線性代數(shù)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)，但又在理論上進(jìn)行了高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的重要性主要體現(xiàn)在其應(yīng)用擴(kuò)大到了愈來愈多的新領(lǐng)域，這種“需求牽引”使它的重要性大大提高；而幾十年來計(jì)算機(jī)軟硬件的飛速發(fā)展，作為“技術(shù)推動(dòng)”，給以應(yīng)用作為改革方向的線性代數(shù)提供了空前的機(jī)遇。美國(guó)在1990年提出了線性代數(shù)改革的五條建議：(i) 線性代數(shù)課程要面向應(yīng)用，滿足非數(shù)學(xué)專業(yè)的需要；(ii) 它應(yīng)該是面向矩陣的；(iii) 它應(yīng)該是根據(jù)學(xué)生的水平和需要來組織的；(iv) 它應(yīng)該利用新的計(jì)算技術(shù)；(v) 抽象內(nèi)容應(yīng)另設(shè)后續(xù)課程來講。1992—1997年他們?cè)诖髮W(xué)教師中實(shí)施了“用軟件工具加強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)”的ATLAST計(jì)劃，MIT的G.Strang教授提出了“讓線性代數(shù)向世界開放”的口號(hào)，聽他的視頻講座的人數(shù)已超過一百萬。在中國(guó)科技和經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的今天，普及線性代數(shù)也具備了更好的條件。本書就是為從事應(yīng)用層面的技術(shù)人員和高校學(xué)生所編寫的。
本書的書名反映了它的特色—“實(shí)用化”、“現(xiàn)代化”和“大眾化”。“實(shí)用化”指的是本書以工科的后續(xù)課程及未來工程的需求為標(biāo)準(zhǔn)安排內(nèi)容，附錄B和C中列出的60個(gè)應(yīng)用實(shí)例表明了本書的實(shí)用價(jià)值；“現(xiàn)代化”指的是用MATLAB來解決問題，不依靠筆算；“大眾化”指的是書中采用了最少、最淺而又足夠的理論，使推理能力不太強(qiáng)的學(xué)生和有實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)但多年不接觸數(shù)學(xué)的工程師都能接受，便于向大眾普及。
二、改革方向和內(nèi)容
作者不是數(shù)學(xué)教師，從1953年起，在機(jī)械、控制、電子領(lǐng)域執(zhí)教了六十多年。1994年退居二線以后，致力于在大學(xué)本科教學(xué)中推動(dòng)MATLAB的機(jī)算應(yīng)用。到2004年，作者編寫了多本教材[12-14]，涉及本科十多門課程數(shù)百道例題。作者發(fā)現(xiàn)其中三分之一以上是用矩陣模型求解的線性代數(shù)問題，而學(xué)生對(duì)此類模型不熟悉，原因就是線性代數(shù)沒學(xué)好。于是從2005年開始，作者對(duì)現(xiàn)有的國(guó)內(nèi)外線性代數(shù)大綱和教材進(jìn)行分析，提出了改革的思路。
傳統(tǒng)線性代數(shù)的最大弱點(diǎn)是“片面強(qiáng)調(diào)理論，脫離機(jī)算實(shí)踐”，作者2005年編寫的《線性代數(shù)實(shí)踐及MATLAB入門》[5]，主要就是針對(duì)這一點(diǎn)進(jìn)行改革，讀者對(duì)象是教師。2007年作者與高淑萍、楊威合編了《工程線性代數(shù)(MATLAB版)》[6]，讀者對(duì)象是學(xué)生。雖然以強(qiáng)化建模和實(shí)踐為主，但是考慮到學(xué)生考研，理論一點(diǎn)也不敢動(dòng)。2009年高教司指定由作者牽頭，19所大學(xué)參與，實(shí)施了“用MATLAB及建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)”子項(xiàng)，上述兩本書就是項(xiàng)目思想的載體。兩年中，共有200多名教師、45 000名學(xué)生在這項(xiàng)改革中受益，雖然在線性代數(shù)中使用計(jì)算機(jī)已是師生的共識(shí)，但傳統(tǒng)大綱中的理論占了很多學(xué)時(shí)，使學(xué)生實(shí)踐受到很大限制，一些學(xué)時(shí)少的學(xué)校的線性代數(shù)課處于半取消狀態(tài)。
