以下是一些量子力學(xué)習題精講的內(nèi)容：

基礎(chǔ)概念類習題

光電效應(yīng)：

知識點：光電效應(yīng)是指在光照射下物體發(fā)射出電子的現(xiàn)象，其規(guī)律包括極限頻率、光電子最大初動能與入射光強度無關(guān)、光電流強度與入射光強度的關(guān)系以及光電效應(yīng)的瞬時性等.

例題：某種單色光照射某金屬時不能產(chǎn)生光電效應(yīng)，則下述措施中也許使金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)的是（ ）A. 延長光照時間 B. 增大光的強度 C. 換用波長較短的光照射 D. 換用頻度較低的光照射.

解析：由發(fā)生光電效應(yīng)的條件可知，能否產(chǎn)生光電效應(yīng)與入射光的頻率和金屬板的材料有關(guān)，當金屬一定時，要發(fā)生光電效應(yīng)，就只有增大入射光的頻率，即入射光的波長變短，所以 C 選項正確.

德布羅意波長：

知識點：德布羅意波粒二象性指出，微觀粒子具有波動性，其波長與動量的關(guān)系為，對于非相對論性粒子，.

例題：在 0K 附近，鈉的價電子能量約為 3eV，求其德布羅意波長.

解析：已知鈉的價電子動能，遠遠小于電子的靜止能量，可利用非相對論性的電子的能量 —— 動量關(guān)系式。由可得，再根據(jù)，代入數(shù)據(jù)可求出德布羅意波長。其中為普朗克常量，為電子質(zhì)量.

算符與表象類習題

算符的本征值與本征函數(shù)：

知識點：若一算符滿足，則為算符的本征值，為其對應(yīng)的本征函數(shù)。一些常見算符的性質(zhì)和關(guān)系需要牢記，如對易關(guān)系、反對易關(guān)系等.

例題：若一算符平方等于 1，則該算符的本征值為正負 1，即我們可以將其矩陣表示為對角元分別為 + 1 和 - 1 的二維矩陣表示.

解析：設(shè)的本征值為，本征函數(shù)為，則，兩邊同時作用可得，已知，所以，解得.

表象變換：

知識點：表象是量子力學(xué)中描述量子態(tài)和力學(xué)量的一種方式，不同表象之間可以通過幺正變換相互轉(zhuǎn)換。在解決問題時，需要根據(jù)具體情況選擇合適的表象，使問題簡化.

例題：已知哈密頓量，的本征態(tài)為和，在和表象下的矩陣形式已知，求的本征值.

解析：首先寫出在其自身表象下的矩陣形式，然后將的矩陣形式與之相加，得到的矩陣形式。再通過求解的本征方程，求出的本征值，其中為本征值，為單位矩陣.

薛定諤方程求解類習題

一維無限深勢阱：

知識點：一維無限深勢阱中粒子的勢能函數(shù)為

或

，在勢阱內(nèi)，定態(tài)薛定諤方程為，其解為，能級為，.

例題：一粒子在一維無限深勢阱中運動，勢阱寬度為，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù).

解析：根據(jù)上述知識點，直接代入公式即可求出粒子的能級和波函數(shù)。在求解過程中，需要注意波函數(shù)的歸一化條件和邊界條件的應(yīng)用.

勢壘貫穿：

知識點：當粒子遇到勢壘時，有一定概率貫穿勢壘，這是量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)。對于一維方勢壘

或

，通過求解薛定諤方程，可以得到粒子貫穿勢壘的透射系數(shù)和反射系數(shù)，且滿足。

例題：已知一維方勢壘的高度為，寬度為，粒子的能量為，求粒子貫穿勢壘的透射系數(shù)。

解析：在勢壘的不同區(qū)域分別求解薛定諤方程，得到波函數(shù)的表達式，然后根據(jù)波函數(shù)在邊界處的連續(xù)性條件，確定透射系數(shù)的表達式。一般情況下，透射系數(shù)與勢壘的高度、寬度以及粒子的能量等因素有關(guān)，其表達式較為復(fù)雜，需要通過一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出。