2025 屆高考數(shù)學(xué)：三角函數(shù)與不等式綜合題型全解

三角函數(shù)與不等式的交叉考查是高考數(shù)學(xué)的 “壓軸級(jí)” 考點(diǎn)，常以 “三角函數(shù)性質(zhì)為載體，不等式證明 / 求解為目標(biāo)”，融合函數(shù)單調(diào)性、最值、恒成立問(wèn)題等核心素養(yǎng)。本專題按 “基礎(chǔ)融合型→復(fù)雜綜合型→創(chuàng)新拓展型” 分類，拆解 10 大高頻題型，提供 “題型識(shí)別→方法選擇→步驟模板” 的完整解題鏈，幫助考生突破高分瓶頸。

一、基礎(chǔ)融合型：三角函數(shù)性質(zhì)與不等式初步結(jié)合

核心題型 1：利用三角函數(shù)值域解不等式

題型特征

已知三角函數(shù)表達(dá)式（如 \( f(x) = A\sin(ωx+φ) + B \)），求解含該函數(shù)的不等式（如 \( f(x) > k \)），或已知不等式恒成立求參數(shù)范圍。

解題模板（三步法）

求三角函數(shù)值域：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)（正弦 / 余弦值域\([-1,1]\)、正切無(wú)界），結(jié)合解析式求 \( f(x) \) 的最值（如 \( f(x) = 2\sin x + 1 \) 的值域?yàn)閈([-1,3]\)）；

轉(zhuǎn)化不等式：將含三角函數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為 “值域與常數(shù)的關(guān)系”（如 \( 2\sin x + 1 > 2 \) 即 \( \sin x > \frac{1}{2} \)）；

求解不等式 / 參數(shù)：

解三角不等式：利用單位圓或三角函數(shù)圖像，確定解集（如 \( \sin x > \frac{1}{2} \) 的解集為 \( (2kÏ€+\frac{Ï€}{6}, 2kÏ€+\frac{5Ï€}{6})，k∈\mathbb{Z} 

\)）；

恒成立求參：若 \( f(x) ≥ k \) 恒成立，則 \( f(x)_{min} ≥ k 

\)（如 \( 2\sin x + 1 ≥ m \) 恒成立，需 \( m ≤ -1 \)）。

真題示例（2024 新高考 II 卷）

題目：已知函數(shù) \( f(x) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x \)，若對(duì)任意 \( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] \)，\( f(x) ≥ m \) 恒成立，求 \( m \) 的最大值。

解析：

化簡(jiǎn) \( f(x) = 2\sin(2x+\frac{Ï€}{6}) \)（輔助角公式：\( a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+φ) \)）；

求值域：\( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] \) 時(shí)，\( 2x+\frac{Ï€}{6}∈[\frac{Ï€}{6},\frac{7Ï€}{6}] 

\)，\( \sin(2x+\frac{Ï€}{6})∈[-\frac{1}{2},1] \)，故 \( f(x)∈[-1,2] \)；

恒成立條件：\( f(x)_{min} = -1 ≥ m \)，故 \( m \) 的最大值為\(-1\)。

核心題型 2：三角函數(shù)單調(diào)性與不等式證明

題型特征

證明含三角函數(shù)的不等式（如 \( \sin x < x \) 對(duì) \( x>0 \) 成立），或比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小（如 \( \sin a > \sin b \)）。

解題方法：構(gòu)造函數(shù) + 導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性

構(gòu)造輔助函數(shù)：將不等式變形為 “\( g(x) > 0 \)” 形式（如證明 \( \sin x < x \)，設(shè) \( g(x) = x - \sin x \)）；

求導(dǎo)分析單調(diào)性：計(jì)算 \( g'(x) \)，判斷其在目標(biāo)區(qū)間的正負(fù)（如 \( g'(x) = 1 - \cos x ≥ 0 \)，僅 \( x=2kÏ€ \) 時(shí)為 0）；

利用單調(diào)性證不等式：

若 \( g(x) \) 在 \( (a,b) \) 單調(diào)遞增，且 \( g(a) ≥ 0 \)，則 \( g(x) > 0 \) 在 \( (a,b) \) 恒成立（如 \( g(0)=0 \)，故 \( x>0 \) 時(shí) \( g(x) > 0 \)，即 \( \sin x < x \)）。

高頻結(jié)論（可直接應(yīng)用）

當(dāng) \( x∈(0,\frac{Ï€}{2}) \) 時(shí)：\( \sin x < x < \tan x \)；

當(dāng) \( x>0 \) 時(shí)：\( \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} \)（泰勒展開(kāi)近似，可通過(guò)導(dǎo)數(shù)證明）。

