相交線與平行線知識點(diǎn)

5.1相交線

5.1.1相交線

有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角。

兩條直線相交有4對鄰補(bǔ)角。

有公共的頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對頂角。

兩條直線相交，有2對對頂角。

對頂角相等。

5.1.2

兩條直線相交，所成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

注意：⑴垂線是一條直線。

⑵具有垂直關(guān)系的兩條直線所成的4個(gè)角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情況。

⑷垂直的記法：a⊥b，AB⊥CD。

畫已知直線的垂線有無數(shù)條。

過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短。

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

5.2平行線

5.2.1平行線

在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點(diǎn)，則這兩條直線互相平行，記作：a∥b。

在同一平面內(nèi)兩條直線的關(guān)系只有兩種：相交或平行。

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

5.2.2直線平行的條件

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線的同一方，截線的同一旁，這樣的兩個(gè)角叫做同位角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的兩側(cè)，這樣的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的同一旁，這樣的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。

判定兩條直線平行的方法：

方法1 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

方法2 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

方法3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5.3平行線的性質(zhì)

平行線具有性質(zhì)：

性質(zhì)1 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

性質(zhì)3 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做著兩條平行線的距離。

判斷一件事情的語句叫做命題。

5.4平移

⑴把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

⑵新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等。

圖形的這種移動(dòng)，叫做平移變換，簡稱平移。

一、平方根

1、平方根

（1）平方根的定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．

（2）開平方的定義：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方．開平方運(yùn)算的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)才有意義。

（3）平方與開平方互為逆運(yùn)算：±3的平方等于9，9的平方根是±3

（4）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個(gè)結(jié)果；一個(gè)負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算；0的平方根是0.

（5）符號：正數(shù)a的正的平方根可用圖片

表示，圖片也是a的算術(shù)平方根；正數(shù)a的負(fù)的平方根可用-圖片表示．

（6）圖片    <—>  圖片

a是x的平方              x的平方是a

x是a的平方根           a的平方根是x

2、算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的定義： 一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即圖片，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)的算術(shù)平方根記為圖片，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)．

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.

也就是，在等式圖片 (x≥0)中，規(guī)定 x=圖片。

（2）圖片的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)a是完全平方數(shù)時(shí)，圖片是一個(gè)有限數(shù)；當(dāng)a不是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，圖片是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。

（3）當(dāng)被開方數(shù)擴(kuò)大時(shí)，它的算術(shù)平方根也擴(kuò)大；

當(dāng)被開方數(shù)縮小時(shí)與它的算術(shù)平方根也縮小。

（4）夾值法及估計(jì)一個(gè)（無理）數(shù)的大小

（5）圖片 (x≥0)    <—>    圖片

a是x的平方                    x的平方是a

x是a的算術(shù)平方根          a的算術(shù)平方根是x

（6）正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

圖片

（7）平方根和算術(shù)平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：

區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而它的算術(shù)平方根只有一個(gè)；

聯(lián)系在于正數(shù)的正平方根就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)。

二、立方根  

1、立方根的定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，這個(gè)數(shù)叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果圖片，那么x叫做a的立方根。求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。

2、一個(gè)數(shù)a的立方根，記作圖片，讀作：“三次根號a”，其中a叫被開方數(shù)，3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。

3、一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

 0有一個(gè)立方根，是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根； 任何數(shù)都有唯一的立方根。

4、利用開立方和立方互為逆運(yùn)算關(guān)系，求一個(gè)數(shù)的立方根，就可以利用這種互逆關(guān)系，檢驗(yàn)其正確性，求負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，再取其相反數(shù)，即圖片。

5、圖片   <—>   圖片

a是x的立方            x的立方是a

x是a的立方根         a的立方根是x

6、圖片，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

三、實(shí)數(shù)

一、實(shí)數(shù)的概念及分類

無理數(shù)：像前面的很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)。

實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。

1、實(shí)數(shù)的分類

圖片

2、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時(shí)，要抓住“無限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數(shù)，如圖片

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如圖片+8等；

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值   

1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

數(shù)a的相反數(shù)是—a，這里a表示任意一個(gè)實(shí)數(shù)。

2、絕對值

一個(gè)數(shù)的絕對值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是0。

正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

4. 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：

每一個(gè)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來，

數(shù)軸上的點(diǎn)有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)，

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)就是一一對應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都是表示一個(gè)實(shí)數(shù)。

