相交線與平行線

一、相交線   兩條直線相交，形成4個角。

1、兩條直線相交所成的四個角中，相鄰的兩個角叫做鄰補角，特點是兩個角共用一條邊，另一條邊互為反向延長線，性質是鄰補角互補；相對的兩個角叫做對頂角，特點是它們的兩條邊互為反向延長線。性質是對頂角相等。

①鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線。具有這種關系的兩個角，互為鄰補角。如：∠1、∠2。

②對頂角：兩個角有一個公共頂點，并且一個角的兩條邊，分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為對頂角。如：∠1、∠3。

③對頂角相等。

二、垂線

1．垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

2．垂線： 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。

3．垂足：兩條垂線的交點叫垂足。

4．垂線特點：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

5．點到直線的距離： 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離。連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

三、同位角、內錯角、同旁內角 

兩條直線被第三條直線所截形成8個角。

1．同位角：（在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側）在兩條直線的上方，又在直線EF的同側，具有這種位置關系的兩個角叫同位角。如：∠1和∠5。

2．內錯角：（在兩條直線內部，位于第三條直線兩側）在兩條直線之間，又在直線EF的兩側，具有這種位置關系的兩個角叫內錯角。如：∠3和∠5。

3．同旁內角：（在兩條直線內部，位于第三條直線同側）在兩條直線之間，又在直線EF的同側，具有這種位置關系的兩個角叫同旁內角。如：∠3和∠6。

四、平行線及其判定

平行線

1.平行：兩條直線不相交。互相平行的兩條直線，互為平行線。a∥b（在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。） 

2．平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

3.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c

平行線的判定：

1. 兩條平行線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）

2. 兩條平行線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。（內錯角相等，兩直線平行）

3. 兩條平行線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。（同旁內角互補，兩直線平行）

推論：在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。

平行線的性質

(一)平行線的性質

1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）

2.兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。（兩直線平行，內錯角相等）

3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。（兩直線平行，同旁內角相等）

(二)命題、定理、證明

1．命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。 

2.命題的組成：每個命題都是題設、結論兩部分組成。

題設是已知事項；結論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果„„，那么„„”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設，用“那么”開始的部分是結論。

3．真命題：正確的命題，題設成立，結論一定成立。 

4．假命題：錯誤的命題，題設成立，不能保證結論一定成立。

5.定理：經過推理證實得到的真命題。(定理可以做為繼續(xù)推理的依據)

6．證明：推理的過程叫做證明。

平移

1．平移:平移是指在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移變換 (簡稱平移)，平移不改變物體的形狀和大小。

2.平移的性質 

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。 

②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點。連接各組對應點的線段平行且相等。

實數

一、平方根

1、平方根

（1）平方根的定義：如果一個數x的平方等于a，那么這個數x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．

（2）開平方的定義：求一個數的平方根的運算，叫做開平方．開平方運算的被開方數必須是非負數才有意義。

（3）平方與開平方互為逆運算：±3的平方等于9，9的平方根是±3

（4）一個正數有兩個平方根，即正數進行開平方運算有兩個結果；一個負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算；0的平方根是0.

（5）符號：正數a的正的平方根可用

表示，也是a的算術平方根；正數a的負的平方根可用-表示．

（6）    <—>  

a是x的平方              x的平方是a

x是a的平方根           a的平方根是x

2、算術平方根

（1）算術平方根的定義： 一般地，如果一個正數x的平方等于a，即，那么這個正數x叫做a的算術平方根．a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數．

規(guī)定：0的算術平方根是0.

     也就是，在等式 (x≥0)中，規(guī)定 x=。

（2）的結果有兩種情況：當a是完全平方數時，是一個有限數；當a不是一個完全平方數時，是一個無限不循環(huán)小數。

（3）當被開方數擴大時，它的算術平方根也擴大；

當被開方數縮小時與它的算術平方根也縮小。

（4）夾值法及估計一個（無理）數的大小

（5） (x≥0)    <—>   

a是x的平方                    x的平方是a

x是a的算術平方根          a的算術平方根是x

（6）正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。

（7）平方根和算術平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：

區(qū)別在于正數的平方根有兩個，而它的算術平方根只有一個；

聯(lián)系在于正數的正平方根就是它的算術平方根，而正數的負平方根是它的算術平方根的相反數。

二、立方根  

  1、立方根的定義：如果一個數x的立方等于a，這個數叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么x叫做a的立方根。求一個數的立方根的運算，叫做開立方。

