統(tǒng)計(jì)學(xué)知識點(diǎn)合集

試驗(yàn)和事件：對某事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)叫試驗(yàn)，把結(jié)果叫事件。

基本事件（elementaryevent）：如果一個事件不能分解成兩個或更多個事件，就稱為基本事件。一次觀察只能有一個基本事件。

樣本空間：一個試驗(yàn)中所有的基本事件的全體稱為樣本空間。

古典概型：如果某一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果有限，而且各個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則某一事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數(shù)m與樣本空間中所包含的基本事件個數(shù)n的比值。

統(tǒng)計(jì)概型：在相同條件下隨機(jī)試驗(yàn)n次，某事件A出現(xiàn)m次（m≤n），則m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n增大，該頻率圍繞某一常數(shù)p上下波動，且波動幅度逐漸減小，趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是該事件的概率。

概率加法：（1）兩個互斥事件：P（A+B）=P（A）+P（B）；任意兩隨機(jī)事件：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。

事件獨(dú)立（independent）：一個事件發(fā)生與否不會影響另一個事件發(fā)生的概率，公式為：P（AB）=P（A）P（B）。互斥（相依賴）一定不獨(dú)立，不獨(dú)立不一定互斥（相依賴）。

全概率公式：根據(jù)某一事件發(fā)生的各種原因的概率，計(jì)算該事件的概率。計(jì)算公式為：。

貝葉斯公式：在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因。計(jì)算公式為：

，分母就是全概率公式。也稱為逆概率公式。該公式是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因Ai的概率。P(Ai)稱為驗(yàn)前概率，P(Ai |B)是驗(yàn)后概率。

0-1分布：。0-1分布也稱為兩點(diǎn)分布，即非A即B。關(guān)于是否的概率統(tǒng)統(tǒng)是0-1分布。性別。

二項(xiàng)分布：現(xiàn)實(shí)生活中，許多事件只是具有兩種互斥結(jié)果的離散變量。如男性和女性、某種化驗(yàn)結(jié)果的陰性陽性，這就是二項(xiàng)分布。。參數(shù)為n，p，記為X~B(n，p)。E(X)=np，D(X)=npq。當(dāng)成功的概率很小，而試驗(yàn)次數(shù)很大時，二項(xiàng)分布接近泊松分布，此時=np。即P≤0.25，n＞20，np≤5。二項(xiàng)定理近似服從正態(tài)分布。二項(xiàng)分布是0-1分布的n重實(shí)驗(yàn)，表示含量為n的樣本中，有X個所需結(jié)果的概率。

二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：

，其中a=，b=，q=1-p。

超幾何分布：。即二項(xiàng)分布中，無放回的情況。

泊松分布（poissondistribution）：用來描述在一指定時間范圍內(nèi)或在指定的面積之內(nèi)某事件出現(xiàn)的次數(shù)的分布。如某企業(yè)中每月發(fā)生的事故次數(shù)、單位時間內(nèi)到達(dá)某一服務(wù)柜臺需要服務(wù)的顧客人數(shù)、人壽保險公司每天收到的死亡聲明個數(shù)、某種儀器每月出現(xiàn)故障的次數(shù)等。公式為：，E(X)=，D(X)=。是給定時間間隔內(nèi)事件的平均數(shù)。

期望：各可能值xi與其對應(yīng)概率pi的乘積之和為該隨機(jī)變量X的期望，即。

概率密度滿足的條件：（1）f(x)≥0；（2）。連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度是其分布函數(shù)的倒數(shù)。。；

。

正態(tài)分布（normaldistribution）：正態(tài)分布的概率密度為：，x∈R。記作X~()。

正態(tài)分布圖形特點(diǎn)：（1）f(x)≥0，即整個概率密度曲線都在x軸上方；（2）f(x)相對于x= 對稱，并在x=處取到最大值，最大值為；（3）曲線的陡緩由σ決定，σ越大，越平緩，σ越小，曲線越陡峭；（4）當(dāng)x趨于無窮時，曲線以x軸為漸近線。

正態(tài)分布的例子：某地區(qū)同年齡組兒童的發(fā)育特征、某公司的銷售量、同一條件下產(chǎn)品的質(zhì)量以平均質(zhì)量為中心上下擺動、特別差和特別好的都是少數(shù)，多數(shù)在中間狀態(tài)，如人群中的高個子和矮個子都是少數(shù)，中等身材居多等。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即在正態(tài)分布中，=0，σ=1，有，即X~N（0,1）。用表示分布函數(shù)，表示概率密度。(-x)=1-(x)。

