統(tǒng)計學知識點合集

試驗和事件：對某事物或現(xiàn)象所進行的觀察或?qū)嶒灲性囼灒�把結(jié)果叫事件。

基本事件（elementaryevent）：如果一個事件不能分解成兩個或更多個事件，就稱為基本事件。一次觀察只能有一個基本事件。

樣本空間：一個試驗中所有的基本事件的全體稱為樣本空間。

古典概型：如果某一隨機試驗的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則某一事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n的比值。

統(tǒng)計概型：在相同條件下隨機試驗n次，某事件A出現(xiàn)m次（m≤n），則m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動，且波動幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是該事件的概率。

概率加法：（1）兩個互斥事件：P（A+B）=P（A）+P（B）；任意兩隨機事件：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。

事件獨立（independent）：一個事件發(fā)生與否不會影響另一個事件發(fā)生的概率，公式為：P（AB）=P（A）P（B）。互斥（相依賴）一定不獨立，不獨立不一定互斥（相依賴）。

全概率公式：根據(jù)某一事件發(fā)生的各種原因的概率，計算該事件的概率。計算公式為：。

貝葉斯公式：在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因。計算公式為：

，分母就是全概率公式。也稱為逆概率公式。該公式是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每個原因Ai的概率。P(Ai)稱為驗前概率，P(Ai |B)是驗后概率。

0-1分布：。0-1分布也稱為兩點分布，即非A即B。關(guān)于是否的概率統(tǒng)統(tǒng)是0-1分布。性別。

二項分布：現(xiàn)實生活中，許多事件只是具有兩種互斥結(jié)果的離散變量。如男性和女性、某種化驗結(jié)果的陰性陽性，這就是二項分布。。參數(shù)為n，p，記為X~B(n，p)。E(X)=np，D(X)=npq。當成功的概率很小，而試驗次數(shù)很大時，二項分布接近泊松分布，此時=np。即P≤0.25，n＞20，np≤5。二項定理近似服從正態(tài)分布。二項分布是0-1分布的n重實驗，表示含量為n的樣本中，有X個所需結(jié)果的概率。

二項分布的正態(tài)近似：

，其中a=，b=，q=1-p。

超幾何分布：。即二項分布中，無放回的情況。

泊松分布（poissondistribution）：用來描述在一指定時間范圍內(nèi)或在指定的面積之內(nèi)某事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布。如某企業(yè)中每月發(fā)生的事故次數(shù)、單位時間內(nèi)到達某一服務柜臺需要服務的顧客人數(shù)、人壽保險公司每天收到的死亡聲明個數(shù)、某種儀器每月出現(xiàn)故障的次數(shù)等。公式為：，E(X)=，D(X)=。是給定時間間隔內(nèi)事件的平均數(shù)。

期望：各可能值xi與其對應概率pi的乘積之和為該隨機變量X的期望，即。

概率密度滿足的條件：（1）f(x)≥0；（2）。連續(xù)型隨機變量的概率密度是其分布函數(shù)的倒數(shù)。。；

。

正態(tài)分布（normaldistribution）：正態(tài)分布的概率密度為：，x∈R。記作X~()。

正態(tài)分布圖形特點：（1）f(x)≥0，即整個概率密度曲線都在x軸上方；（2）f(x)相對于x= 對稱，并在x=處取到最大值，最大值為；（3）曲線的陡緩由σ決定，σ越大，越平緩，σ越小，曲線越陡峭；（4）當x趨于無窮時，曲線以x軸為漸近線。

正態(tài)分布的例子：某地區(qū)同年齡組兒童的發(fā)育特征、某公司的銷售量、同一條件下產(chǎn)品的質(zhì)量以平均質(zhì)量為中心上下擺動、特別差和特別好的都是少數(shù)，多數(shù)在中間狀態(tài)，如人群中的高個子和矮個子都是少數(shù)，中等身材居多等。

