一、平面向量基礎

向量的概念

定義：既有大小又有方向的量叫做向量。例如，物理中的力就是向量，它有大小（力的大小）和方向（力的作用方向）。向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：通常用小寫字母、、等表示向量，也可以用有向線段的起點和終點字母來表示，比如，其中是起點，是終點。

零向量：長度為的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的。

單位向量：長度等于個單位長度的向量叫做單位向量。對于任意非零向量，與它同方向的單位向量是。

向量的運算

加法運算

三角形法則：已知非零向量、，在平面內任取一點，作，，則向量叫做與的和，記作，即。

平行四邊形法則：以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以為起點的對角線就是與的和。

減法運算：向量與的差定義為。可以通過三角形法則來計算，例如，，那么。

數(shù)乘運算：實數(shù)與向量的乘積是一個向量，記作。當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，，且。

向量的坐標表示

在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底。對于平面內的一個向量，有且只有一對實數(shù)、，使得，有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作。

若，，則，，。

向量的數(shù)量積

定義：已知兩個非零向量和，它們的夾角為，則把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內積），記作，即。當或為零向量時，。

幾何意義：等于的長度與在方向上的投影的乘積。

運算律：=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c})，。

坐標運算：若，，則。

二、平面向量提高

向量共線與垂直的條件

共線條件：向量與向量共線的充要條件是。從幾何角度看，兩個向量共線意味著它們的方向相同或相反。例如，若，則與共線。

垂直條件：向量與向量垂直的充要條件是，即。在平面直角坐標系中，若向量，，因為，所以。

向量在幾何中的應用

證明幾何問題：例如證明平行四邊形的對角線互相平分。設平行四邊形，，，則，。設與交點為，根據(jù)向量關系可以證明，。

求解幾何中的長度和角度問題：利用向量的數(shù)量積可以求夾角。若已知向量和，則。對于求長度，（若）。

平面向量與其他數(shù)學知識的綜合應用

與三角函數(shù)的綜合：例如已知向量，，則，這種關系在三角函數(shù)的化簡和求值中有廣泛應用。

與解析幾何的綜合：在直線的方向向量等概念中有體現(xiàn)。若直線的斜率為，它的一個方向向量可以表示為，利用向量可以方便地研究直線的平行、垂直等關系。