1.1．1 任意角
1．角的有關(guān)概念：
①角的定義：
角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．
②角的名稱：
圖片
③角的分類：
圖片
④注意：
⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”；
⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角．
圖片
2．象限角的概念：
①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．
1.1.2弧度制（一）
1．定 義
我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略．
弧度制的性質(zhì)：
圖片
5．常規(guī)寫法：
① 用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少π 的形式, 不必寫成小數(shù)．
② 弧度與角度不能混用．
6．特殊角的弧度
圖片
弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積．
4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）
1. 三角函數(shù)的定義
2. 誘導(dǎo)公式
圖片
當(dāng)角的終邊上一點圖片的坐標(biāo)滿足圖片時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。
1．有向線段：
坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。
規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時為正，與坐標(biāo)方向相反時為負(fù)。
有向線段：帶有方向的線段。
2．三角函數(shù)線的定義：
圖片
圖片 圖片 圖片
我們就分別稱有向線段圖片為正弦線、余弦線、正切線。
說明：
（1）三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。
（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與a的終邊的交點。
（3）三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值。
（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。
4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1）
1．三角函數(shù)定義
圖片
函 數(shù)
定 義 域
值 域
2．三角函數(shù)的定義域、值域
注意：
(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.
(2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).
(3)sin是個整體符號，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣.
(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:
銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研究過程.
(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.
3．例題分析
例1．求下列各角的四個三角函數(shù)值： （通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因為當(dāng)時，，，所以
， ， ， 不存在。
（2）因為當(dāng)時，，，所以
， ， ， 不存在，
（3）因為當(dāng)時，，，所以
， ， 不存在， ，
例2．已知角α的終邊經(jīng)過點，求α的四個函數(shù)值。
解：因為，所以，于是
； ；
； ．
例3．已知角α的終邊過點，求α的四個三角函數(shù)值。
解：因為過點，所以，
當(dāng)；；
當(dāng)；
； ．
4．三角函數(shù)的符號
由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：
①正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負(fù)（）；
②余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負(fù)（）；
③正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負(fù)（異號）．
說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。
5．誘導(dǎo)公式
由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：
，
，其中．
，
這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問題．
4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：
1. 由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：
（1）商數(shù)關(guān)系： （2）平方關(guān)系：
說明：
①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如等；
②注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如
；
③對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：
， ， 等。
總結(jié)：
1. 已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。
2. 解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開平方時，漏掉了負(fù)的平方根。
小結(jié)：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：
（1）盡量使函數(shù)種類最少，項數(shù)最少，次數(shù)最低；
（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；
（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；
（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時，常將式子中的“1”作巧妙的變形，
1．3誘導(dǎo)公式
1、誘導(dǎo)公式（五）
2、誘導(dǎo)公式（六）
總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號看象限
小結(jié)：
①三角函數(shù)的簡化過程圖：
②三角函數(shù)的簡化過程口訣：
負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.
1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象
1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)
（1）函數(shù)y=sinx的圖象
第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點，以為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值—弧度制下角與實數(shù)的對應(yīng)）.
第二步：在單位圓中畫出對應(yīng)于角，，,…，2π的正弦線正弦線（等價于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應(yīng)的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點（等價于“描點”）.
第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．
根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動，每次移動的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.
把角x的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應(yīng)的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.
（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象
根據(jù)誘導(dǎo)公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.
正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．
2．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：
正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函數(shù)y=cosx xÎ[0,2p]的五個點關(guān)鍵是哪幾個？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)
1．周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f (x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f (x+T)=f (x)那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。
問題：（1）對于函數(shù)，有，能否說是它的周期？
（2）正弦函數(shù)，是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函數(shù)的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？
（是，其原因為：）
2、說明：
1°周期函數(shù)xÎ定義域M，則必有x+TÎM,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；2°“每一個值”只要有一個反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)1f (x0)）
3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p （一般稱為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；
判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？ （沒有最小正周期）
說明：（1）一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，（其中 為常數(shù)，且，）的周期；
（2）若，如：①； ②； ③，．
則這三個函數(shù)的周期又是什么？
一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，的周期
1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)
1. 奇偶性
(1)余弦函數(shù)的圖形
當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。
(2)正弦函數(shù)的圖形
2.單調(diào)性
從y＝sinx，x∈［－］的圖象上可看出：
當(dāng)x∈［－，］時，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.