為了達(dá)到本書編寫的目的，在現(xiàn)代化方面主要引進(jìn)MATLAB軟件并貫穿于全書；在實(shí)用化方面采用了約50個(gè)能覆蓋各種應(yīng)用的實(shí)例；在大眾化方面做了簡(jiǎn)化理論的工作，這是最難和最具爭(zhēng)議的部分。
想簡(jiǎn)化理論，就要弄清哪些理論是工科學(xué)生必學(xué)的。線性代數(shù)理論博大精深，一個(gè)工科教師猶如井底之蛙，不可能從頂向下地梳理清楚，但可以采用逆向思考的方法，把見過的后續(xù)課程和工程中的問題加以歸納，找到其最低限度所需要的理論。凡是后續(xù)課程需要的，就講透；凡是找不到直接需求的，即予刪除；凡是能找到簡(jiǎn)明證法的，均予采納；有些牽扯太廣的就不證了，畢竟工科(特別是應(yīng)用型、技能型)人才是用數(shù)學(xué)的，與研究數(shù)學(xué)的要有區(qū)別。
從這些命題中歸納出對(duì)理論的需求，反映在本書中，為四方面的重大改革：
(1) 關(guān)于行列式的講法。我們發(fā)現(xiàn)，在所有的應(yīng)用命題中，除了求面積、體積和求特征方程的問題外，沒有一個(gè)要計(jì)算行列式的，這是因?yàn)樵谟孟ń夥匠虝r(shí)，已經(jīng)在不知不覺中使用了行列式。用主元連乘法同樣可以容易地證明行列式的各種有用的性質(zhì)，也是軟件編程的依據(jù)。因此，本書對(duì)行列式的其他定義，只用低階矩陣簡(jiǎn)述，擺脫了逆序數(shù)、代數(shù)余子式、伴隨矩陣、行列式按行展開等繁瑣的數(shù)學(xué)術(shù)語和推導(dǎo)，大大壓縮了篇幅，避開了許多“攔路虎”。不講這些概念，水平就低嗎？那要看用不用。對(duì)于搞理論的，也許可以練練推公式，但對(duì)于搞應(yīng)用的，水平和創(chuàng)新要體現(xiàn)在建模上。還可以舉出兩個(gè)佐證：一是國(guó)際領(lǐng)先的矩陣軟件MATLAB中就沒有這些術(shù)語及其子程序，全世界有幾百萬用戶卻都在用它求解大規(guī)模、高難度的線性代數(shù)問題，說明應(yīng)用中確實(shí)不需要這些概念；二是美國(guó)MIT的教材[3]也只通過二、三階矩陣對(duì)此作了簡(jiǎn)介，深度與本書相當(dāng)。
(2) 向量空間要講透三維，減縮n維。幫助大學(xué)低年級(jí)學(xué)生建立立體概念是大學(xué)教學(xué)計(jì)劃中的重要一環(huán)，為此有制圖、畫法幾何、多變量微積分、物理中場(chǎng)的演示、數(shù)學(xué)中的場(chǎng)論、電工中的復(fù)信號(hào)、電機(jī)中的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等多門課程。線性代數(shù)本應(yīng)該有責(zé)任幫助學(xué)生建立空間概念，但現(xiàn)有教法卻弱化三維，過分強(qiáng)調(diào)n維空間。全是公式，沒法畫圖，不利于學(xué)生接受。國(guó)外的各種面向工科的線性代數(shù)的優(yōu)秀教材，都是以三維空間為主，并且有大量的立體圖輔助。本書強(qiáng)調(diào)二、三維，使例子形象化，并使圖形作為建立概念的重要工具。不是說n維不重要，而是要循序漸進(jìn)，先感性積累，后理性抽象，一年級(jí)學(xué)n維太
早了。
(3) 弱化欠定，加強(qiáng)超定。欠定方程組是由于命題條件不足造成的，工程師可以拒絕處理，在強(qiáng)調(diào)解的唯一性的數(shù)學(xué)入門階段，拿不出基礎(chǔ)解的工程實(shí)例，學(xué)生很難理解其意義，也許只有研究生的數(shù)學(xué)規(guī)劃課程才有用，在此讓大學(xué)新生花很多學(xué)時(shí)是太超前了。超定方程則是工程上常見的問題，它來源于實(shí)踐中不可避免的干擾和測(cè)量誤差，而且正是數(shù)學(xué)家高斯提出的極漂亮的最小二乘解法，其證明又可加強(qiáng)向量空間概念，國(guó)外的教材都講，只有我國(guó)的教材不講，這是我國(guó)線性代數(shù)教學(xué)脫離工程的表現(xiàn)之一。
