二次函數(shù)的解析式的求法是數(shù)學中的難點，不易掌握。它的基本思想是待定系數(shù)法，根據(jù)題目給出的具體條件，設出不同形式的解析式，找出滿足解析式的點，求出相應的系數(shù)。

01

定義型

此類題目是根據(jù)二次函數(shù)的定義來解題，必須滿足兩個條件：

1、a ≠0；

2、x的最高次數(shù)為2次．

例1、若 

是二次函數(shù)，則m =         .

解：由m2+ m≠0得:m≠0，且 m≠-1

由m2–2m–1=2得m=-1或m=3，∴ m=3 .

02

開放型

此類題目只給出一個條件，只需寫出滿足此條件的解析式，所以他的答案并不唯一。

例2、(1)經過點A（0，3）的拋物線的解析式是

分析：根據(jù)給出的條件，點A在y軸上，所以這道題只需滿足中的y=ax2+bx+c中的C=3，且a≠0即可∴y=x2+x+3（注：答案不唯一）

03

平移型

將一個二次函數(shù)的圖像經過上下左右的平移得到一個新的拋物線．要借此類題目，應先將已知函數(shù)的解析是寫成頂點式y(tǒng) = a( x – h)2 + k，當圖像向左（右）平移n個單位時，就在x – h上加上（減去）n；

當圖像向上（下）平移m個單位時，就在k上加上（減去）m．其平移的規(guī)律是：h值正、負，右、左移；k值正負，上下移．由于經過平移的圖像形狀、大小和開口方向都沒有改變，所以a得值不變．

以上三類題目多出現(xiàn)在選擇題或是填空題目中。

04

一般式

當題目給出函數(shù)圖像上的三個點時，設為一般式，轉化成一個三元一次方程組，以求得a，b，c的值；

例4、圖像經過（1，－4），（－1，0），

（－2，5），求二次函數(shù)的解析式：

解：設二次函數(shù)的解析式為：y=ax2+bx+c，依題意得：

05

頂點式

若已知拋物線的頂點或對稱軸、極值，則設為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k．這頂點坐標為（ h，k ），對稱軸方程x = h，極值為當x=h時，y極值=k來求出相應的系數(shù)；

例5、圖象頂點是（－2，3），且過（－1，5）求二次函數(shù)的解析式：

06

兩根式

已知圖像與 x軸交于不同的兩點(x1,0),(x2,0)，設二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題目條件求出a的值．

07

翻折型（對稱性）

已知一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c，要求其圖象關于軸對稱（也可以說沿軸翻折）；軸對稱及經過其頂點且平行于軸的直線對稱，（也可以說拋物線圖象繞頂點旋轉180°）的圖象的函數(shù)解析式，先把原函數(shù)的解析式化成y = a( x – h)2 + k的形式．

（1）關于軸對稱的兩個圖象的頂點關于軸對稱，兩個圖象的開口方向相反，即互為相反數(shù)．

（2）關于軸對稱的兩個圖象的頂點關于軸對稱，兩個圖象的形狀大小不變，即相同．

（3）關于經過其頂點且平行于軸的直線對稱的兩個函數(shù)的圖象的頂點坐標不變，開口方向相反，即互為相反數(shù)．