第二十一章 二次根式  

21.1 二次根式  

1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。 2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；　　（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；　　（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。如 不是最簡二次根式，因被開方數中含有4是可開得盡方的因數，又如 ， ， ..........都不是最簡二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡二次根式。  3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如 , , 就是同類二次根式，因為 =2， =3 ，它們與 的被開方數均為2。  4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數式互為有理化因式。如 與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。

二次根式的性質：1. (a≥0)是一個非負數, 即 ≥0;2.非負數的算術平方根再平方仍得這個數，即：()2=a(a≥0)；3.某數的平方的算術平方根等于某數的絕對值，即 =|a|= 4.非負數的積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積，即 = · （a≥0,b≥0）。5.非負數的商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根，即 = （a≥0,b>0）。

21.2 二次根式的乘除  

1. 二次根式的乘法

兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變，即（≥0，≥0）。

說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，、都是非負數；

（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過來使用，即（≥0，≥0）。也稱“積的算術平方根”。它與二次根式的乘法結合，可以對一些二次根式進行化簡。

  2. 二次根式的除法

兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變，即（≥0，＞0）。

說明：（1）法則中、可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，≥0，在分母中，因此＞0；

（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過來使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術平方根”。它與二根式的除法結合，可以對一些二次根式進行化簡。

3. 最簡二次根式

一個二次根式如果滿足下列兩個條件：

（1）被開方數中不含能開方開得盡的因數或因式；

（2）被開方數中不含分母。

這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

說明：

（1）這兩個條件必須同時滿足，才是最簡二次根式；

（2）被開方數若是多項式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進行化簡；

（3）二次根式化簡到最后，二次根式不能出現在分母中，即分母中要不含二次根式。

21.3 二次根式的加減  

1. 同類二次根式    （1）定義：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫同類二次根式。    注：判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，關鍵是先把二次根式準確地化成最簡二次根式，再觀察它們的被開方數是否相同。    （2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項的方法類似，系數相加減，二次根號及被開方數不變。

    2. 二次根式的加減    （1）二次根式的加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式分別合并。    （2）二次根式的加減法與多項式的加減法類似，首先是化簡，在化簡的基礎上去括號再合并同類二次根式，同類二次根式相當于同類項。    一般地，二次根式的加減法可分以下三個步驟進行：    i）將每一個二次根式都化簡成最簡二次根式    ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結合成一組    iii）合并同類二次根式

    3. 二次根式的混合運算    二次根式的混合運算可以說是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應用，在進行二次根式的混合運算時應注意以下幾點：    （1）觀察式子的結構，選擇合理的運算順序，二次根式的混合運算與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內的。    （2）在運算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”。    （3）觀察式中二次根式的特點，合理使用運算律和運算性質，在實數和整式中的運算律和運算性質，在二次根式的運算中都可以應用。

    4. 分母有理化    （1）我們在前面的學習中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化    綜合起來，常見的有理化因式有：① 的有理化因式為 ，② 的有理化因式為 ，③ 的有理化因式為 ，④ 的有理化因式為 ，⑤ 的有理化因式為     （2）分母有理化就是通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運算中進行二次根式的除法運算，一般都是通過分母有理化而進行的。

第二十二章 一元二次方程  

22.1 一元二次方程  

在一個等式中，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個特點：(1)只含有一個未知數；(2)且未知數次數最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程． （4）將方程化為一般形式：ax^+bx+c=0時，應滿足（a≠0）

22.2 降次——解一元二次方程  

  解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：

1、直接開平方法：

用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=± m.

直接開平方法就是平方的逆運算.通常用根號表示其運算結果.

2、配方法

通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據是完全平方公式。

1.轉化： 將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）

2.系數化1： 將二次項系數化為1

3.移項： 將常數項移到等號右側

4.配方： 等號左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方

5.變形： 將等號左邊的代數式寫成完全平方形式

6.開方： 左右同時開平方

7.求解： 整理即可得到原方程的根

3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

22.3 實際問題與一元二次方程

    列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續(xù)和發(fā)展

　　從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數是一次，因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決．如果未知數出現二次，用算術方法就很困難了，正由于未知數是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關面積問題，經過兩次增長的平均增長率問題，數學問題中涉及積的一些問題，經營決策問題等等．

