1.1．1 任意角

1．角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線(xiàn)繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．

②角的名稱(chēng)： 

圖片

③角的分類(lèi)：

圖片 

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡(jiǎn)化成“α ”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；

⑶角的概念經(jīng)過(guò)推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角．

圖片

2．象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角．

1.1.2弧度制（一）

1．定  義

我們規(guī)定,長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來(lái)度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略．

弧度制的性質(zhì)：

圖片

5．常規(guī)寫(xiě)法：

① 用弧度數(shù)表示角時(shí),常常把弧度數(shù)寫(xiě)成多少π 的形式, 不必寫(xiě)成小數(shù)．                             

② 弧度與角度不能混用．

6．特殊角的弧度

圖片

弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積．

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）

1. 三角函數(shù)的定義

2. 誘導(dǎo)公式

圖片

當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)圖片的坐標(biāo)滿(mǎn)足圖片時(shí)，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線(xiàn)。

1．有向線(xiàn)段：

坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線(xiàn)，那么與之平行的線(xiàn)段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。

有向線(xiàn)段：帶有方向的線(xiàn)段。

2．三角函數(shù)線(xiàn)的定義：

圖片

圖片 圖片 圖片

 我們就分別稱(chēng)有向線(xiàn)段圖片為正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)。

說(shuō)明：

（1）三條有向線(xiàn)段的位置：正弦線(xiàn)為a的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線(xiàn)段；余弦線(xiàn)在x軸上；正切線(xiàn)在過(guò)單位圓與軸正方向的交點(diǎn)的切線(xiàn)上，三條有向線(xiàn)段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

（2）三條有向線(xiàn)段的方向：正弦線(xiàn)由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線(xiàn)由原點(diǎn)指向垂足；正切線(xiàn)由切點(diǎn)指向與a的終邊的交點(diǎn)。

（3）三條有向線(xiàn)段的正負(fù)：三條有向線(xiàn)段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值。

（4）三條有向線(xiàn)段的書(shū)寫(xiě)：有向線(xiàn)段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（1） 

1．三角函數(shù)定義

圖片

函   數(shù)

定  義  域

值  域

2．三角函數(shù)的定義域、值域

注意：

(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問(wèn)題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.��

(2) α是任意角，射線(xiàn)OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無(wú)關(guān).

(3)sin是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“sin”與“α”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.

(4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:

銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來(lái)定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來(lái)定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過(guò)程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類(lèi)比記憶.��

3．例題分析

例1．求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值：          （通過(guò)本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）

（1）；      （2）；            （3）．

解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以

，    ，     ，       不存在。

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以

，      ，      ，      不存在，

（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以

，      ，      不存在，      ，

例2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)函數(shù)值。

解：因?yàn)椋�所以，于�?/p>

；         ；

；                     ．

例3．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)，求α的四個(gè)三角函數(shù)值。

解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以， 

當(dāng)；；

當(dāng)；

；       ．

4．三角函數(shù)的符號(hào)

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)，我們可以得知：

①正弦值對(duì)于第一、二象限為正（），對(duì)于第三、四象限為負(fù)（）；

②余弦值對(duì)于第一、四象限為正（），對(duì)于第二、三象限為負(fù)（）；

③正切值對(duì)于第一、三象限為正（同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（異號(hào)）．

說(shuō)明：若終邊落在軸線(xiàn)上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

5．誘導(dǎo)公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

，

，其中．

，

這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問(wèn)題．

4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系  

（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

1.     由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

（1）商數(shù)關(guān)系：        （2）平方關(guān)系：

說(shuō)明：

①注意“同角”，至于角的形式無(wú)關(guān)重要，如等；

②注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如

；

③對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用），如：

， ， 等。

總結(jié)：

1.    已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。

2.    解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①?zèng)]有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開(kāi)平方時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根。

小結(jié)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是：

（1）盡量使函數(shù)種類(lèi)最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；

（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；

（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開(kāi)出來(lái)；

（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來(lái)，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常將式子中的“1”作巧妙的變形，

1．3誘導(dǎo)公式

1、誘導(dǎo)公式（五）    

2、誘導(dǎo)公式（六）    

總結(jié)為一句話(huà)：函數(shù)正變余，符號(hào)看象限

小結(jié)：

①三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過(guò)程圖：

②三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過(guò)程口訣：

負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了.

