全書(shū)概覽

高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)主要包括計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布、成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析三個(gè)部分。這些內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的重要組成部分，為學(xué)生進(jìn)一步理解隨機(jī)現(xiàn)象和數(shù)據(jù)分析提供了理論基礎(chǔ)。

計(jì)數(shù)原理部分

分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理

原理內(nèi)容

分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法…… 在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。例如，從甲地到乙地，可以乘火車(chē)、汽車(chē)或者飛機(jī)，火車(chē)有 3 趟，汽車(chē)有 2 趟，飛機(jī)有 1 趟，那么從甲地到乙地的走法共有種。

分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要個(gè)步驟，做第步有種不同的方法，做第步有種不同的方法…… 做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。比如，從地經(jīng)地到地，從到有 3 條路，從到有 2 條路，那么從地經(jīng)地到地共有種走法。

應(yīng)用場(chǎng)景與解題思路

這兩個(gè)原理用于解決計(jì)數(shù)問(wèn)題。在解題時(shí)，首先要判斷是分類還是分步問(wèn)題。如果一件事情可以分成不同的類別，每一類都能獨(dú)立完成這件事，就用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果一件事情需要分成多個(gè)步驟，每個(gè)步驟都缺一不可，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理。

排列與組合

概念與公式

排列：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，記作，公式為。例如，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)。

組合：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，記作，公式為。例如，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)。

排列組合的區(qū)別與聯(lián)系

排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無(wú)關(guān)。例如，從三個(gè)元素中選兩個(gè)元素排列有共種情況；而組合只有共種情況。它們之間的聯(lián)系是。

應(yīng)用場(chǎng)景與解題技巧

排列組合問(wèn)題常用于解決人員安排、物品選取等實(shí)際問(wèn)題。解題時(shí)要注意是否有順序要求，對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題可以采用間接法（先求總數(shù)，再減去不符合條件的情況）、捆綁法（將相鄰元素看作一個(gè)整體）、插空法（先排其他元素，再插入指定元素）等技巧。

二項(xiàng)式定理

定理內(nèi)容與公式

，其中，這個(gè)式子右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，叫做二項(xiàng)式系數(shù)。例如，，這里。

二項(xiàng)式展開(kāi)式的性質(zhì)

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有對(duì)稱性（與首末兩端 “等距離” 的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即）、增減性與最大值（當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等且最大）等。

應(yīng)用場(chǎng)景與解題思路

用于求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（如常數(shù)項(xiàng)、含某一冪次的項(xiàng)），或者利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決系數(shù)和等問(wèn)題。在求特定項(xiàng)時(shí)，先根據(jù)通項(xiàng)公式確定的值，再計(jì)算該項(xiàng)。

隨機(jī)變量及其分布部分

隨機(jī)變量及其概率分布

隨機(jī)變量的概念

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，就稱為隨機(jī)變量。例如，拋一枚硬幣，規(guī)定正面向上記為，反面向上記為，那么這個(gè)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量可以取或。

離散型隨機(jī)變量及其分布列

離散型隨機(jī)變量是指其可能取的值可以一一列出。設(shè)離散型隨機(jī)變量所有可能取的值為，取每一個(gè)值的概率，則稱表

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為離散型隨機(jī)變量的概率分布列。例如，擲一個(gè)骰子，設(shè)隨機(jī)變量表示擲出的點(diǎn)數(shù)，那么的分布列為

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二項(xiàng)分布與超幾何分布

二項(xiàng)分布

若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作，其概率分布列為。例如，重復(fù)拋次硬幣，每次拋硬幣正面向上的概率為，設(shè)表示正面向上的次數(shù)，則。

超幾何分布

一般地，設(shè)有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中任取件產(chǎn)品，用表示取出的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則服從參數(shù)為的超幾何分布，記作，其概率分布列為（其中）。例如，從個(gè)產(chǎn)品（其中個(gè)次品）中任取個(gè)，設(shè)表示取出的次品數(shù)，則。

兩種分布的比較與應(yīng)用場(chǎng)景

二項(xiàng)分布適用于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果（成功或失敗），且每次試驗(yàn)成功的概率相同；超幾何分布適用于不放回抽樣問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的分布模型來(lái)解決概率計(jì)算問(wèn)題。

正態(tài)分布

正態(tài)分布的概念與概率密度函數(shù)

若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，其中為參數(shù)，則稱服從正態(tài)分布，記作。正態(tài)分布的圖象是一條鐘形曲線，關(guān)于對(duì)稱。

正態(tài)分布的性質(zhì)與原則

性質(zhì)包括曲線在軸上方，與軸之間的面積為等。原則是指在正態(tài)分布中，，這意味著隨機(jī)變量幾乎都落在區(qū)間內(nèi)。例如，考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，如果平均成績(jī)?yōu)椋瑯?biāo)準(zhǔn)差為，那么大約的成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)。

應(yīng)用場(chǎng)景

正態(tài)分布在實(shí)際生活中有廣泛應(yīng)用，如質(zhì)量控制、考試成績(jī)分析、生物特征統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域，用于估計(jì)數(shù)據(jù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析部分

變量的相關(guān)性

相關(guān)關(guān)系的概念

兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以分為函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。例如，身高和體重之間有相關(guān)關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，身高較高的人體重可能會(huì)較重，但不是絕對(duì)的，這與許多其他因素（如飲食習(xí)慣、運(yùn)動(dòng)情況等）有關(guān)。

散點(diǎn)圖與線性相關(guān)

用散點(diǎn)圖可以直觀地表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系。可以通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量?jī)蓚�(gè)變量之間線性相關(guān)的程度，，當(dāng)時(shí)為正相關(guān)，當(dāng)時(shí)為負(fù)相關(guān)，越接近，線性相關(guān)性越強(qiáng)。

一元線性回歸模型及其應(yīng)用

回歸直線方程

設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)為，則回歸直線方程為，其中，。通過(guò)最小二乘法得到回歸直線方程，使樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小。

模型檢驗(yàn)與預(yù)測(cè)應(yīng)用

可以用相關(guān)系數(shù)等來(lái)檢驗(yàn)回歸模型的擬合效果。在得到回歸直線方程后，可以用它來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，例如，根據(jù)身高預(yù)測(cè)體重等，但要注意預(yù)測(cè)的范圍和準(zhǔn)確性是有限的。

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

列聯(lián)表的概念與結(jié)構(gòu)

設(shè)為兩個(gè)變量，每個(gè)變量都有兩種類別，將樣本數(shù)據(jù)按兩個(gè)變量的類別進(jìn)行分類，得到的表格稱為列聯(lián)表。例如，研究吸煙與患肺癌的關(guān)系，變量是吸煙情況（吸煙、不吸煙），變量是患肺癌情況（患肺癌、未患肺癌），可以列出相應(yīng)的列聯(lián)表。

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與步驟

獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是通過(guò)比較觀測(cè)值與期望值之間的差異來(lái)判斷兩個(gè)變量是否獨(dú)立。步驟包括提出假設(shè)（假設(shè)兩個(gè)變量相互獨(dú)立）、計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量（其中是樣本容量，是列聯(lián)表中的頻數(shù)）、根據(jù)卡方分布確定臨界值并作出判斷。如果大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩個(gè)變量不獨(dú)立；否則，認(rèn)為兩個(gè)變量獨(dú)立。這種方法用于分析兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)。