第二十三章 旋轉  

23.1 圖形的旋轉

  1. 圖形的旋轉

（1）定義：在平面內，將一個圓形繞一個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。

（2）生活中的旋轉現象大致有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

（3）圖形的旋轉不改變圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心可以在圖形上也可以在圖形外。

（4）會找對應點，對應線段和對應角。

  2. 旋轉的基本特征：

（1）圖形在旋轉時，圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。

（2）圖形在旋轉時，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；

（3）圖形在旋轉時，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。

  3. 幾點說明：

（1）在理解旋轉特征時，首先要對照圖形，找出旋轉中心、旋轉方向、對應點、旋轉角。

（2）旋轉的角度是對應線段的夾角或對應頂點與旋轉中心連線的夾角。

（3）旋轉中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉中心；若在圖形外，對應點連線的垂直平分線的交點就是旋轉中心。

23.2 中心對稱  

中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，假如它能夠與另一個圖形重合，那么這劉遇圖形關于這個點對稱或中心對稱。

中心對稱的性質：①關于中心對稱的劉遇圖形，對應點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分。②關于中心對稱的劉遇圖形是全等形。

中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。

對稱點的坐標規(guī)律：①關于x軸對稱：橫坐標不變，縱坐標互為相反數，②關于y軸對稱：橫坐標互為相反數，縱坐標不變，③關于原點對稱：橫坐標、縱坐標都互為相反數。

23.3 課題學習 圖案設計  

靈活運用平移、旋轉、軸對稱等變換進行圖案設計．

圖案設計就是通過圖形變換(平移、旋轉、軸對稱或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設計時不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現了設計意圖．

第二十四章 圓  

24.1 圓  

定義：（1）平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

  （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉360°，留下的軌跡叫圓。

　　圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心

　　（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。

　　（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。

　　（4） 垂直于圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。

　　注：圓心一般用字母O表示

　　直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

　　半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

　　圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。

　　圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。

　　圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。

　　圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

　　圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數（無理數），用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3.14。

　　直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。

　　圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。

　　一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。

　　在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

　　在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

　　在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。

　　周長計算公式

1.、已知直徑：C=πd

2、已知半徑：C=2πr

3、已知周長：D=c\π

4、圓周長的一半:1\2周長(曲線)

5、半圓的長：1\2周長+直徑

　　面積計算公式：

1、已知半徑：S=πr平方

2、已知直徑：S=π（d\2）平方

3、已知周長：S=π(c\2π)平方

24.2 點、直線、圓和圓的位置關系  

1. 點和圓的位置關系 

① 點在圓內點到圓心的距離小于半徑

② 點在圓上點到圓心的距離等于半徑

③ 點在圓外點到圓心的距離大于半徑

2. 過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

3. 外接圓和外心

經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心。

4. 直線和圓的位置關系

相交：直線和圓有兩個公共點叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。

相切：直線和圓有一個公共點叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。

相離：直線和圓沒有公共點叫這條直線和圓相離。

  5. 直線和圓位置關系的性質和判定

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

① 直線和⊙O相交；

② 直線和⊙O相切；

③ 直線和⊙O相離。

圓和圓

定義：

兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓的外離。

兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部，叫做兩個圓的外切。

兩個圓有兩個交點，叫做兩個圓的相交。

兩個圓有唯一的公共點且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的內部，叫做兩個圓的內切。

兩個圓沒有公共點且每個圓的點都在另一個圓的內部時，叫做這兩個圓的內含。

原理：

圓心距和半徑的數量關系：

兩圓外離＜＝＞  d＞R+r

兩圓外切＜＝＞  d=R+r

兩圓相交＜＝＞  R-r＝r)

兩圓內切＜＝＞  d=R-r(R>r)

兩圓內含＜＝＞  dr)