1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象

1、用單位圓中的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來(lái)度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)

（1）函數(shù)y=sinx的圖象

第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)，以為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的交點(diǎn)A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預(yù)備：取自變量x值—弧度制下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)）.

第二步：在單位圓中畫(huà)出對(duì)應(yīng)于角，，,…，2π的正弦線(xiàn)正弦線(xiàn)（等價(jià)于“列表”）.把角x的正弦線(xiàn)向右平行移動(dòng)，使得正弦線(xiàn)的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線(xiàn)的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)”）.

第三步：連線(xiàn).用光滑曲線(xiàn)把這些正弦線(xiàn)的終點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，就得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．

根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng)，每次移動(dòng)的距離為2π，就得到y(tǒng)=sinx，x∈R的圖象.

     把角x的正弦線(xiàn)平行移動(dòng)，使得正弦線(xiàn)的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線(xiàn)的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.

（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象

根據(jù)誘導(dǎo)公式,可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移單位即得余弦函數(shù)y=cosx的圖象.

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)．

2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖（描點(diǎn)法）：

正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)

余弦函數(shù)y=cosx   xÎ[0,2p]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)

1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一) 

1．周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)f (x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有：f (x+T)=f (x)那么函數(shù)f (x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

問(wèn)題：（1）對(duì)于函數(shù)，有，能否說(shuō)是它的周期？

（2）正弦函數(shù)，是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？（，且）

（3）若函數(shù)的周期為，則，也是的周期嗎？為什么？ 

（是，其原因?yàn)椋海?/p>

2、說(shuō)明：

1°周期函數(shù)xÎ定義域M，則必有x+TÎM,且若T>0則定義域無(wú)上界；T<0則定義域無(wú)下界；2°“每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)1f (x0)）

3°T往往是多值的（如y=sinx   2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期為2p  （一般稱(chēng)為周期） 從圖象上可以看出，；，的最小正周期為；

判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？  （沒(méi)有最小正周期）

說(shuō)明：（1）一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，（其中 為常數(shù)，且，）的周期；

（2）若，如：①； ②； ③，．

則這三個(gè)函數(shù)的周期又是什么？

一般結(jié)論：函數(shù)及函數(shù)，的周期

1.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二) 

1.   奇偶性 

 (1)余弦函數(shù)的圖形

當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù)y取同一值。

(2)正弦函數(shù)的圖形

2.單調(diào)性

從y＝sinx，x∈［－］的圖象上可看出：

當(dāng)x∈［－，］時(shí)，曲線(xiàn)逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.

當(dāng)x∈［，］時(shí)，曲線(xiàn)逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.

結(jié)合上述周期性可知：

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；

在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.

3.有關(guān)對(duì)稱(chēng)軸

觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知

y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸為x=    k∈Z           y=cosx的對(duì)稱(chēng)軸為x=    k∈Z

1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

1．正切函數(shù)的定義域         

2．正切函數(shù)是周期函數(shù)

   ，

∴是的一個(gè)周期。

   是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來(lái)判斷。

3．作，的圖象

說(shuō)明：（1）正切函數(shù)的最小正周期不能比小，正切函數(shù)的最小正周期是；

（2）根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)

，且的圖象，稱(chēng)“正切曲線(xiàn)”。

（3）正切曲線(xiàn)是由被相互平行的直線(xiàn)所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線(xiàn)組成的。

4．正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：；

（2）值域：R  觀察：當(dāng)從小于，時(shí)，

                    當(dāng)從大于，時(shí)，。

（3）周期性：；

（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；

（5）單調(diào)性：在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象（二）

函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)：

A：這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離，稱(chēng)為“振幅”.

T：

f ：

稱(chēng)為“相位” .

 x=0時(shí)的相位，稱(chēng)為“初相”.

2.1.1  向量的物理背景與概念及向量的幾何表示

（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。

1、數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2.向量的表示方法：

①用有向線(xiàn)段表示；     ②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；

③用有向線(xiàn)段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；④向量的大小―長(zhǎng)度稱(chēng)為向量的模，記作||.

3.有向線(xiàn)段：具有方向的線(xiàn)段就叫做有向線(xiàn)段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

向量與有向線(xiàn)段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相同的向量；

（2）有向線(xiàn)段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線(xiàn)段.