二、復(fù)雜綜合型：三角函數(shù)與不等式的深度交叉

核心題型 3：三角函數(shù)與絕對(duì)值不等式結(jié)合

題型特征

含三角函數(shù)的絕對(duì)值不等式（如 \( |\sin x - \cos x| > 1 \)），或已知絕對(duì)值不等式求參數(shù)（如 \( |a\sin x + b| ≤ 2 \) 對(duì)任意 \( x \) 成立）。

解題關(guān)鍵：去絕對(duì)值 + 三角恒等變換

去絕對(duì)值符號(hào)：將不等式轉(zhuǎn)化為 “\( -k ≤ f(x) ≤ k \)” 或 “\( f(x) > k \) 或 \( f(x) < -k \)”（如 \( |\sin x - \cos x| > 1 \) 即 \( \sin x - \cos x > 1 \) 或 \( \sin x - \cos x < -1 \)）；

化簡(jiǎn)三角函數(shù)：用輔助角公式將 \( f(x) \) 化為 “\( A\sin(ωx+φ) + B \)” 形式（如 \( \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin(x-\frac{Ï€}{4}) \)）；

結(jié)合值域求解：利用三角函數(shù)值域確定不等式解集或參數(shù)范圍（如 \( |\sqrt{2}\sin(x-\frac{Ï€}{4})| > 1 \) 即 \( |\sin(x-\frac{Ï€}{4})| > \frac{\sqrt{2}}{2} \)，解集為 \( (kÏ€+\frac{Ï€}{2}, kÏ€+Ï€)，k∈\mathbb{Z} \)）。

核心題型 4：三角函數(shù)與均值不等式綜合

題型特征

利用均值不等式（基本不等式、柯西不等式）求含三角函數(shù)的表達(dá)式的最值（如 \( y = \sin x + \frac{1}{\sin x} \)，\( x∈(0,Ï€) \)）。

解題注意事項(xiàng)（避坑重點(diǎn)）

滿足均值不等式條件：一正（變量為正）、二定（和 / 積為定值）、三相等（等號(hào)可取）；

例：求 \( y = \sin x + \frac{4}{\sin x} \)（\( 0 < x < Ï€ \)）的最小值，因 \( \sin x ∈(0,1] \)，若直接用基本不等式得 \( y ≥ 4 \)，但等號(hào)需 \( \sin x = 2 \)（無(wú)解），故需用函數(shù)單調(diào)性：設(shè) \( t = \sin x ∈(0,1] \)，\( y = t + \frac{4}{t} \) 在 \( (0,1] \) 單調(diào)遞減，最小值為 \( 1 + 4 = 5 \)；

結(jié)合三角恒等變換湊定值：如求 \( y = \sin^2 x \cos x \)（\( 0 < x < \frac{Ï€}{2} \)）的最大值，可變形為 \( y = 2·\frac{\sin x}{2}·\frac{\sin x}{2}·\cos x \)，利用基本不等式 \( abc ≤ (\frac{a+b+c}{3})^3 \)，得最大值為 \( \frac{2\sqrt{3}}{9} \)。

核心題型 5：三角函數(shù)與不等式恒成立問(wèn)題

題型特征

已知含參數(shù)的三角函數(shù)不等式對(duì)任意 \( x \) 恒成立（如 \( a\sin^2 x + b\cos x + c ≥ 0 \) 對(duì)所有 \( x \) 成立），求參數(shù)范圍。

解題通法：換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立

三角換元：令 \( t = \sin x \) 或 \( t = \cos x \)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 \( t \) 的二次不等式（\( t ∈[-1,1] \)）；

例：\( a\sin^2 x + b\cos x + c ≥ 0 \) 可化為 \( a(1 - \cos^2 x) + b\cos x + c ≥ 0 \)，即 \( -a t^2 + b t + (a + c) ≥ 0 \)（\( t ∈[-1,1] \)）；

二次函數(shù)恒成立條件：

當(dāng) \( a ≠ 0 \) 時(shí)，若二次函數(shù) \( g(t) = pt^2 + qt + r ≥ 0 \) 在 \( t ∈[-1,1] \) 恒成立，則需滿足：