24.3 正多邊形和圓  

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關系：(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結各等分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形。(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關概念：(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質：(1)任何正多邊形都有一個外接圓。(2)正多邊形都是軸對稱圖形，當邊數是偶數時，它又是中心對稱圖形，正n邊形的對稱軸有n條。(3)邊數相同的正多邊形相似。　　重點：正多邊形的有關計算。知識講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個正多邊形有n條邊，那么，這個多邊形叫正n邊形。 再如：矩形不是正多邊形，因為它只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因為，它只具有各邊相等，而各角不一定相等。2、正多邊形與圓的關系。　　正多邊形與圓有密切關系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形。　　相鄰分點間的弧相等，則所對的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個內角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內角都相等，從而這個多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。 　　觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對的弧可以發(fā)現都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。　　所以，將一個圓6等分，依次連結各分點所得到的是⊙O的內接正六邊形。3、正多邊形的有關計算。(1)首先要明確與正多邊形計算的有關概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了2n個全等的直角三角形。 　　如圖：是一個正n邊形ABCD……根據以上講解，我們來分析RtΔAOM的基本元素：　　斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；　　一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；　　一條直角邊AM——正n邊形的邊長an的一半即AM＝an；　　銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；　　銳角∠OAM——正n邊形內角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；　　可以看到在這個直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。　　因此，就可以把正n邊形的有關計算歸納為解直角三角形的問題。4、正多邊形的有關作圖。(1)使用量角器來等分圓。　　由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n邊形。(2)用尺規(guī)來等分圓。　　對于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。　　在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。　　通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。 　　顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。　　同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。5、正多邊形的對稱性。　　正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數條邊，那么，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。如：正三角形、正方形。

24.4 弧長和扇形面積  

知識點1、弧長公式

因為360°的圓心角所對的弧長就是圓周長C＝2R，所以1°的圓心角所對的弧長是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長l的計算公式：，

說明：（1）在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計算20°的圓心角所對的弧長l時，不要錯寫成。

（2）在弧長公式中，已知l，n，R中的任意兩個量，都可以求出第三個量。

知識點2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因為圓心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計算公式是。

又因為扇形的弧長，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個計算公式：。

知識點3、弓形的面積

（1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。

（2）弓形的周長＝弦長＋弧長

（3）弓形的面積

如圖所示，每個圓中的陰影部分的面積都是一個弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計算出來，就可以得到弓形AmB的面積。

當弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示， 

當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示，

當弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示，

例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是 （        ）（結果用表示）

分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式。

圓周長

弧長

圓面積

扇形面積

公

式

（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

圖

示

面

積

知識點4、圓錐的側面積

圓錐的側面展開圖是一個扇形，如圖所示，設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2，圓錐的側面積，圓錐的全面積

說明：（1）圓錐的側面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。

（2）研究有關圓錐的側面積和全面積的計算問題，關鍵是理解圓錐的側面積公式，并明確圓錐全面積與側面積之間的關系。

知識點5、圓柱的側面積

圓柱的側面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側面積，圓柱的全面積

知識小結：

圓錐與圓柱的比較

名稱

圓錐

圓柱

圖形

圖形的形成過程

由一個直角三角形旋轉得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉一周。

由一個矩形旋轉得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉一周。

圖形的組成

一個底面和一個側面

兩個底面和一個側面

側面展開圖的特征

扇形

矩形

面積計算方法

第二十五章 概率初步  

25.1 隨機事件與概率  

  1．隨機試驗與樣本空間

     具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗：

     (1) 試驗可以在相同的條件下重復地進行；    ·

     (2) 每次試驗的可能結果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結果；

     (3) 每次試驗前不能確定哪一個結果會出現．

     試驗的所有可能結果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個結果用表示，稱為樣本空間中的樣本點，記作．

  2．隨機事件

    在隨機試驗中，把一次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復試驗中卻呈現某  種規(guī)律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)

看作特殊的隨機事件．

  3．事件的關系及運算

    (1) 包含：若事件發(fā)生，一定導致事件發(fā)生，那么，稱事件包含事件，記作(或)．

    (2) 相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱事件與相等，記作．

    (3) 和事件：“事件A與事件B中至少有一個發(fā)生”這一事件稱為A與B的和事件，記作；“n個事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱為的和，記作（簡記為）．

    (4) 積事件：“事件A與事件B同時發(fā)生”這一事件稱為A與B的積事件，記作(簡記為)；“n個事件同時發(fā)生”這一事件稱為的積事件，記作（簡記為或)．

    (5) 互不相容：若事件A和B不能同時發(fā)生，即，那么稱事件A與B互不相容(或互斥)，若n個事件中任意兩個事件不能同時發(fā)生，即(1≤i

    (6) 對立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱A與B是對立的．事件A的對立事件(或逆事件)記作．

    (7) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱這個事件為事件A與B的差事件，記作(或)．

(8) 交換律：對任意兩個事件Ａ和B有

，．

(9) 結合律：對任意事件A，B，C有

， ． 

(10) 分配律：對任意事件A，B，C有

， ．

   (11) 德摩根（De Morgan）法則：對任意事件A和B有

, .