當(dāng)x∈［，］時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.
結(jié)合上述周期性可知：
正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；
在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.
3.有關(guān)對稱軸
觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知
y=sinx的對稱軸為x= k∈Z y=cosx的對稱軸為x= k∈Z
1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
1．正切函數(shù)的定義域
2．正切函數(shù)是周期函數(shù)
，
∴是的一個周期。
是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。
3．作，的圖象
說明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比小，正切函數(shù)的最小正周期是；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)
，且的圖象，稱“正切曲線”。
（3）正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成的。
4．正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：；
（2）值域：R 觀察：當(dāng)從小于，時，
當(dāng)從大于，時，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；
（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。
1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象（二）
函數(shù)表示一個振動量時：
A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.
T：
f ：
稱為“相位” .
x=0時的相位，稱為“初相”.
2.1.1 向量的物理背景與概念及向量的幾何表示
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
①用有向線段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；
③用有向線段的起點與終點字母：；④向量的大小―長度稱為向量的模，記作||.
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.
向量與有向線段的區(qū)別：
（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
①長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.1.2 相等向量與共線向量
1、相等向量定義：
長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān).
2、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；
（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義
１、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.
２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）
如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ， 規(guī)定： a+ 0-= 0 + a
（1）兩向量的和仍是一個向量；
（2）當(dāng)向量與不共線時：
當(dāng)向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<||+||；
當(dāng)與同向時，則+、、同向，且|+|=||+||，
當(dāng)與反向時，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；
若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加
3．加法的交換律和平行四邊形法則
1）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應(yīng)）
2）向量加法的交換律：+=+
六、備用習(xí)題 思考：你能用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？
2.2.2向量的減法運算及其幾何意義
1．用“相反向量”定義向量的減法
（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a
（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.
任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0
如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0
（3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.
即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
2．用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算：
若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b
3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b
∵(a-b) + b = a + (-b)+ b = a + 0 = a
作法：在平面內(nèi)取一點O，
作= a， = b 則= a - b
即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
注意：1°表示a - b. 強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)
2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算
1.(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；
(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；
(4) 基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量
2．向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=0°，、同向，當(dāng)=180°，、反向，當(dāng)=90°，與垂直，記作⊥。
3．平面向量的坐標(biāo)表示
（1）正交分解：把向量分解為兩個互相垂直的向量。
如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得
…………1
我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………2
其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為. 特別地，，，.
如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.
設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.
2．3．3平面向量的坐標(biāo)運算
1．平面向量的坐標(biāo)運算
（1） 若，，則，
兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
（2）若和實數(shù)，則.
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).
設(shè)基底為、，則，即
實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
（3） 若，，則
=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)
一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義
1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，
則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（0≤θ≤π）.
并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.
（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.
（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在實數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.
（4）已知實數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c
如右圖：a×b = |a||b|cosb =|b||OA|，b×c = |b||c|cosa =|b||OA|
T a×b = b×c 但a 1 c
(5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c)
顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.
2．“投影”的概念：作圖
定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；
當(dāng)q為銳角時投影為正值； 當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時投影為0；
當(dāng)q = 0°時投影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|.
3．向量的數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.
兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，
1、a^b Û a×b= 0
2、當(dāng)a與b同向時，a×b = |a||b|； 當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a||b|.
特別的a×a = |a|2或 |a×b| ≤ |a||b| cosq =
平面向量數(shù)量積的運算律:
1．交換律：a × b = b × a
證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b =|a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq ∴a × b = b × a
2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)×b=(a×b)= a×(b)
證：若> 0，(a)×b=|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，
若< 0，(a)×b=|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.
3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c
在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2
∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b|cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c
說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角
1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即
2. 平面內(nèi)兩點間的距離公式
（1）設(shè)，則或.
（2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，
那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)
3．向量垂直的判定
設(shè)，，則
