第一章一元二次方程

　　定義

　　方程是只含有一個未知數(shù)的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程。

2用配方法求解一元二次方程

　　思路：將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式，它的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數(shù)，當(dāng)n≥0時，兩邊同時開平方，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，便可求出它的根。

　　我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法。

3。用公式法求解一元二次方程

　　對于一元二次方程，當(dāng)b2-4ac≥0時，它的根是：

　　上面這個公式稱為一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法。

　　對于ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，當(dāng)b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。當(dāng)b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。當(dāng)b2-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

4、用因式分解法求解一元二次方程

　　當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就可以將方程分解成兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。

5、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

　　如果方程ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)有兩個實數(shù)根x1，x2，那么

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

知識點歸類

建立一元二次方程模型

知識點一 一元二次方程的定義

如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊只含有一個未知數(shù)的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：①方程是整式方程。②它只含有一個未知數(shù)。

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。

一元二次方程的解法

一、一元二次方程概念：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

二、 求解方法

　　1、直接開平方法

　　利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，

　　2、配方法

　　配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

　　3、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

　　公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a，一次項的系數(shù)為b，常數(shù)項的系數(shù)為c

　　4、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式。

三、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：

　　①驗根：不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩根；

　　②求根及未知數(shù)系數(shù)：已知方程的一個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個數(shù)及未知數(shù)系數(shù).

　　③求代數(shù)式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于 和 的代數(shù)式的值，如

　　④求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的應(yīng)用：方程是解決實際問題的有效模型和工具.利用方程解決。

四、解一元二次方程應(yīng)用題：

　　它是列一元一次方程解應(yīng)用題的拓展、解題方法是相同的。其一般步驟為：

　　1．設(shè)：即適當(dāng)設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，間接設(shè)未知數(shù)），不要漏寫單位名稱，會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中涉及的量；

　　2．列：根據(jù)題意，列出含有未知數(shù)的等式，注意等號兩邊量的單位必須一致

　　3．解：解所列方程，求出解來；

　　4．驗：一是檢驗是否為方程的解，二是檢驗是否為應(yīng)用題的解；

　　5．答：怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位名稱。

常見考法

　　（1）考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：這類題目有著解題規(guī)律性強的特點，題目設(shè)置會很靈活，所以一直很吸引命題者。主要考查①根與系數(shù)的推導(dǎo)，有關(guān)規(guī)律的探究②已知兩根或一根構(gòu)造一元二次方程，這類題目一般比較開放；

　　（2）在一元二次方程和幾何問題、函數(shù)問題的交匯處出題。（幾何問題：主要是將數(shù)字及數(shù)字間的關(guān)系隱藏在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有三角形、四邊形、圓等涉及到三角形三邊關(guān)系、三角形全等、面積計算、體積計算、勾股定理等）；

　　（3）列一元二次方程解決實際問題，以實際生活為背景，命題廣泛。（常見的題型是增長率問題，注：平均增長率公式）

　　誤區(qū)提醒

　　（1）已知方程根的情況，確定字母系數(shù)的取值范圍時，忽視了對二次項系數(shù)的討論；

　　（2）忽視“方程有實根”的含義，丟掉判別式等于零的情況；

　　（3）不挖掘題目中的隱含條件導(dǎo)致錯解；

　　（4）忽視等式的基本性質(zhì)，造成失根；

　　（5）忽略實際問題中對方程的根的檢驗，造成錯解。

用一元二次方程解決問題

列一元二次方程解應(yīng)用題時，我們一般將解題過程歸結(jié)為“審、設(shè)、列、解、檢驗、答”六步。

(1) “審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關(guān)系.

(2) “設(shè)”是指設(shè)未知數(shù)，在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個未知量，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x擇其中的一個未知量用字母x表示，然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個未知量用含x的代數(shù)式表示出來.

(3) “列”就是指列方程，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程.

(4) “解”是指解方程，即求出未知數(shù)的值。

(5) “檢驗”是指檢驗方程的解能否保證實際問題有意義.在解實際應(yīng)用題時，一定要注意檢驗求得的一元二次方程的根是否與題意相符，不相符的一定要舍去。

二、 求解方法

1、直接開平方法

　　利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，

2、配方法

　　配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

　　公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a，一次項的系數(shù)為b，常數(shù)項的系數(shù)為c

4、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式。

三、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：

　　①驗根：不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩根；

　　②求根及未知數(shù)系數(shù)：已知方程的一個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個數(shù)及未知數(shù)系數(shù).