標準正態(tài)分布，即在正態(tài)分布中，=0，σ=1，有，即X~N（0,1）。用表示分布函數(shù)，表示概率密度。(-x)=1-(x)。

方差：即每個隨機變量取值與期望值的離差平方的期望值。隨機變量的方差計算公式為：。

標準差：隨機變量的方差的平方根為標準差，記。標準差與隨機變量X有相同的度量單位。

期望、標準差、離散系數(shù)的使用：如果期望相同，那么比較標準差；如果期望不同，那么比較離散系數(shù)。

3σ準則：由標準正態(tài)分布得：當X~N（0,1）時，P(|X|≤1)=2(1)-1=0.6826；P(|X|≤2)=2(2)-1=0.9545；P(|X|≤3)=2(3)-1=0.9973.這說明X的取值幾乎全部集中在[-3,3]之間，超出這個范圍的不到0.3%。將結(jié)論推廣到一般正態(tài)，即X~N（,σ）時，有P(|X-|≤σ) =0.6826；P(|X-|≤2σ) =0.9545；P(|X-|≤3σ) =0.9973。可以認為X的值一定落在(-3σ, +3σ)內(nèi)。

矩：（1）為樣本k階矩，其反映出總體k階矩的信息，當k=1時，即均值；（2）為樣本k階中心矩，它反映出總體k階中心矩的信息，當k=2時，即方差；（3）為樣本偏度，它反映總體偏度的信息，偏度反映了隨機變量密度函數(shù)曲線在眾數(shù)兩邊的對稱偏斜性；

(4)為樣本峰度，它反映出總體峰度的信息，峰度反映密度函數(shù)曲線在眾數(shù)附近的峰的尖峭程度。

充分統(tǒng)計量：統(tǒng)計量加工過程中一點信息都不損失的統(tǒng)計量稱為充分統(tǒng)計量。

因子分解定理：充分統(tǒng)計量判定方法。當X=（X1，X2，…,Xn）是來自正態(tài)分布N（，σ2）的一個樣本時，若已知，則是σ2的充分統(tǒng)計量，若σ2已知，則是的充分統(tǒng)計量。

精確抽樣分布和漸近分布：在總體X的分布類型已知時，若對任一自然數(shù)n，都能導出統(tǒng)計量T=(X1,X2,…,Xn)的分布數(shù)學表達式，這種分布就是精確抽樣分布，包括卡方、F，t分布；當n較大時，用極限分布作為抽樣分布的一種近似，這種極限分布稱為漸近分布，如中心極限定理。

卡方分布：設(shè)隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，且Xi服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則它們的平方和服從自由度為n的分布。E()=n；D()=2n；具有可加性；當自由度增加到足夠大時，分布的概率密度曲線趨于對稱，當n趨于無窮時，的極限分布是正態(tài)分布。

t分布：也稱為學生氏分布。設(shè)隨機變量X~N（0,1），Y~(n)，且X與Y獨立，則，其分布稱為t分布，記為t(n)，n是自由度。t分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)。當n≥2時，E(t)=0,；當n≥3時，D(t)=n/(n-2)。t(n)的方差比N(0,1)大一些。自由度為1的分布稱為柯西分布，隨著n增加，t分布的密度函數(shù)越來越接近標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。實際應用中，當n≥30時，t分布于標準正態(tài)分布很接近。另有一個關(guān)于t分布的抽樣分布：，稱為服從自由度為(n-1)的t分布。

F分布：設(shè)隨機變量Y與Z獨立，且Y和Z分別服從自由度為m和n的分布，隨機變量X如下：。則成X服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布，記為X~F(m,n)。E(X)=n/(n-2),n>2；D(X)=,n>4。

t分布與F分布的關(guān)系：如果隨機變量X服從t(n)分布，則X2服從F(1,n)的F分布。這在回歸系數(shù)顯著性檢驗中有用。

的抽樣分布（samplingdistribution）：當總體分布為正態(tài)分布時，的抽樣分布仍然是正態(tài)分布，此時E()=，D()=σ2/n，則。其說明當用樣本均值去估計總體均值時，平均來說沒有偏差（無偏性）；當n越來越大時，的散布程度越來越小，即用估計越來越準確。

中心極限定理（centrallimit theorem）：不管總體的分布是什么，只要總體的方差σ2有限且要求n≥30，此時樣本均值的分布總是近似正態(tài)分布，即~N(，σ2/n)。