  2、一個數a的立方根，記作，讀作：“三次根號a”，其中a叫被開方數，3叫根指數，不能省略，若省略表示平方。

  3、一個正數有一個正的立方根；

 0有一個立方根，是它本身；一個負數有一個負的立方根； 任何數都有唯一的立方根。

4、利用開立方和立方互為逆運算關系，求一個數的立方根，就可以利用這種互逆關系，檢驗其正確性，求負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值的立方根，再取其相反數，即。

   5、   <—>  

a是x的立方            x的立方是a

x是a的立方根         a的立方根是x

   6、，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。

三、實數

一、實數的概念及分類

無理數：像前面的很多數的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數，無限不循環(huán)小數又叫無理數。

實數：有理數和無理數統(tǒng)稱實數。

1、實數的分類

2、無理數

在理解無理數時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數，如

（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡后含有π的數，如+8等；

（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；

二、實數的倒數、相反數和絕對值   

1、相反數

實數與它的相反數是一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

數a的相反數是—a，這里a表示任意一個實數。

2、絕對值

一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

一個正實數的絕對值是它本身，一個負實數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是0。

正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

3、倒數

如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

4. 實數與數軸上點的關系：

每一個無理數都可以用數軸上的一個點表示出來，

數軸上的點有些表示有理數，有些表示無理數，

實數與數軸上的點就是一一對應的，即每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都是表示一個實數。

三、科學記數法和近似數   

1、有效數字

一個近似數四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起到右邊精確的數位止的所有數字，都叫做這個數的有效數字。

2、科學記數法

把一個數寫做±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數，這種記數法叫做科學記數法。

四、實數大小的比較   

1、數軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

2、實數大小比較的幾種常用方法

（1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（2）求差比較：設a、b是實數，

   （3）求商比較法：設a、b是兩正實數，

（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，。

（5）平方法：設a、b是兩負實數，則。

五、實數的運算   

 6、實數混合運算時，對于運算順序有什么規(guī)定？

實數混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二能為運算，乘方為三級運算。同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運算中如有括號時，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。

  7、有理數除法運算法則就什么？

兩有理數除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數，等于乘以這個數的倒數；第二，兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數，商都是零。

  8、什么叫有理數的乘方？冪？底數？指數？

相同因數相乘積的運算叫乘方，乘方的結果叫冪，相同因數的個數叫指數，這個因數叫底數。記作: an

  9、有理數乘方運算的法則是什么？

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數。零的任何正整數冪都是零。

10、加括號和去括號時各項的符號的變化規(guī)律是什么？

去（加）括號時如果括號外的因數是正數，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內的式子相應各項的符號相同；括號外的因數是負數去（加）括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。

平面直角坐標系

一、平面直角坐標系

有序數對

1．有序數對：用兩個數來表示一個確定的位置，其中兩個數各自表示不同的意義，我們把這種有順序的兩個數組成的數對，叫做有序數對，記作（a,b） 

2.坐標：數軸(或平面)上的點可以用一個數(或數對)來表示，這個數(或數對)叫做這個點的坐標。

平面直角坐標系

1．平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直，并且有公共原點的數軸。這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標系，簡稱直角坐標系。

2．X軸：水平的數軸叫X軸或橫軸。向右方向為正方向。

3．Y軸：豎直的數軸叫Y軸或縱軸。向上方向為正方向。

4．原點：兩個數軸的交點叫做平面直角坐標系的原點。

對應關系：平面直角坐標系內的點與有序實數對一一對應。

坐標：對于平面內任一點P，過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對應的數a,b分別叫點P的橫坐標和縱坐標。

象限

1．象限：X軸和Y軸把坐標平面分成四個部分，也叫四個象限。右上面的叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點及原點不屬于任何象限。一般，在x軸和y軸取相同的單位長度。

2．象限的特點： 

  1、特殊位置的點的坐標的特點：

（1）x軸上的點的縱坐標為零；y軸上的點的橫坐標為零。

（2）第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；

第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。

（3）在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標相同，則兩點的連線平行于縱軸；如果兩點的縱坐標相同，則兩點的連線平行于橫軸。 

  2、點到軸及原點的距離：

點到x軸的距離為|y|； 

點到y(tǒng)軸的距離為|x|；

點到原點的距離為x的平方加y的平方再開根號； 

  3、三大規(guī)律

（1）平移規(guī)律：

點的平移規(guī)律   

左右平移→縱坐標不變，橫坐標左減右加；

上下平移→橫坐標不變，縱坐標上加下減。

圖形的平移規(guī)律 找特殊點

（2）對稱規(guī)律

   關于x軸對稱→橫坐標不變，縱坐標互為相反數；          

關于y軸對稱→橫坐標互為相反數，縱坐標不變；

關于原點對稱→橫縱坐標都互為相反數。