方差：即每個隨機(jī)變量取值與期望值的離差平方的期望值。隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式為：。

標(biāo)準(zhǔn)差：隨機(jī)變量的方差的平方根為標(biāo)準(zhǔn)差，記。標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量X有相同的度量單位。

期望、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)的使用：如果期望相同，那么比較標(biāo)準(zhǔn)差；如果期望不同，那么比較離散系數(shù)。

3σ準(zhǔn)則：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得：當(dāng)X~N（0,1）時，P(|X|≤1)=2(1)-1=0.6826；P(|X|≤2)=2(2)-1=0.9545；P(|X|≤3)=2(3)-1=0.9973.這說明X的取值幾乎全部集中在[-3,3]之間，超出這個范圍的不到0.3%。將結(jié)論推廣到一般正態(tài)，即X~N（,σ）時，有P(|X-|≤σ) =0.6826；P(|X-|≤2σ) =0.9545；P(|X-|≤3σ) =0.9973。可以認(rèn)為X的值一定落在(-3σ, +3σ)內(nèi)。

矩：（1）為樣本k階矩，其反映出總體k階矩的信息，當(dāng)k=1時，即均值；（2）為樣本k階中心矩，它反映出總體k階中心矩的信息，當(dāng)k=2時，即方差；（3）為樣本偏度，它反映總體偏度的信息，偏度反映了隨機(jī)變量密度函數(shù)曲線在眾數(shù)兩邊的對稱偏斜性；

(4)為樣本峰度，它反映出總體峰度的信息，峰度反映密度函數(shù)曲線在眾數(shù)附近的峰的尖峭程度。

充分統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量加工過程中一點(diǎn)信息都不損失的統(tǒng)計(jì)量稱為充分統(tǒng)計(jì)量。

因子分解定理：充分統(tǒng)計(jì)量判定方法。當(dāng)X=（X1，X2，…,Xn）是來自正態(tài)分布N（，σ2）的一個樣本時，若已知，則是σ2的充分統(tǒng)計(jì)量，若σ2已知，則是的充分統(tǒng)計(jì)量。

精確抽樣分布和漸近分布：在總體X的分布類型已知時，若對任一自然數(shù)n，都能導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量T=(X1,X2,…,Xn)的分布數(shù)學(xué)表達(dá)式，這種分布就是精確抽樣分布，包括卡方、F，t分布；當(dāng)n較大時，用極限分布作為抽樣分布的一種近似，這種極限分布稱為漸近分布，如中心極限定理。

卡方分布：設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且Xi服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，則它們的平方和服從自由度為n的分布。E()=n；D()=2n；具有可加性；當(dāng)自由度增加到足夠大時，分布的概率密度曲線趨于對稱，當(dāng)n趨于無窮時，的極限分布是正態(tài)分布。

t分布：也稱為學(xué)生氏分布。設(shè)隨機(jī)變量X~N（0,1），Y~(n)，且X與Y獨(dú)立，則，其分布稱為t分布，記為t(n)，n是自由度。t分布的密度函數(shù)是偶函數(shù)。當(dāng)n≥2時，E(t)=0,；當(dāng)n≥3時，D(t)=n/(n-2)。t(n)的方差比N(0,1)大一些。自由度為1的分布稱為柯西分布，隨著n增加，t分布的密度函數(shù)越來越接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)n≥30時，t分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布很接近。另有一個關(guān)于t分布的抽樣分布：，稱為服從自由度為(n-1)的t分布。

F分布：設(shè)隨機(jī)變量Y與Z獨(dú)立，且Y和Z分別服從自由度為m和n的分布，隨機(jī)變量X如下：。則成X服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布，記為X~F(m,n)。E(X)=n/(n-2),n>2；D(X)=,n>4。

t分布與F分布的關(guān)系：如果隨機(jī)變量X服從t(n)分布，則X2服從F(1,n)的F分布。這在回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)中有用。

的抽樣分布（samplingdistribution）：當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時，的抽樣分布仍然是正態(tài)分布，此時E()=，D()=σ2/n，則。其說明當(dāng)用樣本均值去估計(jì)總體均值時，平均來說沒有偏差（無偏性）；當(dāng)n越來越大時，的散布程度越來越小，即用估計(jì)越來越準(zhǔn)確。

