初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第一章 實(shí)數(shù)

 

　　★重點(diǎn)★ 實(shí)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算

 

　　☆內(nèi)容提要☆

 

　　一、 重要概念

 

　　1.數(shù)的分類及概念

 

　　數(shù)系表：

 

　　說(shuō)明：“分類”的原則：1)相稱(不重、不漏)

 

　　2)有標(biāo)準(zhǔn)

 

　　2.非負(fù)數(shù)：正實(shí)數(shù)與零的統(tǒng)稱。(表為：x≥0)

 

　　常見的非負(fù)數(shù)有：

 

　　性質(zhì)：若干個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)擔(dān)數(shù)均為0。

 

　　3.倒數(shù)： ①定義及表示法

 

　　②性質(zhì)：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1時(shí)，1/a<1;D.積為1。

 

　　4.相反數(shù)： ①定義及表示法

 

　　②性質(zhì)：A.a≠0時(shí)，a≠-a;B.a與-a在數(shù)軸上的位置;C.和為0,商為-1。

 

　　5.數(shù)軸：①定義(“三要素”)

 

　　②作用：A.直觀地比較實(shí)數(shù)的大小;B.明確體現(xiàn)絕對(duì)值意義;C.建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

 

　　6.奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)(正整數(shù)—自然數(shù))

 

　　定義及表示：

　　奇數(shù)：2n-1

　　偶數(shù)：2n(n為自然數(shù))

　　7.絕對(duì)值：①定義(兩種)：

　　代數(shù)定義：

　　幾何定義：數(shù)a的絕對(duì)值頂?shù)膸缀我饬x是實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

　　②│a│≥0,符號(hào)“││”是“非負(fù)數(shù)”的標(biāo)志;③數(shù)a的絕對(duì)值只有一個(gè);④處理任何類型的題目，只要其中有“││”出現(xiàn)，其關(guān)鍵一步是去掉“││”符號(hào)。

 

　　二、 實(shí)數(shù)的運(yùn)算

 

　　1. 運(yùn)算法則(加、減、乘、除、乘方、開方)

 

　　2. 運(yùn)算定律(五個(gè)—加法[乘法]交換律、結(jié)合律;[乘法對(duì)加法的]

 

　　分配律)

　　3. 運(yùn)算順序：A.高級(jí)運(yùn)算到低級(jí)運(yùn)算;B.(同級(jí)運(yùn)算)從“左”

　　到“右”(如5÷ ×5);C.(有括號(hào)時(shí))由“小”到“中”到“大”。

　　三、 應(yīng)用舉例(略)

　　附：典型例題

　　1. 已知：a、b、x在數(shù)軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│

　　=b-a.

　　2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判斷a、b的符號(hào)。

　　初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 第二章 代數(shù)式

　　★重點(diǎn)★代數(shù)式的有關(guān)概念及性質(zhì)，代數(shù)式的運(yùn)算

 

　　☆內(nèi)容提要☆

 

　　一、 重要概念

　　分類：

　　1.代數(shù)式與有理式

　　用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨(dú)

　　的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式。

　　整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

　　2.整式和分式

　　含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫做有理式。

　　沒有除法運(yùn)算或雖有除法運(yùn)算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

　有除法運(yùn)算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

　　3.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式

　　沒有加減運(yùn)算的整式叫做單項(xiàng)式。(數(shù)字與字母的積—包括單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母)

　　幾個(gè)單項(xiàng)式的和，叫做多項(xiàng)式。

　　說(shuō)明：①根據(jù)除式中有否字母，將整式和分式區(qū)別開;根據(jù)整式中有否加減運(yùn)算，把單項(xiàng)式、多項(xiàng)式區(qū)分開。②進(jìn)行代數(shù)式分類時(shí)，是以所給的代數(shù)式為對(duì)象，而非以變形后的代數(shù)式為對(duì)象。劃分代數(shù)式類別時(shí)，是從外形來(lái)看。如，

　　=x, =│x│等。

　　4.系數(shù)與指數(shù)

　　區(qū)別與聯(lián)系：①?gòu)奈恢蒙峡?②從表示的意義上看

　　5.同類項(xiàng)及其合并

　　條件：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同

　　合并依據(jù)：乘法分配律

　　6.根式

　　表示方根的代數(shù)式叫做根式。

　　含有關(guān)于字母開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無(wú)理式。

　　注意：①?gòu)耐庑紊吓袛?②區(qū)別： 、 是根式，但不是無(wú)理式(是無(wú)理數(shù))。

　　7.算術(shù)平方根

　　⑴正數(shù)a的正的平方根( [a≥0—與“平方根”的區(qū)別]);

　　⑵算術(shù)平方根與絕對(duì)值

　　① 聯(lián)系：都是非負(fù)數(shù)， =│a│

　　②區(qū)別：│a│中，a為一切實(shí)數(shù); 中，a為非負(fù)數(shù)。

　　8.同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、分母有理化

　　化為最簡(jiǎn)二次根式以后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。

　　滿足條件：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式;②被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式。

　　把分母中的根號(hào)劃去叫做分母有理化。

　　9.指數(shù)

　　⑴ ( —冪，乘方運(yùn)算)

　　① a>0時(shí)， >0;②a<0時(shí)， >0(n是偶數(shù))， <0(n是奇數(shù))