　　③求代數(shù)式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于 和 的代數(shù)式的值，如

　　④求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的應(yīng)用：方程是解決實際問題的有效模型和工具.利用方程解決。

四、解一元二次方程應(yīng)用題：

　它是列一元一次方程解應(yīng)用題的拓展、解題方法是相同的。其一般步驟為：

　　1．設(shè)：即適當(dāng)設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，間接設(shè)未知數(shù)），不要漏寫單位名稱，會用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目中涉及的量；

　　2．列：根據(jù)題意，列出含有未知數(shù)的等式，注意等號兩邊量的單位必須一致

　　3．解：解所列方程，求出解來；

　　4．驗：一是檢驗是否為方程的解，二是檢驗是否為應(yīng)用題的解；

　　5．答：怎么問就怎么答，注意不要漏寫單位名稱。

常見考法

　　（1）考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：這類題目有著解題規(guī)律性強的特點，題目設(shè)置會很靈活，所以一直很吸引命題者。主要考查①根與系數(shù)的推導(dǎo)，有關(guān)規(guī)律的探究②已知兩根或一根構(gòu)造一元二次方程，這類題目一般比較開放；

　　（2）在一元二次方程和幾何問題、函數(shù)問題的交匯處出題。（幾何問題：主要是將數(shù)字及數(shù)字間的關(guān)系隱藏在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要有三角形、四邊形、圓等涉及到三角形三邊關(guān)系、三角形全等、面積計算、體積計算、勾股定理等）；

　　（3）列一元二次方程解決實際問題，以實際生活為背景，命題廣泛。（常見的題型是增長率問題，注：平均增長率公式）

誤區(qū)提醒

　　（1）已知方程根的情況，確定字母系數(shù)的取值范圍時，忽視了對二次項系數(shù)的討論；

　　（2）忽視“方程有實根”的含義，丟掉判別式等于零的情況；

　　（3）不挖掘題目中的隱含條件導(dǎo)致錯解；

　　（4）忽視等式的基本性質(zhì)，造成失根；

　　（5）忽略實際問題中對方程的根的檢驗，造成錯解。

用一元二次方程解決問題

列一元二次方程解應(yīng)用題時，我們一般將解題過程歸結(jié)為“審、設(shè)、列、解、檢驗、答”六步。

(1) “審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關(guān)系.

(2) “設(shè)”是指設(shè)未知數(shù)，在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個未知量，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x擇其中的一個未知量用字母x表示，然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個未知量用含x的代數(shù)式表示出來.

(3) “列”就是指列方程，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，即方程.

(4) “解”是指解方程，即求出未知數(shù)的值。

(5) “檢驗”是指檢驗方程的解能否保證實際問題有意義.在解實際應(yīng)用題時，一定要注意檢驗求得的一元二次方程的根是否與題意相符，不相符的一定要舍去。

(6) “答”是指完成以上步驟后，回歸到原始問題，寫出答案。

第2章 對稱圖形-圓

圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸，因此圓有無數(shù)條對稱軸。精品學(xué)習(xí)網(wǎng)初中頻道為大家編輯了對稱圖形圓知識點，希望對大家有幫助。

2.1 圓

1、半徑：圓上一點與圓心的連線段。

2、直徑：連接圓上兩點有經(jīng)過圓心的線段。

3、弦：連接圓上兩點線段(直徑也是弦)。

4、弧：圓上兩點之間的曲線部分。半圓周也是弧。

(1)劣弧：小于半圓周的弧。

(2)優(yōu)弧：大于半圓周的弧。

2.2 圓的對稱性

(1)圓是滿足x軸對稱的，這樣只需要計算原來的1/2點的位置;

(2)圓是滿足y軸對稱的，這樣只需要計算原來的1/2點的位置;(3)圓是滿足y = x or y = -x軸對稱的，這樣只需要計算原來的1/2點的位置;

2.3 確定圓的條件

1.定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓.定理中“不在同一直線”這個條件不可忽略，“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有” .

2.通過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心為三角形的外心，這個三角形叫圓的內(nèi)接三角形.只要三角形確定，那么它的外心和外接圓半徑也隨之確定了.