開(kāi)口向上（\( p > 0 \)）+ 判別式 \( Δ ≤ 0 \)，或

開(kāi)口向上 + \( g(-1) ≥ 0 \) + \( g(1) ≥ 0 \)（端點(diǎn)值非負(fù)）；

分類討論參數(shù)：按參數(shù)系數(shù)（如 \( a=0 \)、\( a>0 \)、\( a<0 \)）分類，避免遺漏情況。

三、創(chuàng)新拓展型：高考?jí)狠S題中的融合考法

核心題型 6：三角函數(shù)與不等式結(jié)合的存在性問(wèn)題

題型特征

存在 \( x∈D \) 使含三角函數(shù)的不等式成立（如 “存在 \( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] 

\)，使 \( \sin x + a > 2 \)”），求參數(shù)范圍。

解題關(guān)鍵：與恒成立問(wèn)題的區(qū)別

恒成立：\( f(x) ≥ k \) 對(duì)所有 \( x∈D \) 成立 → \( f(x)_{min} ≥ k \)；

存在性：存在 \( x∈D \) 使 \( f(x) ≥ k \) 成立 → \( f(x)_{max} ≥ k \)；

例：存在 \( x∈[0,\frac{Ï€}{2}] \) 使 \( \sin x + a > 2 \)，即 \( a > 2 - \sin x \) 有解，因 \( 2 - \sin x ∈[1,2] \)，故 \( a > 1 \)。

核心題型 7：三角函數(shù)與不等式的證明題（壓軸級(jí)）

題型特征

證明復(fù)雜的三角不等式（如 “對(duì)任意 \( x∈(0,\frac{Ï€}{2}) \)，\( \sin x + \cos x > 1 + x - x^2 \)”），常需結(jié)合導(dǎo)數(shù)、放縮法。

解題方法：分層放縮 + 導(dǎo)數(shù)輔助

拆分不等式：將復(fù)雜不等式拆分為 “易證明的簡(jiǎn)單不等式”（如證明 \( \sin x + \cos x > 1 + x - x^2 \)，可拆分為 \( \sin x > x - x^2 \) 和 \( \cos x > 1 \)，但需驗(yàn)證合理性，實(shí)際更優(yōu)方案是構(gòu)造 \( g(x) = \sin x + \cos x - 1 - x + x^2 \)）；

求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值：計(jì)算 \( g'(x) = \cos x - \sin x - 1 + 2x \)，再求二階導(dǎo) \( g''(x) = -\sin x - \cos x + 2 > 0 \)（因 \( \sin x + \cos x ≤ \sqrt{2} < 2 \)），故 \( g'(x) \) 在 \( (0,\frac{Ï€}{2}) \) 單調(diào)遞增，且 \( g'(0) = 0 \)，故 \( g'(x) > 0 \)，\( g(x) \) 單調(diào)遞增，\( g(x) > g(0) = 0 \)，得證。

四、避坑指南與備考策略

1. 常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)警示

三角換元忽略范圍：如令 \( t = \sin x \) 時(shí)，\( t ∈[-1,1] \)，不可默認(rèn) \( t > 0 \)；

均值不等式等號(hào)條件不驗(yàn)證：如 \( y = \sin x + \frac{1}{\sin x} \) 中，等號(hào)需 \( \sin x = 1 \)（僅 \( x=\frac{Ï€}{2} \) 時(shí)成立），若 \( x∈(0,\frac{Ï€}{2}) \)，則無(wú)最小值，需用單調(diào)性；

恒成立與存在性混淆：牢記 “恒成立看最值，存在性看極值”，避免符號(hào)錯(cuò)誤。

2. 備考優(yōu)先級(jí)建議

夯實(shí)基礎(chǔ)融合題型：先掌握 “三角函數(shù)值域解不等式”“單調(diào)性證不等式”，這兩類占高考此類題的 60% 以上；

突破二次函數(shù)轉(zhuǎn)化：熟練 “三角換元→二次不等式恒成立” 的流程，適配含參題型；

積累放縮結(jié)論：牢記 \( \sin x < x < \tan x \)（\( x>0 \)）、\( \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} \) 等常用放縮式，加速證明題解題；

多練壓軸真題：近 5 年全國(guó)卷、新高考卷中的融合題（如 2023 全國(guó) I 卷 22 題、2022 新高考 I 卷 21 題）至少做 2 遍，總結(jié)命題規(guī)律。

3. 解題步驟口訣（快速記憶）

“三角不等式，先看域與性；

換元轉(zhuǎn)二次，導(dǎo)數(shù)判單調(diào)；

恒成立找最值，存在性看極值；

放縮需合理，步驟要嚴(yán)謹(jǐn)。”