(4) 特征根和特征向量對(duì)大一學(xué)生就有些超前，只有兩階的好懂些，所以只講到兩階為止，但實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)根都要講。實(shí)際上三階及以上的特征根，手工解是不行的，只有依靠計(jì)算機(jī)。高階實(shí)二次型不但計(jì)算有難度，而且找不到工程應(yīng)用。而復(fù)數(shù)特征根卻是工程中很有用的，它是理解振動(dòng)問題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生在日常經(jīng)驗(yàn)中能夠接受的。
用最小的學(xué)習(xí)成本獲得最大的應(yīng)用效果，這是本書取材的準(zhǔn)則。這四項(xiàng)改革是針對(duì)以機(jī)電信控專業(yè)應(yīng)用為目標(biāo)的非數(shù)學(xué)系大學(xué)生和工程師提出的理論上的最低要求，不包括線性代數(shù)在更深層次和更高水平上的應(yīng)用。此外，本書力圖用工程語言來敘述概念，從具體到抽象，盡量少用數(shù)學(xué)定義，多用圖形等來證明，不過分強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密。微積分教材有兩百年了，有不少適合工科的版本；線性代數(shù)歷史短，與工科遠(yuǎn)未磨合好，教材基本上都還是數(shù)學(xué)系的模式，很難適應(yīng)非數(shù)學(xué)系的需求和口味。
錢學(xué)森先生在1989年寫道：“今后對(duì)一個(gè)問題求解可以全部讓電子計(jì)算機(jī)去干，不需要人去一點(diǎn)一點(diǎn)算。而直到今天，工科理科大學(xué)一二年級(jí)的數(shù)學(xué)課是構(gòu)筑在人自己去算這一要求上的。……所以理工科的數(shù)學(xué)課必須改革，數(shù)學(xué)課不是為了學(xué)生學(xué)會(huì)自己去求解，而是為了學(xué)生學(xué)會(huì)讓電子計(jì)算機(jī)去求解，學(xué)會(huì)理解電子計(jì)算機(jī)給出的答案……”。線性代數(shù)是數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)，是最該率先使用計(jì)算機(jī)的，本書也在朝這個(gè)方面努力。希望與讀者互動(dòng)，在學(xué)習(xí)本書時(shí)最好手邊有裝了MATLAB的計(jì)算機(jī)。
三、不同類型讀者該如何使用本書
(1) 本書的對(duì)象首先是在職工程師。三十年前的大學(xué)是沒有線性代數(shù)課的，近三十年來雖然開了課，因不用計(jì)算機(jī)，多數(shù)畢業(yè)生沒有用過線性代數(shù)。對(duì)于這上千萬的不知道如何用線性代數(shù)的龐大群體，需要的是從實(shí)用出發(fā)來補(bǔ)修。讀者可以先翻翻第6章，看看和自己的領(lǐng)域相近的問題，線性代數(shù)是怎么用計(jì)算機(jī)來解決的，覺得有意思了，再下決心把本書從頭看起。因?yàn)闀兄v理論只有前5章，篇幅和難度都不大。
(2) 不以考研為目標(biāo)的普通大學(xué)本科生可以拿本書作為教材，連附錄A中“MATLAB的矩陣代數(shù)和作圖初步”，30學(xué)時(shí)應(yīng)該可以拿下來，注意多加一些上機(jī)實(shí)踐。對(duì)于學(xué)時(shí)更少的高專、高職專業(yè)，第4、5兩章的部分內(nèi)容也可省略，重點(diǎn)學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)解線性方程組和坐標(biāo)變換，就能解決后續(xù)課及工程中大量的常見實(shí)際問題。我國(guó)高等教育正面臨向職業(yè)教育轉(zhuǎn)型的問題，要更多培養(yǎng)應(yīng)用型、技能型的人才，其關(guān)鍵是課程改革問題，本書希望能為這一轉(zhuǎn)型鋪路。