2.4 圓周角

圓周角定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等于這條弧所對的圓心角的一半。

證明(分類思想，3種，半徑相等)

①圓周角度數(shù)定理:圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。

②同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等圓周角所對的弧也相等。(不在同圓或等圓中其實也相等的。注:僅限這一條。）

2.5 直線與圓的位置關(guān)系

①直線和圓無公共點，稱相離。 AB與圓O相離，d>r。

②直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

③直線和圓有且只有一公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。AB與⊙O相切，d=r。(d為圓心到直線的距離)

2.6 正多邊形與圓

1)把一個圓的圓周分成n等份，順次連接各分點所得圖形，即為圓的內(nèi)接正n邊形，這個圓叫做這個正n邊形的外接圓。

2)正多邊形的相關(guān)概念：正多邊形的中心——是正多邊外接圓的圓心。正多邊形的半徑——是正多邊形內(nèi)切圓半徑。(rn)正多邊形的中心角——是正多邊形的邊所對的外接圓的圓心角。(αn)

2.7 弧長及扇形的面積

弧長公式:n是圓心角度數(shù)，r是半徑，α是圓心角弧度。

l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r

在半徑是R的圓中，因為360°的圓心角所對的弧長就等于圓周長C=2πR，所以n°圓心角所對的弧長為l=n°πR÷180°。

2.8 圓錐的側(cè)面積

S = π R L

圓錐側(cè)面積=n/360×π×R²=1/2LR (n指扇形頂角度數(shù),R是圓錐底面半徑,L指母線)

圓錐的側(cè)面積推導(dǎo),需要把圓錐展開;

第3章 數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度

【知識點1】正確理解平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念

一、平均數(shù)：平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的平均水平的特征數(shù)，反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變化都會引起平均數(shù)的變化．

二、眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)有時不唯一．眾數(shù)著眼于對各數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)的考察，這就告訴我們在求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)時，既不需要排列，又不需要計算，只要能找出樣本中出現(xiàn)次數(shù)最多的那一個（或幾個）數(shù)據(jù)就可以了．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，它的眾數(shù)也就是我們所要關(guān)心的一種集中趨勢．

注：眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，是一組數(shù)據(jù)中的原數(shù)據(jù)，而不是相應(yīng)的次數(shù)．眾數(shù)有可能不唯一，注意不要遺漏．

三、中位數(shù)：是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處在最中間的一個數(shù)（或處在最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)）．一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的．

注：求中位數(shù)要先把數(shù)據(jù)按大小順序排列，可以從小到大，也可以從大到小．如果數(shù)據(jù)個數(shù)n為奇數(shù)時，第 個數(shù)據(jù)為中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)個數(shù)n為偶數(shù)時，第、個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)．

【知識點2】極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來研究一組數(shù)據(jù)的離散程度的，反映一組數(shù)據(jù)的波動范圍或波動大小的量.

一、極差

一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差，即極差=最大值-最小值.極差能夠反映數(shù)據(jù)的變化范圍，實際生活中我們經(jīng)常用到極差.如一支足球隊隊員中的最大年齡與最小年齡的差，一個公司成員中最高收入與最低收入的差等都是極差的例子.極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動情況的量，它受極端值的影響較大.

二、方差

方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動大小的特征的量.它是指一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，它反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小.

例：數(shù)據(jù)0、1、2、3、x 的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的極差和標(biāo)準(zhǔn)差分別是【   】

A   4，2   B   4，  C   2， D   4，

三、標(biāo)準(zhǔn)差

在計算方差的過程中，可以看出方差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)的單位不一致，在實際的應(yīng)用時常常將求出的方差再開平方，此時得到量為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

✪注意：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系

方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的量，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小.兩組數(shù)據(jù)中極差大的那一組并不一定方差也大.在實際問題中有時用到標(biāo)準(zhǔn)差，是因為標(biāo)準(zhǔn)差的單位和原數(shù)據(jù)的單位一致，且能緩解方差過大或過小的現(xiàn)象.

例：從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測得它們的株高如下：（單位：cm）

甲： 21 42 39  14  19 22  37  41 40  25

乙： 27 16  40  41  16 44  40  40  2744

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分別求甲、乙兩種玉米的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.(2)哪種玉米的苗長得高些;(3)哪種玉米的苗長得齊.

第4章 等可能條件下的概率