1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數關系中自變量的取值？還．．．．．

是因變量的取值？還是曲線上的點？„

2.數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數軸、直角坐標系或韋恩．．．．

圖等工具，將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數形結合的思想方法解決

3.(1) 元素與集合的關系：xAxCUA,xCUAxA.

（2）德摩根公式： CU(A

（3）B)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

ABAABBABCUBCUAACUB

CUABR

注意：討論的時候不要遺忘了A的情況.

（4）集合{a1,a2, ,an}的子集個數共有2n 個；真子集有2n–1個；非空子集有2n–1個；

n非空真子集有2–2個.

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分 函數與導數

1．映射：注意: ①第一個集合中的元素必須有象；②一對一或多對一.

2．函數值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判別式法 ；④利用函數單調性 ；⑤換元法 ；

aba2b2

⑥利用均值不等式 ab； ⑦利用數形結合或幾何意義（斜率、距離、 22

絕對值的意義等）；⑧利用函數有界性（a、sinx、cosx等）；⑨平方法；⑩ 導數法

3．復合函數的有關問題:

（1）復合函數定義域求法：

① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域.

（2）復合函數單調性的判定：

①首先將原函數yf[g(x)]分解為基本函數：內函數ug(x)與外函數yf(u) ②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性

③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性.

4．分段函數：值域（最值）、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。 

5．函數的奇偶性:

⑪函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件 ．．．．

⑫f(x)是奇函數f(x)f(x)；f(x)是偶函數f(x)f(x).

⑬奇函數f(x)在0處有定義，則f(0)0

⑭在關于原點對稱的單調區(qū)間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性 ⑮若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性

6．函數的單調性:

⑪單調性的定義：

①f(x)在區(qū)間M上是增函數x1,x2M,當x1x2時有f(x1)f(x2)； ②f(x)在區(qū)間M上是減函數x1,x2M,當x1x2時有f(x1)f(x2)； ⑫單調性的判定：①定義法：一般要將式子f(x1)f(x2)化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；②導數法（見導數部分）；③復合函數法；④圖像法

注：證明單調性主要用定義法和導數法。

7．函數的周期性：

(1)周期性的定義：對定義域內的任意x，若有f(xT)f(x) （其中T為非零常數），則稱函數f(x)為周期函數，T為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函數的周期：①ysinx:T2 ；②ycosx:T2 ；

③ytanx:T；④yAsin(x),yAcos(x):T2 ；||

⑤ytanx:T ||

(3)與周期有關的結論：

f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0) f(x)的周期為2a

8．基本初等函數的圖像與性質：

㈠.⑪指數函數：ya(a0,a1)；⑫對數函數:ylogax(a0,a1)；

⑬冪函數：yx （R) ；⑭正弦函數:ysinx；⑮余弦函數：ycosx ； x

（6）正切函數：ytanx；⑰一元二次函數：axbxc0（a≠0）；⑱其它常用函數： 

9．二次函數：

⑪解析式：①一般式：f(x)ax2bxc；

②頂點式：f(x)a(xh)2k，(h,k)為頂點；

③零點式：f(x)a(xx1)(xx2) （a≠0）.

⑫二次函數問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。

b4acb2b二次函數yaxbxc的圖象的對稱軸方程是x，頂點坐標是2a4a2a2 。



10．函數圖象：

⑪圖象作法 ：①描點法 （特別注意三角函數的五點作圖）②圖象變換法 ③導數法 ⑫圖象變換：

① 平移變換：ⅰ)yf(x)yf(xa)，(a0)———左“+”右“－”； ⅱ)yf(x)yf(x)k,(k0) ———上“+”下“－”；

yf(x)；ⅱ)yf(x)yf(x)； ② 對稱變換：ⅰ)yf(x)

xf(y)； ⅲ) yf(x)yf(x)； ⅳ)yf(x)

③ 翻折變換：

ⅰ)yf(x)yf(|x|)———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（f(x)在y左側圖象去掉）；

ⅱ)yf(x)y|f(x)|———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（|f(x)|在x下面無圖象）；

11．函數圖象（曲線）對稱性的證明：

(1)證明函數yf(x)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上； x0yx(0,0)y0