相交線與平行線

一、相交線   兩條直線相交，形成4個角。

1、兩條直線相交所成的四個角中，相鄰的兩個角叫做鄰補角，特點是兩個角共用一條邊，另一條邊互為反向延長線，性質(zhì)是鄰補角互補；相對的兩個角叫做對頂角，特點是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對頂角相等。

①鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線。具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角。如：∠1、∠2。

②對頂角：兩個角有一個公共頂點，并且一個角的兩條邊，分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為對頂角。如：∠1、∠3。

③對頂角相等。

二、垂線

1．垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

2．垂線： 垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線。

3．垂足：兩條垂線的交點叫垂足。

4．垂線特點：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

5．點到直線的距離： 直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離。連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

三、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角 

兩條直線被第三條直線所截形成8個角。

1．同位角：（在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側(cè)）在兩條直線的上方，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同位角。如：∠1和∠5。

2．內(nèi)錯角：（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線兩側(cè)）在兩條直線之間，又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫內(nèi)錯角。如：∠3和∠5。

3．同旁內(nèi)角：（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線同側(cè)）在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個角叫同旁內(nèi)角。如：∠3和∠6。

四、平行線及其判定

平行線

1.平行：兩條直線不相交。互相平行的兩條直線，互為平行線。a∥b（在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。） 

2．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

3.平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c

平行線的判定：

1. 兩條平行線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）

2. 兩條平行線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

3. 兩條平行線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

推論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。

平行線的性質(zhì)

(一)平行線的性質(zhì)

1.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同位角相等）

2.兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

3.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等）

(二)命題、定理、證明

1．命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。 

2.命題的組成：每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。

題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果„„，那么„„”的形式。具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論。

3．真命題：正確的命題，題設(shè)成立，結(jié)論一定成立。 

4．假命題：錯誤的命題，題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立。

5.定理：經(jīng)過推理證實得到的真命題。(定理可以做為繼續(xù)推理的依據(jù))

6．證明：推理的過程叫做證明。

平移

1．平移:平移是指在平面內(nèi)，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移變換 (簡稱平移)，平移不改變物體的形狀和大小。

2.平移的性質(zhì) 

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。 

②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點。連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等。

實數(shù)

一、平方根

1、平方根

（1）平方根的定義：如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．

（2）開平方的定義：求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方．開平方運算的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)才有意義。

（3）平方與開平方互為逆運算：±3的平方等于9，9的平方根是±3

（4）一個正數(shù)有兩個平方根，即正數(shù)進行開平方運算有兩個結(jié)果；一個負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進行開平方運算；0的平方根是0.

（5）符號：正數(shù)a的正的平方根可用

表示，也是a的算術(shù)平方根；正數(shù)a的負(fù)的平方根可用-表示．

（6）    <—>  

a是x的平方              x的平方是a

x是a的平方根           a的平方根是x

2、算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的定義： 一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)．

規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0.

     也就是，在等式 (x≥0)中，規(guī)定 x=。

（2）的結(jié)果有兩種情況：當(dāng)a是完全平方數(shù)時，是一個有限數(shù)；當(dāng)a不是一個完全平方數(shù)時，是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

（3）當(dāng)被開方數(shù)擴大時，它的算術(shù)平方根也擴大；

當(dāng)被開方數(shù)縮小時與它的算術(shù)平方根也縮小。

（4）夾值法及估計一個（無理）數(shù)的大小

（5） (x≥0)    <—>   

a是x的平方                    x的平方是a

x是a的算術(shù)平方根          a的算術(shù)平方根是x

（6）正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零。

（7）平方根和算術(shù)平方根兩者既有區(qū)別又有聯(lián)系：

區(qū)別在于正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個；

聯(lián)系在于正數(shù)的正平方根就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)。

二、立方根  

  1、立方根的定義：如果一個數(shù)x的立方等于a，這個數(shù)叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么x叫做a的立方根。求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。

  2、一個數(shù)a的立方根，記作，讀作：“三次根號a”，其中a叫被開方數(shù)，3叫根指數(shù)，不能省略，若省略表示平方。

  3、一個正數(shù)有一個正的立方根；

 0有一個立方根，是它本身；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根； 任何數(shù)都有唯一的立方根。