　　⑵零指數(shù)： =1(a≠0)

　　負(fù)整指數(shù)： =1/ (a≠0,p是正整數(shù))

　　二、 運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則

　　1.分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

　　2.分式的性質(zhì)

 

　　⑴基本性質(zhì)： = (m≠0)

　　⑵符號(hào)法則：

　　⑶繁分式：①定義;②化簡(jiǎn)方法(兩種)

　　3.整式運(yùn)算法則(去括號(hào)、添括號(hào)法則)

　　4.冪的運(yùn)算性質(zhì)：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤

　　技巧：

　　5.乘法法則：⑴單×單;⑵單×多;⑶多×多。

　　6.乘法公式：(正、逆用)

　　(a+b)(a-b)=

　　(a±b) =

　　7.除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

 

　　8.因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。

 

　　9.算術(shù)根的性質(zhì)： = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

 

　　10.根式運(yùn)算法則：⑴加法法則(合并同類二次根式);⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .

 

　　11.科學(xué)記數(shù)法： (1≤a<10,n是整數(shù)=

 

　　三、 應(yīng)用舉例(略)

 

　　四、 數(shù)式綜合運(yùn)算(略)

 

①勾股定理：a 2 +b 2 =c 2 （注意區(qū)分斜邊與直角邊）；②在直角三角形 中，如有一個(gè)內(nèi)角等于，，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一 半。 3.垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。<直線與射線有垂線，但無(wú)垂直平分線>，線段垂直平分線 上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂 直平分線上。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線間的平行線段相等。
4.三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。角平分線是到角的兩邊距離 相等的所有點(diǎn)的集合。三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。 1.只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為ax 2 +bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次 方程。把a(bǔ)x 2 +bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為 常數(shù)項(xiàng)。解一元二次方程的方法：①配方法<即將其變?yōu)?x+m) 2 =0的形式>②公式法（注意在找abc 時(shí)須先把方程化為 一般形式）③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。 
2.根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b 2 -4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b 2 -4ac=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b 2 -4ac<0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。如果一元二次方程ax 2 +bx+c=0的兩根分別為x1、x2，則有：x1+x2=-b/a；x1·x2=c/a。 1.反比例函數(shù)的概念：一般地，y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。（x為自變量，y為因 變量，其中x不能為零）。判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：①按照反比例函數(shù)的定義判斷；②看兩個(gè) 變量的乘積是否為定值<即xy=k>。（通常第二種方法更適用）；反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線。反比 例函數(shù)性質(zhì)：①當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；②當(dāng)k<0時(shí)，雙曲 線的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；③雙曲線的兩支會(huì)無(wú)限接近坐標(biāo)軸（x軸和y軸）， 但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。 在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率。 在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的 面積的和等于1。頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。用 一件事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。 
1.正切：定義在Rt△ABC中，銳角∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=∠A的對(duì)邊/∠A的鄰邊。 ①tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”；
②tanA沒有單位，它表示一個(gè)比值， 即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A 是銳角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 2.正弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA=∠A的對(duì)邊/斜邊； 3.余弦：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=∠A的鄰邊/斜邊； 4.余切：定義：在Rt△ABC中，銳角∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA，即cotA=∠A的鄰邊/∠A的對(duì)邊； 5.一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我們稱正弦、余弦互為余 函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)： 若∠A 為銳角，則①sinA = cos(90°�6�1∠A）等等。 6.記住特殊角的三角函數(shù)值表0°，30°，45°，60°，90°。 7.當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨 著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。0≤sinα ≤1，0≤cosα ≤1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：tgα ·ctgα =1，tg α =sinα /cosα ，cotα =cosα /sinα ，sin 2 α +cos 2 α =1。 8.在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有(1)三邊之間的關(guān)系：a 2 +b 2 =c 2 ；(2)兩銳角的 2 關(guān)系：∠A＋∠B=90°；(3)邊與角之間的關(guān)系：sinα 等等。
（4）面積公式。
（5）直角三角形△ABC內(nèi)接圓⊙O的半徑為 (a+b-c)/2，
（6）直角三角形△ABC外接圓⊙O的半徑為c/2。 
1.二次函數(shù)的概念：形如y=ax 2 +bx+c(a，，b，是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí) 數(shù)。 二次函數(shù)y＝ax 2 的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開口方向、對(duì)稱 性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等方面來(lái)描述。
①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)； ②拋物線的頂點(diǎn)在(0，0)，對(duì)稱軸是y 軸(或稱直線x＝0)；
③當(dāng)a＞0 時(shí)，拋物線開口向上，并且向上方無(wú)限伸展。當(dāng) a＜0 時(shí)，拋物線開口向下，并且向下方無(wú)限伸展。④函數(shù)的增減性：
⑤當(dāng)｜a｜越大，拋物線開口越小；當(dāng)｜a｜越小， 拋物線的開口越大。
⑥最大值或最小值：當(dāng)a＞0，且x＝0 時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a＜0，且x＝0 時(shí)函數(shù)有最 大值，最大值是0。二次函數(shù)y=ax 2 +c的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線。二次函數(shù)y=ax 2 +bx+c的圖象的對(duì) 稱軸及頂點(diǎn)。開口方向和大小由a來(lái)決定。|a|的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降） 速度越快；|a|的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越慢。