點圖與線性相關(guān)

用散點圖可以直觀地表示兩個變量之間的關(guān)系。如果散點圖中的點大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系。可以通過計算相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性相關(guān)的程度，，當(dāng)時為正相關(guān)，當(dāng)時為負(fù)相關(guān)，越接近，線性相關(guān)性越強。

一元線性回歸模型及其應(yīng)用

回歸直線方程

設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)為，則回歸直線方程為，其中，。通過最小二乘法得到回歸直線方程，使樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小。

模型檢驗與預(yù)測應(yīng)用

可以用相關(guān)系數(shù)等來檢驗回歸模型的擬合效果。在得到回歸直線方程后，可以用它來進(jìn)行預(yù)測，例如，根據(jù)身高預(yù)測體重等，但要注意預(yù)測的范圍和準(zhǔn)確性是有限的。

列聯(lián)表與獨立性檢驗

列聯(lián)表的概念與結(jié)構(gòu)

設(shè)為兩個變量，每個變量都有兩種類別，將樣本數(shù)據(jù)按兩個變量的類別進(jìn)行分類，得到的表格稱為列聯(lián)表。例如，研究吸煙與患肺癌的關(guān)系，變量是吸煙情況（吸煙、不吸煙），變量是患肺癌情況（患肺癌、未患肺癌），可以列出相應(yīng)的列聯(lián)表。

獨立性檢驗的基本思想與步驟

獨立性檢驗的基本思想是通過比較觀測值與期望值之間的差異來判斷兩個變量是否獨立。步驟包括提出假設(shè)（假設(shè)兩個變量相互獨立）、計算卡方統(tǒng)計量（其中是樣本容量，是列聯(lián)表中的頻數(shù)）、根據(jù)卡方分布確定臨界值并作出判斷。如果大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩個變量不獨立；否則，認(rèn)為兩個變量獨立。這種方法用于分析兩個分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)。