樣本比例的抽樣分布：如果在樣本大小為n的樣本中具有某一特征的個體數(shù)為X，則樣本比例為：。π是總體比例，即p^=X/n=π。

兩個樣本均值之差的分布：若為兩個總體，則：

；

；若是兩個樣本，則：

；

。

樣本方差的分布：設(shè)X1，X2，…，Xn為來自正態(tài)分布的樣本，則設(shè)總體分布為N(,σ2)，則樣本方差S2的分布為：。

兩個樣本方差比的分布：設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)分布的樣本，y1，y2，…，yn也是來自正態(tài)分布的樣本，且Xi與yi獨立，則

。

參數(shù)估計（parameterestimation）：用樣本統(tǒng)計量去估計總體的參數(shù)。

點估計（pointestimate）：用樣本統(tǒng)計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值。

區(qū)間估計（intervalestimate）：是在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的而一個區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差得到。

置信區(qū)間（confidenceinterval）：在區(qū)間估計中，由樣本統(tǒng)計量所造成的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間。

置信水平（confidencelevel）：如果將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復多次，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例為置信水平，也稱為置信度或置信系數(shù)。其含義為：如果做了100次抽樣，大概有95次找到的區(qū)間包含真值，而不是95%的可能落在區(qū)間，因為統(tǒng)計量不涉及概率問題。

無偏性（inbiasedenss）：指估計量抽樣分布的期望等于被估計的總體參數(shù)。設(shè)總體參數(shù)為θ，估計量為θ^，如果E(θ^)=θ，則稱θ^為θ的無偏估計量。

有效性（efficiency）：指對同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小標準差的估計量更有效。

一致性（consistency）：指隨著樣本量的增大，點估計量的值越來越接近被估總體的參數(shù)，換個說法，一個大樣本給出的估計量要比一個小樣本給出的估計量更接近總體參數(shù)。

樣本量與置信水平、總體方差和估計誤差的關(guān)系：樣本量與置信水平成正比，在其他條件不變的情況下，置信水平越大，所需的樣本量也就越大；樣本量與總體方差成正比，總體的差異越大，所要求的樣本量也越大；樣本量與估計誤差的平方成反比，即可接受的估計誤差的平方越大，所需的樣本量就越小。

圓整法則：將樣本量取成較大的整數(shù)，也就是將小數(shù)點后面的數(shù)值一律進位成整數(shù)。

兩類錯誤：一類是原假設(shè)H0為真卻拒絕，這類錯誤用α表示，稱為棄真；另一類是原假設(shè)為偽而我們卻接受，這種錯誤用β表示，也稱存?zhèn)巍?/p>

兩類錯誤的控制原則：如果減小α錯誤，就會增大犯β錯誤的機會；若減小β錯誤，也會增大犯α錯誤的機會。規(guī)則是：首先控制α錯誤，這是因為原假設(shè)是什么常常是明確的，而備擇假設(shè)是什么則常常是模糊的。

P值：P值是當原假設(shè)為真時所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率。P值越小，拒絕原假設(shè)的理由就越充分。P值的長處是它反映了觀察到的實際數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致的概率值。

雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗：雙側(cè)檢驗主要是檢驗是否相等，如90年的嬰兒體重與89年嬰兒體重是否相等；另一種是單側(cè)檢驗，即關(guān)心的假設(shè)問題帶有方向性，如燈泡的使用壽命，汽車行駛距離等；另一種是數(shù)值越小越好，如廢品率、生產(chǎn)成本等。

統(tǒng)計量的選擇：在一個總體參數(shù)的檢驗中，主要統(tǒng)計量有三個，z、t和。z和t用于均值和比例檢驗，用于方差檢驗。統(tǒng)計量選擇步驟如下：（1）是否是大樣本，如果是，那么如果總體呈正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計量也呈正態(tài)分布；如果總體不呈正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計量漸進服從正態(tài)分布；此時可以使用z統(tǒng)計量（2）如果是小樣本，那么觀察σ，如果σ已知，樣本統(tǒng)計量將服從正態(tài)分布，此時可以用z統(tǒng)計量（3）如果未知σ，則只能使用樣本標準差，樣本統(tǒng)計量服從t分布，應采用t統(tǒng)計量。t統(tǒng)計量的精度不如z統(tǒng)計量，這是總體信息σ未知所需要付出的代價。

