2025 屆高考數(shù)學(xué)圓錐曲線系統(tǒng)課程：從基礎(chǔ)到壓軸的全階突破

第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn) \( F_1(-c,0) \)、\( F_2(c,0) \)（焦距 \( |F_1F_2|=2c \)）的距離之和為 \( 2a \)（\( 2a > 2c > 0 \)）的點(diǎn)的軌跡，即 \( |PF_1| + |PF_2| = 2a \)；

第二定義：到定點(diǎn) \( F \) 與到定直線 \( l \)（準(zhǔn)線）的距離之比為離心率 \( e \)（\( 0 < e < 1 \)）的點(diǎn)的軌跡，即 \( \frac{|PF|}uj23cuff6hll = e \)；

幾何意義：\( a \)（長(zhǎng)半軸）、\( b \)（短半軸）、\( c \)（半焦距）滿足 \( a^2 = b^2 + c^2 \)，焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上（若焦點(diǎn)在 \( y \) 軸，方程形式對(duì)應(yīng)調(diào)整）。

第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn) \( F_1(-c,0) \)、\( F_2(c,0) \) 的距離之差的絕對(duì)值為 \( 2a \)（\( 0 < 2a < 2c \)）的點(diǎn)的軌跡，即 \( ||PF_1| - |PF_2|| = 2a \)；

第二定義：到定點(diǎn) \( F \) 與到定直線 \( l \) 的距離之比為 \( e \)（\( e > 1 \)）的點(diǎn)的軌跡；

幾何意義：\( a \)（實(shí)半軸）、\( b \)（虛半軸）、\( c \) 滿足 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，漸近線是雙曲線獨(dú)有的性質(zhì)（焦點(diǎn)在 \( x \) 軸時(shí)，漸近線方程為 \( y = ±\frac{b}{a}x \)）。

定義：平面內(nèi)到定點(diǎn) \( F \)（焦點(diǎn)）與到定直線 \( l \)（準(zhǔn)線）的距離相等的點(diǎn)的軌跡，即 \( |PF| = d \)；

幾何意義：離心率 \( e = 1 \)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 \( p \)（焦準(zhǔn)距），不同開口方向的拋物線方程需區(qū)分（如開口向右時(shí)，方程為 \( y^2 = 2px \)，焦點(diǎn) \( F(\frac{p}{2},0) \)，準(zhǔn)線 \( x = -\frac{p}{2} \)）。

焦點(diǎn)在 \( x \) 軸：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)（\( a > b > 0 \)）；

焦點(diǎn)在 \( y \) 軸：\( \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \)（\( a > b > 0 \)）；

參數(shù)方程：\( \begin{cases} x = a\cosθ \\ y = b\sinθ \end{cases} \)（\( θ \) 為離心角，用于求最值、范圍問題）。

焦點(diǎn)在 \( x \) 軸：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)（\( a > 0, b > 0 \)）；

焦點(diǎn)在 \( y \) 軸：\( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)（\( a > 0, b > 0 \)）。

橢圓：\( e = \frac{c}{a} \)（\( 0 < e < 1 \)），常結(jié)合 “焦點(diǎn)三角形”“切線”“點(diǎn)在橢圓上” 等條件列方程；

雙曲線：\( e = \frac{c}{a} \)（\( e > 1 \)），常結(jié)合漸近線（如 “漸近線與某直線垂直”）列方程；

漸近線與雙曲線的位置關(guān)系：永不相交，可用于判斷直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

漸近線方程記憶：焦點(diǎn)在 \( x \) 軸時(shí) “\( x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0 \)”，即 \( y = ±b/a x \)，焦點(diǎn)在 \( y \) 軸同理。

設(shè)直線 \( l: y = kx + m \) 與圓錐曲線 \( C \) 交于 \( A(x_1,y_1) \)、\( B(x_2,y_2) \)，聯(lián)立 \( \begin{cases} y = kx + m \\ C的方程 \end{cases} \)，消去 \( y \) 得關(guān)于 \( x \) 的一元二次方程 \( Ax^2 + Bx + C = 0 \)；

判別式 \( Δ = B^2 - 4AC > 0 \)（保證有兩個(gè)交點(diǎn)）；

韋達(dá)定理：\( x_1 + x_2 = -B/A \)，\( x_1x_2 = C/A \)；

弦長(zhǎng)公式：\( |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \)（斜率存在時(shí)）；

三角形面積：若已知焦點(diǎn) \( F \) 或定點(diǎn) \( P \)，則 \( S_{â–³PAB} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot d \)（\( d \) 為點(diǎn) \( P \) 到直線 \( AB \) 的距離，用點(diǎn)到直線距離公式 \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)）；

例：橢圓 \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \)，直線 \( l: y = x + 1 \) 交橢圓于 \( A、B \)，求 \( S_{â–³OAB} \)（\( O \) 為原點(diǎn)）：

題型特征：已知直線與圓錐曲線交于 \( A、B \)，且 \( AB \) 中點(diǎn)為 \( M(x_0,y_0) \)，求直線斜率或方程；

解題方法：點(diǎn)差法（避免聯(lián)立方程，簡(jiǎn)化計(jì)算）；

步驟：① 用參數(shù)表示目標(biāo)量（如面積 \( S = f(t) \)，\( t \) 為直線斜率或截距）；② 求函數(shù) \( f(t) \) 的定義域（由 \( Δ > 0 \) 確定）；③ 求導(dǎo) \( f’(t) \)，找極值點(diǎn)，計(jì)算最值；

例：求直線 \( l: y = kx + 1 \) 與橢圓 \( \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \) 交于 \( A、B \) 時(shí)，\( S_{â–³OAB} \) 的最大值：

例：橢圓 \( C_1: \frac{x^2}{a_1^2} + \frac{y^2}{b_1^2} = 1 \) 與雙曲線 \( C_2: \frac{x^2}{a_2^2} - \frac{y^2}{b_2^2} = 1 \) 共焦點(diǎn)，且 \( C_1 \) 過 \( C_2 \) 的頂點(diǎn)，求 \( C_1 \) 與 \( C_2 \) 的離心率關(guān)系：

焦點(diǎn)位置判斷錯(cuò)誤：橢圓中 “\( x^2 \) 分母大則焦點(diǎn)在 \( x \) 軸”，雙曲線中 “\( x^2 \) 項(xiàng)為正則焦點(diǎn)在 \( x \) 軸”，拋物線中 “一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)開口方向”；

忽略判別式 \( Δ > 0 \)：聯(lián)立方程后未驗(yàn)證 \( Δ > 0 \)，導(dǎo)致參數(shù)范圍錯(cuò)誤（如求斜率時(shí)，需保證直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)）；

弦長(zhǎng)公式記錯(cuò)：忘記乘以 \( \sqrt{1 + k^2} \)，或斜率不存在時(shí)誤用公式；

定點(diǎn)問題參數(shù)討論不全：設(shè)直線為 \( y = kx + m \) 時(shí)，遺漏 “斜率不存在” 的情況（建議優(yōu)先設(shè) \( x = ty + n \)）。