中心極限定理（centrallimit theorem）：不管總體的分布是什么，只要總體的方差σ2有限且要求n≥30，此時樣本均值的分布總是近似正態(tài)分布，即~N(，σ2/n)。

樣本比例的抽樣分布：如果在樣本大小為n的樣本中具有某一特征的個體數(shù)為X，則樣本比例為：。π是總體比例，即p^=X/n=π。

兩個樣本均值之差的分布：若為兩個總體，則：

；

；若是兩個樣本，則：

；

。

樣本方差的分布：設(shè)X1，X2，…，Xn為來自正態(tài)分布的樣本，則設(shè)總體分布為N(,σ2)，則樣本方差S2的分布為：。

兩個樣本方差比的分布：設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)分布的樣本，y1，y2，…，yn也是來自正態(tài)分布的樣本，且Xi與yi獨(dú)立，則

。

參數(shù)估計(jì)（parameterestimation）：用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)。

點(diǎn)估計(jì)（pointestimate）：用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。

區(qū)間估計(jì)（intervalestimate）：是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的而一個區(qū)間范圍，該區(qū)間通常由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差得到。

置信區(qū)間（confidenceinterval）：在區(qū)間估計(jì)中，由樣本統(tǒng)計(jì)量所造成的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間。

置信水平（confidencelevel）：如果將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)多次，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例為置信水平，也稱為置信度或置信系數(shù)。其含義為：如果做了100次抽樣，大概有95次找到的區(qū)間包含真值，而不是95%的可能落在區(qū)間，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量不涉及概率問題。

無偏性（inbiasedenss）：指估計(jì)量抽樣分布的期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)。設(shè)總體參數(shù)為θ，估計(jì)量為θ^，如果E(θ^)=θ，則稱θ^為θ的無偏估計(jì)量。

有效性（efficiency）：指對同一總體參數(shù)的兩個無偏估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效。

一致性（consistency）：指隨著樣本量的增大，點(diǎn)估計(jì)量的值越來越接近被估總體的參數(shù)，換個說法，一個大樣本給出的估計(jì)量要比一個小樣本給出的估計(jì)量更接近總體參數(shù)。

樣本量與置信水平、總體方差和估計(jì)誤差的關(guān)系：樣本量與置信水平成正比，在其他條件不變的情況下，置信水平越大，所需的樣本量也就越大；樣本量與總體方差成正比，總體的差異越大，所要求的樣本量也越大；樣本量與估計(jì)誤差的平方成反比，即可接受的估計(jì)誤差的平方越大，所需的樣本量就越小。

圓整法則：將樣本量取成較大的整數(shù)，也就是將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值一律進(jìn)位成整數(shù)。

兩類錯誤：一類是原假設(shè)H0為真卻拒絕，這類錯誤用α表示，稱為棄真；另一類是原假設(shè)為偽而我們卻接受，這種錯誤用β表示，也稱存?zhèn)巍?/p>

兩類錯誤的控制原則：如果減小α錯誤，就會增大犯β錯誤的機(jī)會；若減小β錯誤，也會增大犯α錯誤的機(jī)會。規(guī)則是：首先控制α錯誤，這是因?yàn)樵�假設(shè)是什么常常是明確的，而備擇假設(shè)是什么則常常是模糊的。

P值：P值是當(dāng)原假設(shè)為真時所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率。P值越小，拒絕原假設(shè)的理由就越充分。P值的長處是它反映了觀察到的實(shí)際數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致的概率值。

雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)：雙側(cè)檢驗(yàn)主要是檢驗(yàn)是否相等，如90年的嬰兒體重與89年嬰兒體重是否相等；另一種是單側(cè)檢驗(yàn)，即關(guān)心的假設(shè)問題帶有方向性，如燈泡的使用壽命，汽車行駛距離等；另一種是數(shù)值越小越好，如廢品率、生產(chǎn)成本等。