總體比例檢驗公式：。P為樣本比例，π0是總體比例π的假設(shè)值。

總體（population）：包含所研究的全部個體的集合，組成總體的每一個元素稱為個體。當總體的范圍難以確定時，可根據(jù)研究的目的來定義總體。

樣本（sample）：樣本是從總體中抽取的一部分元素的集合，構(gòu)成樣本的元素的數(shù)目稱為樣本量。

參數(shù)（parameter）：參數(shù)是用來描述總體特征的概括性數(shù)字度量。

統(tǒng)計量（statistic）：統(tǒng)計量是用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量。抽樣的目的就是根據(jù)樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)。統(tǒng)計量中不能包含未知參數(shù)。

變量（variable）：說明現(xiàn)象某種特征的概念，特點是從一次觀察到下一次觀察結(jié)果會呈現(xiàn)出差別或變化。變量分為分類變量、順序變量、數(shù)值型變量，數(shù)值型變量又分為離散型變量和連續(xù)型變量。

概率抽樣（probabilitysampling）：也稱隨機抽樣，指遵循隨機原則進行的抽樣，總體中每個單位都有一定的機會被選入樣本。概率抽樣分為簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣和多階段抽樣。

簡單隨機抽樣（simplerandom sampling）：從包括總體N個單位的抽樣框中隨機的一個一個的抽取n個單位作為樣本，每個單位的入樣概率是相等的。

非概率抽樣（non- simplerandom sampling）：指抽取樣本時不依據(jù)隨機原則，而是根據(jù)研究目的對數(shù)據(jù)的要求，采用某種方式從總體中抽出部分單位對其實施調(diào)查。包括方便抽樣、判斷抽樣、自愿樣本、滾雪球抽樣和配額抽樣。

抽樣誤差（samplingerror）：指由于抽樣的隨機性引起的樣本結(jié)果與總體真值之間的誤差。

頻數(shù)（frequency）：是落在某一特定類別或組中的數(shù)據(jù)個數(shù)。把各個類別及落在其中的相應頻數(shù)全部列出，并用表格形式表現(xiàn)出來，稱為頻數(shù)分布。

列聯(lián)表（contingencytable）和交叉表（cross table）：由兩個或兩個以上變量交叉分類的頻數(shù)分布表稱為列聯(lián)表。二維的列聯(lián)表又稱為交叉表。

帕累托圖（paretochart）：按各類別數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)多少排序后繪制的條形圖。通過對條形圖排序，容易看出哪類數(shù)據(jù)出現(xiàn)得多，哪類數(shù)據(jù)出現(xiàn)的少。

餅圖（pie chart）：是用圓形及圓內(nèi)扇形的角度來表示數(shù)值大小的圖形，它主要用于表示一個樣本中各組成部分的數(shù)據(jù)站全部數(shù)據(jù)的比例，對于研究結(jié)構(gòu)性問題十分有用。

環(huán)形圖（doughnutchart）：把餅圖疊在一起，挖去中間部分就是環(huán)形圖。環(huán)形圖可顯示多個樣本部分所占的相應比例，從而有利于構(gòu)成的比較研究。

累積頻數(shù)（cumulativefrequencies）：將各種有序類別或組的頻數(shù)逐級累加起來得到的頻數(shù)，通過累積頻數(shù)可以很容易看出某一類別以下或某一類別以上的頻數(shù)之和。

組中值（classmidpoint）：是每一組中下限值與上限值中間的值，組中值可以作為該組數(shù)據(jù)的一個代表值，但是用組中值有一個必要的假定條件，即各組數(shù)據(jù)在本組內(nèi)呈均勻分布或在組中值兩側(cè)呈對稱分布，否則會產(chǎn)生誤差。

