1.1．1 任意角
1．角的有關概念：
①角的定義：
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．
②角的名稱：
圖片
③角的分類：
圖片
④注意：
⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”；
⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負角和零角．
圖片
2．象限角的概念：
①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．
1.1.2弧度制（一）
1．定 義
我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略．
弧度制的性質(zhì)：
圖片
5．常規(guī)寫法：
① 用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少π 的形式, 不必寫成小數(shù)．
② 弧度與角度不能混用．
6．特殊角的弧度
圖片
弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積．
4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）
1. 三角函數(shù)的定義
2. 誘導公式
圖片
當角的終邊上一點圖片的坐標滿足圖片時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。
1．有向線段：
坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。
規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。
有向線段：帶有方向的線段。
2．三角函數(shù)線的定義：
圖片
圖片 圖片 圖片
我們就分別稱有向線段圖片為正弦線、余弦線、正切線。
說明：
（1）三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與a的終邊的交點。
（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負值。
（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。
4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）
1．三角函數(shù)定義
圖片
函 數(shù)
定 義 域
值 域
2．三角函數(shù)的定義域、值域
注意：
(1)在平面直角坐標系內(nèi)研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.
(2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關.
(3)sin是個整體符號，不能認為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣.
(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:
銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認識和研究過程.
(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.
3．例題分析
例1．求下列各角的四個三角函數(shù)值： （通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因為當時，，，所以
， ， ， 不存在。
（2）因為當時，，，所以
， ， ， 不存在，
（3）因為當時，，，所以
， ， 不存在， ，
例2．已知角α的終邊經(jīng)過點，求α的四個函數(shù)值。
解：因為，所以，于是
； ；
； ．
例3．已知角α的終邊過點，求α的四個三角函數(shù)值。
解：因為過點，所以，
當；；
當；
； ．
4．三角函數(shù)的符號
由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標的符號，我們可以得知：
①正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負（）；
②余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負（）；
③正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負（異號）．
說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。
5．誘導公式
由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：
，
，其中．
，
這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問題．
4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系
（一）同角三角函數(shù)的基本關系式：
1. 由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關系：
（1）商數(shù)關系： （2）平方關系：
說明：
①注意“同角”，至于角的形式無關重要，如等；
②注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如
；
③對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：
， ， 等。
總結(jié)：
1. 已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。
2. 解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關系開平方時，漏掉了負的平方根。
小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：
（1）盡量使函數(shù)種類最少，項數(shù)最少，次數(shù)最低；
（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；
（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；
（4）能求得數(shù)值的應計算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時，常將式子中的“1”作巧妙的變形，
1．3誘導公式
1、誘導公式（五）
2、誘導公式（六）
總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號看象限
小結(jié)：
①三角函數(shù)的簡化過程圖：
②三角函數(shù)的簡化過程口訣：
負化正，正化小，化到銳角就行了.
1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象
1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)
（1）函數(shù)y=sinx的圖象
第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點，以為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預備：取自變量x值—弧度制下角與實數(shù)的對應）.
第二步：在單位圓中畫出對應于角，，,…，2π的正弦線正弦線（等價于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點（等價于“描點”）.
第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．
根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.
把角x的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.
（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象
根據(jù)誘導公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.
正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．
2．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：
正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函數(shù)y=cosx xÎ[0,2p]的五個點關鍵是哪幾個？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)
1．周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f (x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f (x+T)=f (x)那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。
問題：（1）對于函數(shù)，有，能否說是它的周期？
（2）正弦函數(shù)，是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函數(shù)的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？
（是，其原因為：）
2、說明：
1°周期函數(shù)xÎ定義域M，則必有x+TÎM,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；2°“每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)1f (x0)）
3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p （一般稱為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；
判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？ （沒有最小正周期）
說明：（1）一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，（其中 為常數(shù)，且，）的周期；
（2）若，如：①； ②； ③，．
則這三個函數(shù)的周期又是什么？
一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，的周期
1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)
1. 奇偶性
(1)余弦函數(shù)的圖形
當自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。
(2)正弦函數(shù)的圖形
2.單調(diào)性
從y＝sinx，x∈［－］的圖象上可看出：
當x∈［－，］時，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.
