第二十一章 二次根式  

21.1 二次根式  

1.二次根式：式子 (a≥0)叫做二次根式。 2.最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式；　　（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；　　（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如 不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如 ， ， ..........都不是最簡(jiǎn)二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡(jiǎn)二次根式。  3.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。如 , , 就是同類二次根式，因?yàn)?=2， =3 ，它們與 的被開方數(shù)均為2。  4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如 與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。

二次根式的性質(zhì)：1. (a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù), 即 ≥0;2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：()2=a(a≥0)；3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即 =|a|= 4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即 = · （a≥0,b≥0）。5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即 = （a≥0,b>0）。

21.2 二次根式的乘除  

1. 二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即（≥0，≥0）。

說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、都是非負(fù)數(shù)；

（2）（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（≥0，≥0）。也稱“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

  2. 二次根式的除法

兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即（≥0，＞0）。

說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥0，在分母中，因此＞0；

（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（≥0，＞0）。也稱“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

3. 最簡(jiǎn)二次根式

一個(gè)二次根式如果滿足下列兩個(gè)條件：

（1）被開方數(shù)中不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含分母。

這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式。

說(shuō)明：

（1）這兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，才是最簡(jiǎn)二次根式；

（2）被開方數(shù)若是多項(xiàng)式，需利用因式分解法把它們化成乘積式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)；

（3）二次根式化簡(jiǎn)到最后，二次根式不能出現(xiàn)在分母中，即分母中要不含二次根式。

21.3 二次根式的加減  

1. 同類二次根式    （1）定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式。    注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡(jiǎn)二次根式，再觀察它們的被開方數(shù)是否相同。    （2）合并同類二次根式：合并同類二次根式的方法與合并同類項(xiàng)的方法類似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開方數(shù)不變。

    2. 二次根式的加減    （1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類二次根式分別合并。    （2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類二次根式，同類二次根式相當(dāng)于同類項(xiàng)。    一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：    i）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式    ii）判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類二次根式結(jié)合成一組    iii）合并同類二次根式

    3. 二次根式的混合運(yùn)算    二次根式的混合運(yùn)算可以說(shuō)是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：    （1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。    （2）在運(yùn)算過(guò)程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。    （3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

    4. 分母有理化    （1）我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中研究了分母形如 形式的分式的分母有理化    綜合起來(lái)，常見的有理化因式有：① 的有理化因式為 ，② 的有理化因式為 ，③ 的有理化因式為 ，④ 的有理化因式為 ，⑤ 的有理化因式為     （2）分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。

第二十二章 一元二次方程  

22.1 一元二次方程  

在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程． （4）將方程化為一般形式：ax^+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足（a≠0）

22.2 降次——解一元二次方程  

  解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：

1、直接開平方法：

用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=± m.

直接開平方法就是平方的逆運(yùn)算.通常用根號(hào)表示其運(yùn)算結(jié)果.

2、配方法

通過(guò)配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據(jù)是完全平方公式。

1.轉(zhuǎn)化： 將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）

2.系數(shù)化1： 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1

3.移項(xiàng)： 將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右側(cè)

4.配方： 等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

5.變形： 將等號(hào)左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式

6.開方： 左右同時(shí)開平方

7.求解： 整理即可得到原方程的根

3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

22.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

    列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展

　　從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等．

第二十三章 旋轉(zhuǎn)  

23.1 圖形的旋轉(zhuǎn)

  1. 圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類：一類是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類則是由某一基本圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。

（4）會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角。

  2. 旋轉(zhuǎn)的基本特征：

（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。

（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；

（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒有發(fā)生改變。

  3. 幾點(diǎn)說(shuō)明：

（1）在理解旋轉(zhuǎn)特征時(shí)，首先要對(duì)照?qǐng)D形，找出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角。

（2）旋轉(zhuǎn)的角度是對(duì)應(yīng)線段的夾角或?qū)��?yīng)頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角。

（3）旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中位置沒有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。

23.2 中心對(duì)稱  

中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這劉遇圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。

中心對(duì)稱的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分。②關(guān)于中心對(duì)稱的劉遇圖形是全等形。

中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對(duì)稱：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

23.3 課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì)  

靈活運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)．

圖案設(shè)計(jì)就是通過(guò)圖形變換(平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設(shè)計(jì)時(shí)不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現(xiàn)了設(shè)計(jì)意圖．

第二十四章 圓  

24.1 圓  

定義：（1）平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。

  （2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。

　　圓心：（1）如定義（1）中，該定點(diǎn)為圓心

　　（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點(diǎn)為圓心。

　　（3）圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。

　　（4） 垂直于圓內(nèi)任意一條弦且兩個(gè)端點(diǎn)在圓上的線段的二分點(diǎn)為圓心。

　　注：圓心一般用字母O表示

　　直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

　　半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

　　圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。

　　圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

　　圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。

　　圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。

　　圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母π表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，π≈3.14。

