2025 張宇八套卷（數(shù)三）逐題講解：從題型到方法的全突破

題目特征：求\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - x^2}{\sin^4 x}\)（典型 “0/0” 型極限，含等價(jià)無窮小替換）；

解題步驟：

技巧：“0/0” 型極限優(yōu)先用等價(jià)無窮小，復(fù)雜函數(shù)（如\(e^u\)、\(\ln(1+u)\)）用泰勒展開（展開到與分母同階），避免洛必達(dá)法則多次求導(dǎo)（易出錯）；

真題關(guān)聯(lián)：類似 2024 數(shù)三真題第 1 題，均考查 “等價(jià)無窮小 + 泰勒展開” 的結(jié)合。

題目特征：已知函數(shù)\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)，判斷其極值點(diǎn)與單調(diào)性（多項(xiàng)式函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用）；

解題步驟：

避坑點(diǎn)：極值點(diǎn)需滿足 “導(dǎo)數(shù)為 0 且左右導(dǎo)數(shù)變號”，僅導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)（如\(x=1\)）不是極值點(diǎn)，八套卷中卷 2 第 2 題、卷 3 第 2 題均有類似陷阱。

題目特征：設(shè)\(X \sim N(1, 4)\)，\(Y \sim N(2, 9)\)，且\(X\)與\(Y\)獨(dú)立，求\(P(X + Y \leq 5)\)（二維正態(tài)分布線性組合）；

解題步驟：

技巧：記住正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化公式\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)，八套卷中卷 4 第 8 題、卷 5 第 8 題均考查此考點(diǎn)。

題目特征：由方程\(x^2 + xy + y^2 = 3\)確定\(y = y(x)\)，求\(y'(1)\)（隱函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）；

解題步驟：

注意：隱函數(shù)求導(dǎo)需 “兩邊同時(shí)求導(dǎo)，含 y 項(xiàng)乘 y'”，八套卷中卷 1 第 9 題、卷 3 第 9 題均涉及多解情況，需完整計(jì)算。

題目特征：設(shè)矩陣\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\)，且\(r(A) = 1\)，求\(t\)的值（矩陣秩的判定）；

解題步驟：

技巧：矩陣秩的計(jì)算優(yōu)先用初等行變換（不改變秩），八套卷中卷 2 第 14 題、卷 4 第 14 題均考查 “含參數(shù)矩陣的秩”，需掌握行變換規(guī)律。

題目特征：計(jì)算二重積分\(\iint_D (x + y) d\sigma\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(x^2 + y^2 = 4\)，\(x \geq 0\)，\(y \geq 0\)圍成的區(qū)域（極坐標(biāo)適用的二重積分）；

解題步驟：

技巧：積分區(qū)域?yàn)閳A、圓環(huán)或扇形時(shí)，優(yōu)先用極坐標(biāo)（簡化被積函數(shù)和積分限），八套卷中卷 1 第 15 題、卷 5 第 15 題均為極坐標(biāo)典型題。

題目特征：設(shè)線性方程組\(\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3 \\ x_1 + a x_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}\)，討論\(a\)的取值對解的影響，并在有無窮多解時(shí)求通解；

解題步驟：

避坑點(diǎn)：討論參數(shù)時(shí)需完整覆蓋所有情況（如\(a=1\)和\(a=4\)均需單獨(dú)分析），八套卷中卷 3 第 20 題、卷 6 第 20 題均為含參線性方程組，需掌握此流程。

題目特征：設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x; \theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}\)（指數(shù)分布），\(X_1, X_2, ..., X_n\)為樣本，求\(\theta\)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；

解題步驟：

技巧：矩估計(jì)優(yōu)先用一階矩（期望），最大似然估計(jì)需 “寫似然函數(shù)→取對數(shù)→求導(dǎo)找極值”，八套卷中卷 2 第 22 題、卷 7 第 22 題均考查此題型。