4、零向量、單位向量概念：

①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.   注意0與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.

②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.

說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

5、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.

說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.

2.1.2  相等向量與共線(xiàn)向量

1、相等向量定義：

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說(shuō)明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；

（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線(xiàn)段表示，并且與有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).

2、共線(xiàn)向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線(xiàn)向量，因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線(xiàn)上（與有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.

說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線(xiàn)上，要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系；

（2）共線(xiàn)向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段的位置關(guān)系.

2.2.1  向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

１、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

２、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）

如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，     規(guī)定：      a+ 0-= 0 + a

（1）兩向量的和仍是一個(gè)向量；

（2）當(dāng)向量與不共線(xiàn)時(shí)：

當(dāng)向量與不共線(xiàn)時(shí)，+的方向不同向，且|+|<||+||；

當(dāng)與同向時(shí)，則+、、同向，且|+|=||+||，

當(dāng)與反向時(shí)，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；

若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.

（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個(gè)向量連加

3．加法的交換律和平行四邊形法則 

1）向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線(xiàn)不適應(yīng)）

2）向量加法的交換律：+=+

六、備用習(xí)題    思考：你能用向量加法證明：兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？

2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

1．用“相反向量”定義向量的減法

（1） “相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作 -a

（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.

     任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0

     如果a、b互為相反向量，則a = -b，  b = -a，  a + b = 0

  （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.

     即：a - b = a + (-b)   求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

2．用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：    向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：

   若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b

3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - b

   ∵(a-b) + b = a + (-b)+ b = a + 0 = a

         作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，

               作= a， = b     則= a - b

               即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.

         注意：1°表示a - b.     強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

               2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算

1.(1) 我們把不共線(xiàn)向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線(xiàn)；

(3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進(jìn)行分解；

(4) 基底給定時(shí)，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量

2．向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)=0°，、同向，當(dāng)=180°，、反向，當(dāng)=90°，與垂直，記作⊥。

3．平面向量的坐標(biāo)表示

   （1）正交分解：把向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量。

 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得

…………1

我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………2

其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，2式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.   特別地，，，.

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，則點(diǎn)的位置由唯一確定.

設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.

2．3．3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1） 若，，則，

兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

（2）若和實(shí)數(shù)，則.

實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

設(shè)基底為、，則，即

   實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

（3） 若，，則

=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)

一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，

則數(shù)量|a||b|cosq叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，（0≤θ≤π）.

并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.

（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cosq的符號(hào)所決定.

（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成a×b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a×b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在實(shí)數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a×b=0，不能推出b=0.因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.

（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a×b = b×c a = c

  如右圖：a×b = |a||b|cosb =|b||OA|，b×c = |b||c|cosa =|b||OA|

T a×b = b×c  但a 1 c

 (5)在實(shí)數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c 1 a(b×c)

                顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線(xiàn)的向量，而右端是與a共線(xiàn)的向量，而一般a與c不共線(xiàn).

2．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；

當(dāng)q為銳角時(shí)投影為正值；  當(dāng)q為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；     當(dāng)q為直角時(shí)投影為0；

當(dāng)q = 0°時(shí)投影為 |b|；     當(dāng)q = 180°時(shí)投影為 -|b|.

3．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a×b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.

兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，

1、a^b Û a×b= 0

2、當(dāng)a與b同向時(shí)，a×b = |a||b|；      當(dāng)a與b反向時(shí)，a×b = -|a||b|. 

特別的a×a = |a|2或       |a×b| ≤ |a||b|       cosq =    

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:

1．交換律：a × b = b × a

證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b =|a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq        ∴a × b = b × a

2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)×b=(a×b)= a×(b)

證：若> 0，(a)×b=|a||b|cosq， (a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cosq，

若< 0，(a)×b=|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq，(a×b) =|a||b|cosq，a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.

3．分配律：(a + b)×c = a×c + b×c

 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a， = b，= c，  ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即   |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2

 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b|cosq2， ∴c×(a + b) = c×a + c×b     即：(a + b)×c = a×c + b×c

說(shuō)明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即

2. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

（1）設(shè)，則或.

（2）如果表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，

那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)

3．向量垂直的判定

設(shè)，，則