高中數(shù)學(xué)選修４－１知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平行線等分線段定理

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那

么在其他直線上截得的線段也相等。推理１：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊

平行的直線必平分第三邊。推理２：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直

線平分另一腰。

平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)

應(yīng)線段成比例。

相似三角形的判定及性質(zhì)

相似三角形的判定：

定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三

角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形

是否相似，需考慮６個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分

別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)��?jīng)給出過如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似

的簡(jiǎn)單方法：（１）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；（２）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角

相等，兩三角形相似；（３）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相

交，所構(gòu)成的三角形與三角形相似。判定定理１：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果

一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理２：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角

形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊＆＃１０；

對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理３：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三

角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比

例，兩三角形相似。

引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段

成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。定理：（１）如果兩個(gè)直角三角

形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（２）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和

直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

相似三角形的性質(zhì)：

（１）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似

比；（２）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（３）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相

似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；

兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。圓心

角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論１：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所

對(duì)的弧相等。推論２：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；９０°的圓周角所

對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

定理１：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

定理２：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的

四個(gè)頂點(diǎn)共圓。推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)

四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

圓的切線的性質(zhì)及判定定理

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。推論１：經(jīng)過圓心且

垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論２：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過

圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切

線。

弦切角的性質(zhì)

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

與圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

割線定理：從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的

兩條線段長(zhǎng)的積相等。

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交

點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們

的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

高中數(shù)學(xué)選修４－４知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求：１．坐標(biāo)系：

①理解坐標(biāo)系的作用．②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的

變化情況．　　

③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐

標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．　　

④能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)

的圓）的方程．通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解

用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義．２．參數(shù)方程：①了解參數(shù)方

程，了解參數(shù)的意義

②能選擇適當(dāng)?shù)膮��?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程．二、知識(shí)歸納總

結(jié)：

某某，（０），１．伸縮變換：設(shè)點(diǎn)Ｐ（某，ｙ）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，

在變換：的作用下，點(diǎn)Ｐ（某，ｙ）對(duì)應(yīng)

　　　　ｙｙ，（０）．到點(diǎn)Ｐ（某，ｙ），稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮

變換。

　　　　２．極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)Ｏ，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)Ｏ引一條

射線Ｏ某叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一

個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就建立了

一個(gè)極坐標(biāo)系。

　　　　３．點(diǎn)Ｍ的極坐標(biāo)：設(shè)Ｍ是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)Ｏ與點(diǎn)Ｍ的距離｜ＯＭ｜叫做點(diǎn)Ｍ

的極徑，記為；以極軸Ｏ某為始邊，射線ＯＭ為終邊的某ＯＭ叫做點(diǎn)Ｍ的極角，

記為。有序數(shù)對(duì)（，）叫做點(diǎn)Ｍ的極坐標(biāo)，記為Ｍ（，）．極坐標(biāo)（，）與（，２ｋ）（ｋＺ）表示

同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)Ｏ的坐標(biāo)為（０，）（Ｒ）．　　

　　　　４．若０，則０，規(guī)定點(diǎn)（，）與點(diǎn)（，）關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，即（，）與（，）表示同一點(diǎn)。

如果規(guī)定０，０２，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)（，）表示；

同時(shí)，極坐標(biāo)（，）表示的點(diǎn)也是唯一確定的。５．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：

　　　　２某２ｙ，２某ｃｏｓ，ｔａｎｙ某ｙｓｉｎ，（某０）　　

　　　　６。圓的極坐標(biāo)方程：

在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，ｒ?yàn)榘霃降膱A的極坐標(biāo)方程是ｒ；

在極坐標(biāo)系中，以Ｃ（ａ，０）（ａ０）為圓心，ａ為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是

２ａｃｏｓ；在極坐標(biāo)系中，以Ｃ（ａ，２）（ａ０）為圓心，ａ為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是

２ａｓｉｎ；

　　　　７．在極坐標(biāo)系中，（０）表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線；（Ｒ）表示過極點(diǎn)的一

條直線．在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)Ａ（ａ，０）（ａ０），且垂直于極軸的直線ｌ的極坐標(biāo)方

程是ｃｏｓａ．　　

　　　　８．參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

某，ｙ都是某個(gè)變數(shù)ｔ的函數(shù)某ｆ（ｔ），ｙｇ（ｔ），并且對(duì)于＆

ｔ的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)Ｍ（某，ｙ）都在這條曲線上，那么

這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系

變數(shù)某，ｙ的變數(shù)ｔ叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。

相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。

９．圓（某ａ）（ｙｂ）ｒ的參數(shù)方程可表示為ａｒｃｏｓ，ｙｂｒｓｉｎ．（為參數(shù)）．　　

橢圓

某ａｙｂ某ａｃｏｓ，（為參數(shù)）．１（ａｂ０）的參數(shù)方程可表示為ｙｂｓｉｎ．拋物線ｙ２某

２ｐ某２，（ｔ為參數(shù)）．２ｐ某的參數(shù)方程可表示為ｙ２ｐｔ．某某ｏｔｃｏｓ，經(jīng)過點(diǎn)ＭＯ（某

ｏ，ｙｏ），傾斜角為的直線ｌ的參數(shù)方程可表示為（ｔ為參數(shù)）．　　

　　　　ｙｙｔｓｉｎ．ｏ１０．在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使某，ｙ的取值范圍保持一致．　　

高中數(shù)學(xué)選修４－５知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　　　１、不等式的基本性質(zhì)①（對(duì)稱性）ａｂｂａ②（傳遞性）ａｂ，ｂｃａｃ③（可加

性）ａｂ（同向可加性）ａ（異向可減性）ａ④（可積性）ａｂ，ｃ　　

　　　　ａｃｂｃ　　

　　　　ｂ，ｃｄａｃｂｄｂ，ｃｄａｃｂ０ａｃｂｃｄ　　

ｂ０，０ｃｄａｃｂｄ，ａｂ，ｃ０ａｃｂｃ⑤（同向正數(shù)可乘性）ａ⑥（平方法則）

ａｂ０，ｃｄ０ａｃｂｄｎｎ（異向正數(shù)可除性）ａｂ０ｎ　　

　　　　ｂ０ａｂ（ｎＮ，且ｎ１）⑦（開方法則）ａ１ａ１ｂａｎｂ（ｎＮ，且ｎ１）　　

⑧（倒數(shù)法則）ａｂ０　　

　　　　１ａ１ｂ；ａｂ２、幾個(gè)重要不等式①ａｂ２ａｂａ，ｂＲ，（當(dāng)且僅當(dāng)ａｂ時(shí)取＂＂號(hào)）．變形

公式：ａｂ２２ａｂ２２２．　　

②（基本不等式）

　　　　ａｂ２ａｂａ，ｂＲ，（當(dāng)且僅當(dāng)ａｂ時(shí)取到等號(hào)）．　　

　　　　ａｂ變形公式：ａｂ２ａｂａｂ．　　

　　　　２２用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)

條件“一正、二定、三相等”．　

③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）