直方圖（histogram）：適用于展示分組數(shù)據(jù)分布的圖形，用于大批量數(shù)據(jù)的分析。

莖葉圖（stem-and-leafdisplay）：反映原始數(shù)據(jù)分布的圖形，由莖葉兩部分組成，其圖形是由數(shù)字組成的。可以看出數(shù)據(jù)的分布形狀及數(shù)據(jù)的離散情況且能保留原始信息，適用于小數(shù)據(jù)。

箱線圖（box-plot）：由最大值、最小值、中位數(shù)、兩個四分位數(shù)組成，主要用于反應原始數(shù)據(jù)分布的特征，還可以進行多組數(shù)據(jù)分布特征的比較。

線圖（line plot）：主要用于反應現(xiàn)象隨時間變化的特征。

散點圖（scatterdiagram）：用二維坐標展示兩個變量之間關(guān)系的圖形。

氣泡圖（bubble chart）：可用于展示三個變量之間的關(guān)系。一個變量是橫軸、一個變量是縱軸、一個變量用氣泡大小表示。

雷達圖（radar chart）：也稱蜘蛛圖。設(shè)有n組樣本S1，S2…Sn，每個樣本測得P個變量X1，X2…XP，要繪制這P個變量的雷達圖，具體做法是，先畫一個圓，然后將圓P等分，得到P個點，令這P個點分別對應P個變量，再將這P個點與圓心連線，得到P個輻射狀的半徑，這P個半徑分別作為P個變量的坐標軸，每個變量值的大小由半徑上的點到圓心的距離表示，再將同一樣本的值在P個坐標上的點連線。這樣，n個樣本構(gòu)成的n個多邊形就是雷達圖。雷達圖在顯示或?qū)Ρ雀髯兞康臄?shù)值總和時十分有用，假定各變量的取值具有相同的正負號，則總的絕對值與圖形所圍成的區(qū)域成正比。此外，利用雷達圖可以研究多個樣本之間的相似度。

眾數(shù)（mode）：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示。主要用于測度分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)、數(shù)值數(shù)據(jù)的集中趨勢，不受極端值影響，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點所對應的數(shù)值即為眾數(shù)。只有在數(shù)據(jù)量較大時，眾數(shù)才有意義。

中位數(shù)（median）：中位數(shù)時一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值，用表示。中位數(shù)主要用于測度順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于分類數(shù)據(jù)。中位數(shù)位置為：（n+1）/2；中位數(shù)的值為。中位數(shù)是一個位置代表值，其特點是不受極端值影響，在研究收入分配時很有用。

平均數(shù)也稱為均值（mean），是集中趨勢的最主要測度值，主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。平均數(shù)分為簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，簡單平均數(shù)（simple mean）的計算公式為：。根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算的平均數(shù)稱為加權(quán)平均數(shù)（weighted mean）。設(shè)原始數(shù)據(jù)被分為k組，各組的組中值分別用表示，各組變量值出現(xiàn)的品數(shù)分別用表示，則樣本加權(quán)平均數(shù)的計算公式為：，其中n=。平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的重心所在，是數(shù)據(jù)誤差相互抵消后作用的結(jié)果。

幾何平均數(shù)（geometricmean）：是n個變量值乘積的n次方根，用G表示，計算公式為：。幾何平均數(shù)主要用于計算平均率，當所掌握的變量值本身是比率的形式時，采用幾何平均法更合理。在實際中，幾何平均數(shù)主要用于計算現(xiàn)象的平均增長率。

異眾比率（variationratio）：指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例，用表示，計算公式為：。fm是眾數(shù)組的頻數(shù)，fi是變量值的總頻數(shù)。異眾比率主要用于衡量眾數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度。異眾比率越大，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大，眾數(shù)的代表性越差；異眾比率越小，非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越小，眾數(shù)的代表性越好。異眾比率可用于分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。

四分位差（quartiledeviation）：也稱為內(nèi)距或四分間距（inter-quartilerange）：是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，用表示，計算公式為：。四分位差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，其數(shù)值越小，中間的數(shù)越集中；數(shù)值越大，中間的數(shù)越分散。四分位數(shù)不受極值影響。可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)。