當x∈［，］時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.
結(jié)合上述周期性可知：
正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；
在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
3.有關對稱軸
觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知
y=sinx的對稱軸為x= k∈Z y=cosx的對稱軸為x= k∈Z
1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
1．正切函數(shù)的定義域
2．正切函數(shù)是周期函數(shù)
，
∴是的一個周期。
是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。
3．作，的圖象
說明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比小，正切函數(shù)的最小正周期是；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數(shù)
，且的圖象，稱“正切曲線”。
（3）正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的。
4．正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：；
（2）值域：R 觀察：當從小于，時，
當從大于，時，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；
（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。
1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象（二）
函數(shù)表示一個振動量時：
A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.
T：
f ：
稱為“相位” .
x=0時的相位，稱為“初相”.
2.1.1 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
①用有向線段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；
③用有向線段的起點與終點字母：；④向量的大小―長度稱為向量的模，記作||.
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.
向量與有向線段的區(qū)別：
（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
①長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.1.2 相等向量與共線向量
1、相等向量定義：
長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關.
2、共線向量與平行向量關系：
平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關）.
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；
（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.
2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義
１、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 規(guī)定： a+ 0-= 0 + a
（1）兩向量的和仍是一個向量；
（2）當向量與不共線時：
當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<||+||；
當與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，
當與反向時，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；
若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加
3．加法的交換律和平行四邊形法則
1）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）
2）向量加法的交換律：+=+
六、備用習題 思考：你能用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？
2.2.2向量的減法運算及其幾何意義
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a
（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0
如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0
（3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算：
若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b
∵(a-b) + b = a + (-b)+ b = a + 0 = a
作法：在平面內(nèi)取一點O，
作= a， = b 則= a - b
即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
注意：1°表示a - b. 強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)
2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標表示及運算
1.(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2) 基底不惟一，關鍵是不共線；
(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；
(4) 基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
2．向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當=0°，、同向，當=180°，、反向，當=90°，與垂直，記作⊥。
3．平面向量的坐標表示
（1）正交分解：把向量分解為兩個互相垂直的向量。
如圖，在直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得
…………1
我們把叫做向量的（直角）坐標，記作…………2
其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，2式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為. 特別地，，，.
如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.
設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.
2．3．3平面向量的坐標運算
1．平面向量的坐標運算
（1） 若，，則，
兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.
（2）若和實數(shù)，則.
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
設基底為、，則，即
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。
（3） 若，，則
=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)
一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，
則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（0≤θ≤π）.
并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.
（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.
（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在實數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.
（4）已知實數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c
如右圖：a×b = |a||b|cosb =|b||OA|，b×c = |b||c|cosa =|b||OA|
T a×b = b×c 但a 1 c
(5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c)
顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.
2．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；
當q為銳角時投影為正值； 當q為鈍角時投影為負值； 當q為直角時投影為0；
當q = 0°時投影為 |b|； 當q = 180°時投影為 -|b|.
3．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.
兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量，
1、a^b Û a×b= 0
2、當a與b同向時，a×b = |a||b|； 當a與b反向時，a×b = -|a||b|.
特別的a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq =
平面向量數(shù)量積的運算律:
1．交換律：a × b = b × a
證：設a，b夾角為q，則a × b =|a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a
2．數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b=(a×b)= a×(b)
證：若> 0，(a)×b=|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，
若< 0，(a)×b=|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.
3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c
在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2
∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b|cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c
說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角
1、平面兩向量數(shù)量積的坐標表示
兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即
2. 平面內(nèi)兩點間的距離公式
（1）設，則或.
（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，
那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)
3．向量垂直的判定
設，，則
