第一章

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函數(shù)及其表示

【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作f:A→B．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．

（2）區(qū)間的概念及表示法

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)．

②f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．

③f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．

⑥零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．

⑦若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式a≤g(x)≤b解出．

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．

⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．

（6）映射的概念

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

②若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=0．

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

〖補充知識〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；

②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；

④畫出函數(shù)的圖象．

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算

（1）根式的概念

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算

（1）對數(shù)的定義

【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象

②過定點：所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)

③單調(diào)性：如果a>0，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在[0, +∞)上為增函數(shù)．如果a<0，則冪函數(shù)的圖象在[0, +∞)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸．

〖補充知識〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時，常使用頂點式．

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求f(x)更方便．

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)