　　直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

　　圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2，用字母S表示。

　　一條弧所對(duì)的圓周角是圓心角的二分之一。

　　在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。

　　在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。

　　在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。

　　周長(zhǎng)計(jì)算公式

1.、已知直徑：C=πd

2、已知半徑：C=2πr

3、已知周長(zhǎng)：D=c\π

4、圓周長(zhǎng)的一半:1\2周長(zhǎng)(曲線)

5、半圓的長(zhǎng)：1\2周長(zhǎng)+直徑

　　面積計(jì)算公式：

1、已知半徑：S=πr平方

2、已知直徑：S=π（d\2）平方

3、已知周長(zhǎng)：S=π(c\2π)平方

24.2 點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系  

1. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 

① 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑

② 點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑

③ 點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑

2. 過(guò)三點(diǎn)的圓

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

3. 外接圓和外心

經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。

4. 直線和圓的位置關(guān)系

相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線。

相切：直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)叫這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)叫這條直線和圓相離。

  5. 直線和圓位置關(guān)系的性質(zhì)和判定

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么

① 直線和⊙O相交；

② 直線和⊙O相切；

③ 直線和⊙O相離。

圓和圓

定義：

兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的外離。

兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部，叫做兩個(gè)圓的外切。

兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，叫做兩個(gè)圓的相交。

兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部，叫做兩個(gè)圓的內(nèi)切。

兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)且每個(gè)圓的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓的內(nèi)含。

原理：

圓心距和半徑的數(shù)量關(guān)系：

兩圓外離＜＝＞  d＞R+r

兩圓外切＜＝＞  d=R+r

兩圓相交＜＝＞  R-r＝r)

兩圓內(nèi)切＜＝＞  d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含＜＝＞  dr)

24.3 正多邊形和圓  

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑。(3)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。4、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。(2)正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的對(duì)稱軸有n條。(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。　　重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。知識(shí)講解1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。 再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗�只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因�(yàn)椋�它只具有各邊相等，而各角不一定相等�?、正多邊形與圓的關(guān)系。　　正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。　　相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。 　　觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。　　所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長(zhǎng)an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。 　　如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD……根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析RtΔAOM的基本元素：　　斜邊OA——正n邊形的半徑Rn；　　一條直角邊OM——正n邊形的邊心距rn；　　一條直角邊AM——正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AM＝an；　　銳角∠AOM——正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝；　　銳角∠OAM——正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝[(n－2)·180°]；　　可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。　　因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來(lái)等分圓。　　由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形。(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。　　對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。　　在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。　　通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。 　　顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。　　同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分……。5、正多邊形的對(duì)稱性。　　正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心。如：正三角形、正方形。

24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積  

知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式

因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C＝2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，

說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫成。

（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是。

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積，所以又得到扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式：。

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積

（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。

（2）弓形的周長(zhǎng)＝弦長(zhǎng)＋弧長(zhǎng)

（3）弓形的面積

如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示， 

當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，

當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，

例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是 （        ）（結(jié)果用表示）

分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。

圓周長(zhǎng)

弧長(zhǎng)

圓面積

扇形面積

公

式

（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

圖

示

面

積

知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2，圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積

說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。

（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。

知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積

圓柱的側(cè)面積展開圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積，圓柱的全面積

知識(shí)小結(jié)：

圓錐與圓柱的比較

名稱

圓錐

圓柱

圖形

圖形的形成過(guò)程

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。

由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。

圖形的組成

一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面

兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面

側(cè)面展開圖的特征

扇形

矩形

面積計(jì)算方法

第二十五章 概率初步  

25.1 隨機(jī)事件與概率  

  1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

     具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：

     (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；    ·

     (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；

     (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．

     試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作．

  2．隨機(jī)事件

    在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某  種規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)

看作特殊的隨機(jī)事件．

  3．事件的關(guān)系及運(yùn)算

    (1) 包含：若事件發(fā)生，一定導(dǎo)致事件發(fā)生，那么，稱事件包含事件，記作(或)．

    (2) 相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱事件與相等，記作．

    (3) 和事件：“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱為A與B的和事件，記作；“n個(gè)事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱為的和，記作（簡(jiǎn)記為）．

    (4) 積事件：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為A與B的積事件，記作(簡(jiǎn)記為)；“n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”這一事件稱為的積事件，記作（簡(jiǎn)記為或)．

    (5) 互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即，那么稱事件A與B互不相容(或互斥)，若n個(gè)事件中任意兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即(1≤i

    (6) 對(duì)立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱A與B是對(duì)立的．事件A的對(duì)立事件(或逆事件)記作．

    (7) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱這個(gè)事件為事件A與B的差事件，記作(或)．

(8) 交換律：對(duì)任意兩個(gè)事件Ａ和B有

，．

(9) 結(jié)合律：對(duì)任意事件A，B，C有

， ． 

(10) 分配律：對(duì)任意事件A，B，C有

， ．

   (11) 德摩根（De Morgan）法則：對(duì)任意事件A和B有

, .

 4．頻率與概率的定義

   (1) 頻率的定義

    設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值／n稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即 .

