第一章

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數集及其記法N表示自然數集，N*或N+表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集.

（3）集合與元素間的關系

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.

③描述法：{x|x具有的性質}，其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.

【1.1.2】集合間的基本關系

（6）子集、真子集、集合相等

【1.1.3】集合的基本運算

（8）交集、并集、補集

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函數及其表示

【1.2.1】函數的概念

（1）函數的概念

①設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到B的一個函數，記作f:A→B．

②函數的三要素:定義域、值域和對應法則．

③只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數．

（2）區(qū)間的概念及表示法

（3）求函數的定義域時，一般遵循以下原則：

①f(x)是整式時，定義域是全體實數．

②f(x)是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數．

③f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合

④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1．

⑥零（負）指數冪的底數不能為零．

⑦若f(x)是由有限個基本初等函數的四則運算而合成的函數時，則其定義域一般是各基本初等函數的定義域的交集．

⑧對于求復合函數定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a,b]，其復合函數f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出．

⑨對于含字母參數的函數，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數進行分類討論．

⑩由實際問題確定的函數，其定義域除使函數有意義外，還要符合問題的實際意義．

（4）求函數的值域或最值

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同．求函數值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數解析式化成含有自變量的平方式與常數的和，然后根據變量的取值范圍確定函數的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數函數的最值問題轉化為三角函數的最值問題．

⑥反函數法：利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系確定函數的值域或最值．

⑦數形結合法：利用函數圖象或幾何方法確定函數的值域或最值．

⑧函數的單調性法．

【1.2.2】函數的表示法

（5）函數的表示方法

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系．

（6）映射的概念

〖1.3〗函數的基本性質

【1.3.1】單調性與最大（小）值

（1）函數的單調性

①定義及判定方法

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數的奇偶性

①定義及判定方法

②若函數f(x)為奇函數，且在x=0處有定義，則f(0)=0．

③奇函數在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數在y軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內，兩個偶函數（或奇函數）的和（或差）仍是偶函數（或奇函數），兩個偶函數（或奇函數）的積（或商）是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積（或商）是奇函數．

〖補充知識〗函數的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數的定義域；

②化解函數解析式；

③討論函數的性質（奇偶性、單調性）；

④畫出函數的圖象．

利用基本函數圖象的變換作圖：

要準確記憶一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等各種基本初等函數的圖象．

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

（2）識圖

對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數解析式中參數的關系．

（3）用圖

函數圖象形象地顯示了函數的性質，為研究數量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具．要重視數形結合解題的思想方法．

第二章 基本初等函數(Ⅰ)

〖2.1〗指數函數

【2.1.1】指數與指數冪的運算

（1）根式的概念

【2.1.2】指數函數及其性質

（4）指數函數

〖2.2〗對數函數

【2.2.1】對數與對數運算

（1）對數的定義

【2.2.2】對數函數及其性質

（5）對數函數

〖2.3〗冪函數

（1）冪函數的定義

一般地，函數y=xa叫做冪函數，其中x為自變量，a是常數．

（2）冪函數的圖象

（3）冪函數的性質

①圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象

②過定點：所有的冪函數在(0,+∞)都有定義，并且圖象都通過點(1,1)

③單調性：如果a>0，則冪函數的圖象過原點，并且在[0, +∞)上為增函數．如果a<0，則冪函數的圖象在[0, +∞)上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸與y軸．

〖補充知識〗二次函數

（1）二次函數解析式的三種形式

（2）求二次函數解析式的方法

①已知三個點坐標時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求f(x)更方便．

（3）二次函數圖象的性質