 4．頻率與概率的定義

   (1) 頻率的定義

    設隨機事件A在n次重復試驗中發(fā)生了次，則比值／n稱為隨機事件A發(fā)生的頻率，記作，即 .

   (2) 概率的統(tǒng)計定義

    在進行大量重復試驗中，隨機事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當試驗次數n很大時，頻率在一個穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．

    (3) 古典概率的定義

     具有下列兩個特征的隨機試驗的數學模型稱為古典概型：

     (i) 試驗的樣本空間是個有限集，不妨記作;

      (ii) 在每次試驗中，每個樣本點(）出現的概率相同，即

．

 　　　在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為

．

   (4)　幾何概率的定義

    如果隨機試驗的樣本空間是一個區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個試驗結果的出現具有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為

·

   (5)　概率的公理化定義

    設隨機試驗的樣本空間為，隨機事件A是的子集，是實值函數，若滿足下列三條公理：

    公理1 (非負性)  對于任一隨機事件Ａ，有≥0；

    公理2 (規(guī)范性)  對于必然事件，有；

    公理3 (可列可加性)  對于兩兩互不相容的事件，有

，

則稱為隨機事件Ａ的概率．

  5．概率的性質

  由概率的三條公理可導出下面概率的一些重要性質

  (1) ．

  (2) (有限可加性) 設n個事件兩兩互不相容，則有

．

  (3) 對于任意一個事件A：

．

  (4) 若事件A，B滿足，則有

,

．

  (5) 對于任意一個事件A，有．

  (6) (加法公式) 對于任意兩個事件A，B，有

.

對于任意n個事件，有

  .

    6．條件概率與乘法公式

    設A與B是兩個事件．在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記作．當，規(guī)定

.

 在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質．

    乘法公式：對于任意兩個事件A與B，當,時，有

.

  7．隨機事件的相互獨立性

    如果事件A與B滿足

，

那么，稱事件A與B相互獨立．

    關于事件A，月的獨立性有下列兩條性質：

    (1) 如果，那么，事件A與B相互獨立的充分必要條件是；如果，那么，事件A與B相互獨立的充分必要條件是．

    這條性質的直觀意義是“事件A與B發(fā)生與否互不影響”． 

   (2) 下列四個命題是等價的：

    (i) 事件A與B相互獨立； 

    (ii) 事件A與相互獨立；

    (iii) 事件與B相互獨立；

    (iv) 事件與相互獨立．

 對于任意n個事件相互獨立性定義如下：對任意一個，任意的，若事件總滿足

，

則稱事件相互獨立．這里實際上包含了個等式．

   8．貝努里概型與二項概率

    設在每次試驗中，隨機事件Ａ發(fā)生的概率，則在n次重復獨立試驗中．，事件Ａ恰發(fā)生次的概率為

，

稱這組概率為二項概率． 

   9．全概率公式與貝葉斯公式

   全概率公式：如果事件兩兩互不相容，且，，，則

．

25.2 用列舉法求概率  

1、當一次試驗中，可能出現的結果是有限個，并且各種結果發(fā)生的可能性相等時，可以用被關注的結果在全部試驗結果中所占的比分析出事件中該結果發(fā)生的概率，此時可采用列舉法．

2、列舉法就是把要數的對象一一列舉出來分析求解的方法．但有時一一列舉出的情況數目很大，此時需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問題可能解的數目.

3、利用列表法或樹形圖法求概率的關鍵是：①注意各種情況出現的可能性務必相同；②其中某一事件發(fā)生的概率；③在考查各種情況出現的次數和某一事件發(fā)生的次數時不能重復也不能遺漏；

4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實驗估計值是頻率，它通常受到實驗次數的影響而產生波動，因此兩者不一定一致，實驗次數較多時，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。

25.3 用頻率估計概率  

在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個隨機事件出現的頻率應該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個變數，而事件發(fā)生的概率是個常數；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗次數的增加，頻率越來越穩(wěn)定于概率。

在具體操作過程中，大家往往發(fā)現：雖然多次試驗結果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無論做多少次試驗，兩者之間存在著一定的偏差。應該注意：這種偏差的存在是經常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過試驗得到的估計結果往往不太理想，甚至有可能出現極端情況，此時我們應正確地看待這樣的結果并嘗試著對結果進行合理的解釋。對試驗結果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機觀念的一個重要環(huán)節(jié)。

在實際應用中，當試驗次數越大時，出現極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過做大量重復試驗來獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計值。試驗次數越多，得到的估計結果就越可靠。