   (2) 概率的統(tǒng)計(jì)定義

    在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0<<1)附近擺動(dòng)，規(guī)定事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值為概率，即．

    (3) 古典概率的定義

     具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型：

     (i) 試驗(yàn)的樣本空間是個(gè)有限集，不妨記作;

      (ii) 在每次試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)(）出現(xiàn)的概率相同，即

．

 　　　在古典概型中，規(guī)定事件A的概率為

．

   (4)　幾何概率的定義

    如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)區(qū)域(可以是直線上的區(qū)間、平面或空間中的區(qū)域)，且樣本空間中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有等可能性，那么規(guī)定事件Ａ的概率為

·

   (5)　概率的公理化定義

    設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，隨機(jī)事件A是的子集，是實(shí)值函數(shù)，若滿足下列三條公理：

    公理1 (非負(fù)性)  對(duì)于任一隨機(jī)事件Ａ，有≥0；

    公理2 (規(guī)范性)  對(duì)于必然事件，有；

    公理3 (可列可加性)  對(duì)于兩兩互不相容的事件，有

，

則稱為隨機(jī)事件Ａ的概率．

  5．概率的性質(zhì)

  由概率的三條公理可導(dǎo)出下面概率的一些重要性質(zhì)

  (1) ．

  (2) (有限可加性) 設(shè)n個(gè)事件兩兩互不相容，則有

．

  (3) 對(duì)于任意一個(gè)事件A：

．

  (4) 若事件A，B滿足，則有

,

．

  (5) 對(duì)于任意一個(gè)事件A，有．

  (6) (加法公式) 對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B，有

.

對(duì)于任意n個(gè)事件，有

  .

    6．條件概率與乘法公式

    設(shè)A與B是兩個(gè)事件．在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為條件概率，記作．當(dāng)，規(guī)定

.

 在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質(zhì)．

    乘法公式：對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B，當(dāng),時(shí)，有

.

  7．隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性

    如果事件A與B滿足

，

那么，稱事件A與B相互獨(dú)立．

    關(guān)于事件A，月的獨(dú)立性有下列兩條性質(zhì)：

    (1) 如果，那么，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是；如果，那么，事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是．

    這條性質(zhì)的直觀意義是“事件A與B發(fā)生與否互不影響”． 

   (2) 下列四個(gè)命題是等價(jià)的：

    (i) 事件A與B相互獨(dú)立； 

    (ii) 事件A與相互獨(dú)立；

    (iii) 事件與B相互獨(dú)立；

    (iv) 事件與相互獨(dú)立．

 對(duì)于任意n個(gè)事件相互獨(dú)立性定義如下：對(duì)任意一個(gè)，任意的，若事件總滿足

，

則稱事件相互獨(dú)立．這里實(shí)際上包含了個(gè)等式．

   8．貝努里概型與二項(xiàng)概率

    設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件Ａ發(fā)生的概率，則在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中．，事件Ａ恰發(fā)生次的概率為

，

稱這組概率為二項(xiàng)概率． 

   9．全概率公式與貝葉斯公式

   全概率公式：如果事件兩兩互不相容，且，，，則

．

25.2 用列舉法求概率  

1、當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法．

2、列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來(lái)分析求解的方法．但有時(shí)一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少列舉的問(wèn)題可能解的數(shù)目.

3、利用列表法或樹形圖法求概率的關(guān)鍵是：①注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同；②其中某一事件發(fā)生的概率；③在考查各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和某一事件發(fā)生的次數(shù)時(shí)不能重復(fù)也不能遺漏；

4、用列表法或樹形圖法求得的概率是理論概率，而實(shí)驗(yàn)估計(jì)值是頻率，它通常受到實(shí)驗(yàn)次數(shù)的影響而產(chǎn)生波動(dòng)，因此兩者不一定一致，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)，頻率穩(wěn)定于概率，但并不完全等于概率。

25.3 用頻率估計(jì)概率  

在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率應(yīng)該穩(wěn)定于該事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的頻率與概率既有區(qū)別又有聯(lián)系：事件發(fā)生的頻率不一定相同，是個(gè)變數(shù)，而事件發(fā)生的概率是個(gè)常數(shù)；但它們之間又有密切的聯(lián)系，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率越來(lái)越穩(wěn)定于概率。

在具體操作過(guò)程中，大家往往發(fā)現(xiàn)：雖然多次試驗(yàn)結(jié)果的頻率逐漸穩(wěn)定于概率，但可能無(wú)論做多少次試驗(yàn)，兩者之間存在著一定的偏差。應(yīng)該注意：這種偏差的存在是經(jīng)常的，并且是正常的。另外，由于受到某些因素的影響，通過(guò)試驗(yàn)得到的估計(jì)結(jié)果往往不太理想，甚至有可能出現(xiàn)極端情況，此時(shí)我們應(yīng)正確地看待這樣的結(jié)果并嘗試著對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理的解釋。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的頻率與理論概率的偏差的理解也是形成隨機(jī)觀念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越大時(shí)，出現(xiàn)極端情況的可能性就越小。因此，我們常常通過(guò)做大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)獲得事件發(fā)生的頻率，并用它作為概率的估計(jì)值。試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的估計(jì)結(jié)果就越可靠。