一、平面向量基礎(chǔ)
向量的概念
定義：既有大小又有方向的量叫做向量。例如，物理中的力就是向量，它有大小（力的大小）和方向（力的作用方向）。向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。
向量的表示：通常用小寫字母、、等表示向量，也可以用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母來表示，比如，其中是起點(diǎn)，是終點(diǎn)。
零向量：長度為的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。
單位向量：長度等于個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。對(duì)于任意非零向量，與它同方向的單位向量是。
向量的運(yùn)算
加法運(yùn)算
三角形法則：已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，，則向量叫做與的和，記作，即。
平行四邊形法則：以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和。
減法運(yùn)算：向量與的差定義為。可以通過三角形法則來計(jì)算，例如，，那么。
數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)與向量的乘積是一個(gè)向量，記作。當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，，且。
向量的坐標(biāo)表示
在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作。
若，，則，，。
向量的數(shù)量積
定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，則把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。當(dāng)或?yàn)榱阆蛄繒r(shí)，。
幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。
運(yùn)算律：=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c})，。
坐標(biāo)運(yùn)算：若，，則。
二、平面向量提高
向量共線與垂直的條件
共線條件：向量與向量共線的充要條件是。從幾何角度看，兩個(gè)向量共線意味著它們的方向相同或相反。例如，若，則與共線。
垂直條件：向量與向量垂直的充要條件是，即。在平面直角坐標(biāo)系中，若向量，，因?yàn)椋浴?/p>
向量在幾何中的應(yīng)用
證明幾何問題：例如證明平行四邊形的對(duì)角線互相平分。設(shè)平行四邊形，，，則，。設(shè)與交點(diǎn)為，根據(jù)向量關(guān)系可以證明，。
求解幾何中的長度和角度問題：利用向量的數(shù)量積可以求夾角。若已知向量和，則。對(duì)于求長度，（若）。
平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用
與三角函數(shù)的綜合：例如已知向量，，則，這種關(guān)系在三角函數(shù)的化簡和求值中有廣泛應(yīng)用。
與解析幾何的綜合：在直線的方向向量等概念中有體現(xiàn)。若直線的斜率為，它的一個(gè)方向向量可以表示為，利用向量可以方便地研究直線的平行、垂直等關(guān)系。