極差（range）：也稱為全距，用R表示，指一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差。計算公式為：。極差容易受極端值影響。

平均差（meandeviation）：也稱為平均絕對離差（meanabsolute deviation）：是各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)。用表示。平均差以平均數(shù)為中心，反應了每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平均差異程度，能全面反應一組數(shù)據(jù)的平均差異程度，但由于為避免出現(xiàn)0而取絕對值，所以實際中應用較少。

根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算平均差的公式為：；

根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算平均差的公式為：。

方差（variance）與標準差（standard variance）：方差是各變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)。方差的平方根是標準差。設(shè)樣本方差為，根據(jù)分組和未分組數(shù)據(jù)計算樣本方差的公式為：，其中n-1是自由度。標準差更具有實際意義。

自由度（degree offreedom）：自由度指附加各獨立的觀測值的約束或限制的個數(shù)。當樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n時，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給n個觀測值的約束個數(shù)是1個，因此只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值。例如，假定樣本有3個數(shù)，2,4,9，則=5，那么如果前兩個值取5和8，則第三個數(shù)必須取2才能使=5，所以有一個數(shù)是不能自由取值的，所以自由度是n-1。

標準分數(shù)（standardscore）：是變量值與其平均數(shù)的離差除以標準差后的值，也稱為標準化值或z分數(shù)，計算公式為：。標準分數(shù)給出了一組數(shù)據(jù)中各數(shù)值的相對位置。比如，如果某個數(shù)值的標準分數(shù)為-1.5，就知道該數(shù)值低于平均數(shù)1.5倍的標準差。標準分數(shù)具有均值為0，標準差為1的特性，實際上z分數(shù)只是對數(shù)據(jù)進行了線性轉(zhuǎn)換。用于數(shù)據(jù)標準化和檢測離散數(shù)據(jù)。

經(jīng)驗法估計數(shù)據(jù)的相對位置：當一組數(shù)據(jù)對稱分布時，約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)±1個標準差內(nèi)；約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)±2個標準差內(nèi)；約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)±3個標準差內(nèi)。三個標準差之外的數(shù)據(jù)稱為離群點。

切比雪夫不等式（Chebyshev’sinequality）：經(jīng)驗法只適合對稱分布數(shù)據(jù)，而切比雪夫不等式適用于任何分布的數(shù)據(jù)，但只給了下界，即所占比例至少是多少。切比雪夫不等式公式為：。根據(jù)該公式可知，至少有（1-1/2）個數(shù)據(jù)落在k個標準差之內(nèi)，對于k=2，該不等式的含義是，至少有75%的數(shù)據(jù)落在±2個標準差之內(nèi)。

離散系數(shù)：也稱為變異系數(shù)（coefficientof variation），是一組數(shù)據(jù)的標準差與其相應的平均數(shù)之比，計算公式為：。離散系數(shù)是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對統(tǒng)計量，主要是用于比較不同樣本數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大。離散系數(shù)是比較平均水平不同或計量單位不同的不同組別的變量值的離散程度。

離散測度總結(jié)：分類數(shù)據(jù)主要用異眾比率來測度離散程度；順序數(shù)據(jù)主要用四分位數(shù)來測度離散程度；數(shù)值數(shù)據(jù)主要用方差和標準差測度離散程度；而對于不同的樣本數(shù)據(jù)，用離散系數(shù)比較離散程度。

偏態(tài)（skewness）：偏態(tài)是對數(shù)據(jù)分布對稱性的測度。測度偏態(tài)的統(tǒng)計量是偏態(tài)系數(shù)（coefficient of skewness），記作SK。根據(jù)未分組和分組的原始數(shù)據(jù)計算偏態(tài)系數(shù)的公式為：。如果一組數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則偏態(tài)系數(shù)等于0，表明分布是對稱的，若偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，則稱為高度偏態(tài)分布；若偏態(tài)系數(shù)在0.5~1或-1~-0.5，則是中等偏態(tài)分布。根據(jù)分組的SK公式中，很明顯是將離差的三次方的平均數(shù)除以，是將偏態(tài)系數(shù)轉(zhuǎn)化為相對數(shù)。