統(tǒng)計(jì)量的選擇：在一個總體參數(shù)的檢驗(yàn)中，主要統(tǒng)計(jì)量有三個，z、t和。z和t用于均值和比例檢驗(yàn)，用于方差檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)量選擇步驟如下：（1）是否是大樣本，如果是，那么如果總體呈正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計(jì)量也呈正態(tài)分布；如果總體不呈正態(tài)分布，樣本統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從正態(tài)分布；此時可以使用z統(tǒng)計(jì)量（2）如果是小樣本，那么觀察σ，如果σ已知，樣本統(tǒng)計(jì)量將服從正態(tài)分布，此時可以用z統(tǒng)計(jì)量（3）如果未知σ，則只能使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本統(tǒng)計(jì)量服從t分布，應(yīng)采用t統(tǒng)計(jì)量。t統(tǒng)計(jì)量的精度不如z統(tǒng)計(jì)量，這是總體信息σ未知所需要付出的代價。

總體比例檢驗(yàn)公式：。P為樣本比例，π0是總體比例π的假設(shè)值。

總體（population）：包含所研究的全部個體的集合，組成總體的每一個元素稱為個體。當(dāng)總體的范圍難以確定時，可根據(jù)研究的目的來定義總體。

樣本（sample）：樣本是從總體中抽取的一部分元素的集合，構(gòu)成樣本的元素的數(shù)目稱為樣本量。

參數(shù)（parameter）：參數(shù)是用來描述總體特征的概括性數(shù)字度量。

統(tǒng)計(jì)量（statistic）：統(tǒng)計(jì)量是用來描述樣本特征的概括性數(shù)字度量。抽樣的目的就是根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量中不能包含未知參數(shù)。

變量（variable）：說明現(xiàn)象某種特征的概念，特點(diǎn)是從一次觀察到下一次觀察結(jié)果會呈現(xiàn)出差別或變化。變量分為分類變量、順序變量、數(shù)值型變量，數(shù)值型變量又分為離散型變量和連續(xù)型變量。

概率抽樣（probabilitysampling）：也稱隨機(jī)抽樣，指遵循隨機(jī)原則進(jìn)行的抽樣，總體中每個單位都有一定的機(jī)會被選入樣本。概率抽樣分為簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣和多階段抽樣。

簡單隨機(jī)抽樣（simplerandom sampling）：從包括總體N個單位的抽樣框中隨機(jī)的一個一個的抽取n個單位作為樣本，每個單位的入樣概率是相等的。

非概率抽樣（non- simplerandom sampling）：指抽取樣本時不依據(jù)隨機(jī)原則，而是根據(jù)研究目的對數(shù)據(jù)的要求，采用某種方式從總體中抽出部分單位對其實(shí)施調(diào)查。包括方便抽樣、判斷抽樣、自愿樣本、滾雪球抽樣和配額抽樣。

抽樣誤差（samplingerror）：指由于抽樣的隨機(jī)性引起的樣本結(jié)果與總體真值之間的誤差。

頻數(shù)（frequency）：是落在某一特定類別或組中的數(shù)據(jù)個數(shù)。把各個類別及落在其中的相應(yīng)頻數(shù)全部列出，并用表格形式表現(xiàn)出來，稱為頻數(shù)分布。

列聯(lián)表（contingencytable）和交叉表（cross table）：由兩個或兩個以上變量交叉分類的頻數(shù)分布表稱為列聯(lián)表。二維的列聯(lián)表又稱為交叉表。

帕累托圖（paretochart）：按各類別數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)多少排序后繪制的條形圖。通過對條形圖排序，容易看出哪類數(shù)據(jù)出現(xiàn)得多，哪類數(shù)據(jù)出現(xiàn)的少。

餅圖（pie chart）：是用圓形及圓內(nèi)扇形的角度來表示數(shù)值大小的圖形，它主要用于表示一個樣本中各組成部分的數(shù)據(jù)站全部數(shù)據(jù)的比例，對于研究結(jié)構(gòu)性問題十分有用。

環(huán)形圖（doughnutchart）：把餅圖疊在一起，挖去中間部分就是環(huán)形圖。環(huán)形圖可顯示多個樣本部分所占的相應(yīng)比例，從而有利于構(gòu)成的比較研究。

累積頻數(shù)（cumulativefrequencies）：將各種有序類別或組的頻數(shù)逐級累加起來得到的頻數(shù)，通過累積頻數(shù)可以很容易看出某一類別以下或某一類別以上的頻數(shù)之和。

組中值（classmidpoint）：是每一組中下限值與上限值中間的值，組中值可以作為該組數(shù)據(jù)的一個代表值，但是用組中值有一個必要的假定條件，即各組數(shù)據(jù)在本組內(nèi)呈均勻分布或在組中值兩側(cè)呈對稱分布，否則會產(chǎn)生誤差。