三、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)   

1、有效數(shù)字

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時(shí)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

2、科學(xué)記數(shù)法

把一個(gè)數(shù)寫做±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

四、實(shí)數(shù)大小的比較   

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

圖片

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，

圖片

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，圖片。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則圖片。

五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算   

圖片

6、實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，對于運(yùn)算順序有什么規(guī)定？

實(shí)數(shù)混合運(yùn)算時(shí)，將運(yùn)算分為三級，加減為一級運(yùn)算，乘除為二能為運(yùn)算，乘方為三級運(yùn)算。同級運(yùn)算時(shí)，從左到右依次進(jìn)行；不是同級的混合運(yùn)算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運(yùn)算中如有括號時(shí)，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號的順序進(jìn)行。

7、有理數(shù)除法運(yùn)算法則就什么？

兩有理數(shù)除法運(yùn)算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，商都是零。

8、什么叫有理數(shù)的乘方？冪？底數(shù)？指數(shù)？

相同因數(shù)相乘積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪，相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫指數(shù)，這個(gè)因數(shù)叫底數(shù)。記作: an

9、有理數(shù)乘方運(yùn)算的法則是什么？

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)冪都是零。

10、加括號和去括號時(shí)各項(xiàng)的符號的變化規(guī)律是什么？

去（加）括號時(shí)如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號后式子各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)的式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號相同；括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號后式子各項(xiàng)的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項(xiàng)的符號相反。

1.  平移規(guī)律

點(diǎn)的平移規(guī)律：左右點(diǎn)的橫坐標(biāo)變化，（向右移動(dòng)，橫坐標(biāo)變大；向左移動(dòng)，橫坐標(biāo)變小)。上下移動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化（向上移動(dòng)，縱坐標(biāo)變大；向下移動(dòng)，縱坐標(biāo)變小)

圖形的平移規(guī)律：形狀大小不變，位置改變； 

規(guī)律：橫向橫變，縱向縱變，正向加，負(fù)向減

2.  對稱規(guī)律

關(guān)于x軸對稱，縱坐標(biāo)取相反數(shù)

關(guān)于y軸對稱，橫坐標(biāo)取相反數(shù)

關(guān)于原點(diǎn)對稱，橫、縱坐標(biāo)同時(shí)取相反數(shù)

3.位置規(guī)律

圖片

a.平行于橫軸（x軸）的直線上的點(diǎn)縱坐標(biāo)相同

b.平行于縱軸（y軸）的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同

不等式與不等式組

一、不等式

不等式及其解集

1．不等式：用不等號(包括：>、圖片、圖片、<、≠)表示大小關(guān)系的式子。

2．不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫不等式的解。

3．不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。

不等式的性質(zhì):

性質(zhì)1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的傳遞性).  

性質(zhì)2:不等式的兩邊同加(減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).

性質(zhì)3: 不等式的兩邊同乘(除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。不等式的兩邊同乘(除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,ac

性質(zhì)4:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (不等式的加法法則) 

性質(zhì)5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (可乘性) 

性質(zhì)6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.當(dāng)0

二、一元一次不等式

1.一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式。

2、不等式的解法：

步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為一；

注意：去分母與系數(shù)化為一要特別小心，因?yàn)橐�在不等式兩端同時(shí)乘或除以某一個(gè)數(shù)，要考慮不等號的方向是否發(fā)生改變的問題。

三、一元一次不等式組

1．一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。

2．不等式組的解：幾個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的不等式組的解集。解不等式組就是求它的解集。

3．解不等式組：先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式的解集。

解一元一次不等式組的一般方法： 

以兩條不等式組成的不等式組為例，

①若兩個(gè)未知數(shù)的解集在數(shù)軸上表示同向左，就取在左邊的未知數(shù)的解集為不等式組的解集，此乃“同小取小”

②若兩個(gè)未知數(shù)的解集在數(shù)軸上表示同向右，就取在右邊的未知數(shù)的解集為不等式組的解集，此乃“同大取大” 

③若兩個(gè)未知數(shù)的解集在數(shù)軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若x表示不等式的解集，此時(shí)一般表示為a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中

④若兩個(gè)未知數(shù)的解集在數(shù)軸上向背，那么不等式組的解集就是空集，不等式組無解。此乃“向背取空”不等式組的解集的確定方法（a＞b）：