直方圖（histogram）：適用于展示分組數(shù)據(jù)分布的圖形，用于大批量數(shù)據(jù)的分析。

莖葉圖（stem-and-leafdisplay）：反映原始數(shù)據(jù)分布的圖形，由莖葉兩部分組成，其圖形是由數(shù)字組成的。可以看出數(shù)據(jù)的分布形狀及數(shù)據(jù)的離散情況且能保留原始信息，適用于小數(shù)據(jù)。

箱線圖（box-plot）：由最大值、最小值、中位數(shù)、兩個四分位數(shù)組成，主要用于反應(yīng)原始數(shù)據(jù)分布的特征，還可以進(jìn)行多組數(shù)據(jù)分布特征的比較。

線圖（line plot）：主要用于反應(yīng)現(xiàn)象隨時間變化的特征。

散點(diǎn)圖（scatterdiagram）：用二維坐標(biāo)展示兩個變量之間關(guān)系的圖形。

氣泡圖（bubble chart）：可用于展示三個變量之間的關(guān)系。一個變量是橫軸、一個變量是縱軸、一個變量用氣泡大小表示。

雷達(dá)圖（radar chart）：也稱蜘蛛圖。設(shè)有n組樣本S1，S2…Sn，每個樣本測得P個變量X1，X2…XP，要繪制這P個變量的雷達(dá)圖，具體做法是，先畫一個圓，然后將圓P等分，得到P個點(diǎn)，令這P個點(diǎn)分別對應(yīng)P個變量，再將這P個點(diǎn)與圓心連線，得到P個輻射狀的半徑，這P個半徑分別作為P個變量的坐標(biāo)軸，每個變量值的大小由半徑上的點(diǎn)到圓心的距離表示，再將同一樣本的值在P個坐標(biāo)上的點(diǎn)連線。這樣，n個樣本構(gòu)成的n個多邊形就是雷達(dá)圖。雷達(dá)圖在顯示或?qū)Ρ雀髯兞康臄?shù)值總和時十分有用，假定各變量的取值具有相同的正負(fù)號，則總的絕對值與圖形所圍成的區(qū)域成正比。此外，利用雷達(dá)圖可以研究多個樣本之間的相似度。

眾數(shù)（mode）：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示。主要用于測度分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)、數(shù)值數(shù)據(jù)的集中趨勢，不受極端值影響，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)值即為眾數(shù)。只有在數(shù)據(jù)量較大時，眾數(shù)才有意義。

中位數(shù)（median）：中位數(shù)時一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置上的變量值，用表示。中位數(shù)主要用于測度順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于分類數(shù)據(jù)。中位數(shù)位置為：（n+1）/2；中位數(shù)的值為。中位數(shù)是一個位置代表值，其特點(diǎn)是不受極端值影響，在研究收入分配時很有用。

平均數(shù)也稱為均值（mean），是集中趨勢的最主要測度值，主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不適用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)。平均數(shù)分為簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)，簡單平均數(shù)（simple mean）的計(jì)算公式為：。根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算的平均數(shù)稱為加權(quán)平均數(shù)（weighted mean）。設(shè)原始數(shù)據(jù)被分為k組，各組的組中值分別用表示，各組變量值出現(xiàn)的品數(shù)分別用表示，則樣本加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式為：，其中n=。平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的重心所在，是數(shù)據(jù)誤差相互抵消后作用的結(jié)果。

幾何平均數(shù)（geometricmean）：是n個變量值乘積的n次方根，用G表示，計(jì)算公式為：。幾何平均數(shù)主要用于計(jì)算平均率，當(dāng)所掌握的變量值本身是比率的形式時，采用幾何平均法更合理。在實(shí)際中，幾何平均數(shù)主要用于計(jì)算現(xiàn)象的平均增長率。

異眾比率（variationratio）：指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例，用表示，計(jì)算公式為：。fm是眾數(shù)組的頻數(shù)，fi是變量值的總頻數(shù)。異眾比率主要用于衡量眾數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度。異眾比率越大，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大，眾數(shù)的代表性越差；異眾比率越小，非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越小，眾數(shù)的代表性越好。異眾比率可用于分類數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)。

四分位差（quartiledeviation）：也稱為內(nèi)距或四分間距（inter-quartilerange）：是上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，用表示，計(jì)算公式為：。四分位差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，其數(shù)值越小，中間的數(shù)越集中；數(shù)值越大，中間的數(shù)越分散。四分位數(shù)不受極值影響。可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)。

極差（range）：也稱為全距，用R表示，指一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差。計(jì)算公式為：。極差容易受極端值影響。

平均差（meandeviation）：也稱為平均絕對離差（meanabsolute deviation）：是各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)。用表示。平均差以平均數(shù)為中心，反應(yīng)了每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的平均差異程度，能全面反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均差異程度，但由于為避免出現(xiàn)0而取絕對值，所以實(shí)際中應(yīng)用較少。

根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均差的公式為：；

根據(jù)分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均差的公式為：。

方差（variance）與標(biāo)準(zhǔn)差（standard variance）：方差是各變量值與其平均數(shù)離差平方的平均數(shù)。方差的平方根是標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)樣本方差為，根據(jù)分組和未分組數(shù)據(jù)計(jì)算樣本方差的公式為：，其中n-1是自由度。標(biāo)準(zhǔn)差更具有實(shí)際意義。

自由度（degree offreedom）：自由度指附加各獨(dú)立的觀測值的約束或限制的個數(shù)。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n時，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給n個觀測值的約束個數(shù)是1個，因此只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值。例如，假定樣本有3個數(shù)，2,4,9，則=5，那么如果前兩個值取5和8，則第三個數(shù)必須取2才能使=5，所以有一個數(shù)是不能自由取值的，所以自由度是n-1。

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（standardscore）：是變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差后的值，也稱為標(biāo)準(zhǔn)化值或z分?jǐn)?shù)，計(jì)算公式為：。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)給出了一組數(shù)據(jù)中各數(shù)值的相對位置。比如，如果某個數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為-1.5，就知道該數(shù)值低于平均數(shù)1.5倍的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)具有均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的特性，實(shí)際上z分?jǐn)?shù)只是對數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性轉(zhuǎn)換。用于數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化和檢測離散數(shù)據(jù)。

經(jīng)驗(yàn)法估計(jì)數(shù)據(jù)的相對位置：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對稱分布時，約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)±1個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)；約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)±2個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)；約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)±3個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。三個標(biāo)準(zhǔn)差之外的數(shù)據(jù)稱為離群點(diǎn)。

切比雪夫不等式（Chebyshev’sinequality）：經(jīng)驗(yàn)法只適合對稱分布數(shù)據(jù)，而切比雪夫不等式適用于任何分布的數(shù)據(jù)，但只給了下界，即所占比例至少是多少。切比雪夫不等式公式為：。根據(jù)該公式可知，至少有（1-1/2）個數(shù)據(jù)落在k個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，對于k=2，該不等式的含義是，至少有75%的數(shù)據(jù)落在±2個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。

離散系數(shù)：也稱為變異系數(shù)（coefficientof variation），是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的平均數(shù)之比，計(jì)算公式為：。離散系數(shù)是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對統(tǒng)計(jì)量，主要是用于比較不同樣本數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大，說明數(shù)據(jù)的離散程度大。離散系數(shù)是比較平均水平不同或計(jì)量單位不同的不同組別的變量值的離散程度。

離散測度總結(jié)：分類數(shù)據(jù)主要用異眾比率來測度離散程度；順序數(shù)據(jù)主要用四分位數(shù)來測度離散程度；數(shù)值數(shù)據(jù)主要用方差和標(biāo)準(zhǔn)差測度離散程度；而對于不同的樣本數(shù)據(jù)，用離散系數(shù)比較離散程度。

偏態(tài)（skewness）：偏態(tài)是對數(shù)據(jù)分布對稱性的測度。測度偏態(tài)的統(tǒng)計(jì)量是偏態(tài)系數(shù)（coefficient of skewness），記作SK。根據(jù)未分組和分組的原始數(shù)據(jù)計(jì)算偏態(tài)系數(shù)的公式為：。如果一組數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則偏態(tài)系數(shù)等于0，表明分布是對稱的，若偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，則稱為高度偏態(tài)分布；若偏態(tài)系數(shù)在0.5~1或-1~-0.5，則是中等偏態(tài)分布。根據(jù)分組的SK公式中，很明顯是將離差的三次方的平均數(shù)除以，是將偏態(tài)系數(shù)轉(zhuǎn)化為相對數(shù)。