4、利用開立方和立方互為逆運算關(guān)系，求一個數(shù)的立方根，就可以利用這種互逆關(guān)系，檢驗其正確性，求負(fù)數(shù)的立方根，可以先求出這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，再取其相反數(shù)，即。

   5、   <—>  

a是x的立方            x的立方是a

x是a的立方根         a的立方根是x

   6、，這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

三、實數(shù)

一、實數(shù)的概念及分類

無理數(shù)：像前面的很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)。

實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。

1、實數(shù)的分類

2、無理數(shù)

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：

（1）開方開不盡的數(shù)，如

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡后含有π的數(shù)，如+8等；

（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值   

1、相反數(shù)

實數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

數(shù)a的相反數(shù)是—a，這里a表示任意一個實數(shù)。

2、絕對值

一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|≥0。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

一個正實數(shù)的絕對值是它本身，一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是0。

正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。

3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。

4. 實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系：

每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來，

數(shù)軸上的點有些表示有理數(shù)，有些表示無理數(shù)，

實數(shù)與數(shù)軸上的點就是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都是表示一個實數(shù)。

三、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)   

1、有效數(shù)字

一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到右邊精確的數(shù)位止的所有數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

2、科學(xué)記數(shù)法

把一個數(shù)寫做±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

四、實數(shù)大小的比較   

1、數(shù)軸

規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要注意三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能靈活運用。

2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

   （3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，

（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則。

五、實數(shù)的運算   

 6、實數(shù)混合運算時，對于運算順序有什么規(guī)定？

實數(shù)混合運算時，將運算分為三級，加減為一級運算，乘除為二能為運算，乘方為三級運算。同級運算時，從左到右依次進行；不是同級的混合運算，先算乘方，再算乘除，而后才算加減；運算中如有括號時，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號的順序進行。

  7、有理數(shù)除法運算法則就什么？

兩有理數(shù)除法運算法則可用兩種方式來表述：第一，除以一個不等于零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；第二，兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。零除以任何一個不為零的數(shù)，商都是零。

  8、什么叫有理數(shù)的乘方？冪？底數(shù)？指數(shù)？

相同因數(shù)相乘積的運算叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪，相同因數(shù)的個數(shù)叫指數(shù)，這個因數(shù)叫底數(shù)。記作: an

  9、有理數(shù)乘方運算的法則是什么？

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)。零的任何正整數(shù)冪都是零。

10、加括號和去括號時各項的符號的變化規(guī)律是什么？

去（加）括號時如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去（加）括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)的式子相應(yīng)各項的符號相同；括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)去（加）括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項的符號相反。

平面直角坐標(biāo)系

一、平面直角坐標(biāo)系

有序數(shù)對

1．有序數(shù)對：用兩個數(shù)來表示一個確定的位置，其中兩個數(shù)各自表示不同的意義，我們把這種有順序的兩個數(shù)組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a,b） 

2.坐標(biāo)：數(shù)軸(或平面)上的點可以用一個數(shù)(或數(shù)對)來表示，這個數(shù)(或數(shù)對)叫做這個點的坐標(biāo)。

平面直角坐標(biāo)系

1．平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直，并且有公共原點的數(shù)軸。這樣我們就說在平面上建立了平面直角坐標(biāo)系，簡稱直角坐標(biāo)系。

2．X軸：水平的數(shù)軸叫X軸或橫軸。向右方向為正方向。

3．Y軸：豎直的數(shù)軸叫Y軸或縱軸。向上方向為正方向。

4．原點：兩個數(shù)軸的交點叫做平面直角坐標(biāo)系的原點。

對應(yīng)關(guān)系：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

坐標(biāo)：對于平面內(nèi)任一點P，過P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對應(yīng)的數(shù)a,b分別叫點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

象限

1．象限：X軸和Y軸把坐標(biāo)平面分成四個部分，也叫四個象限。右上面的叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數(shù)軸為界，橫軸、縱軸上的點及原點不屬于任何象限。一般，在x軸和y軸取相同的單位長度。

2．象限的特點： 

  1、特殊位置的點的坐標(biāo)的特點：

（1）x軸上的點的縱坐標(biāo)為零；y軸上的點的橫坐標(biāo)為零。

（2）第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)相等；

第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

（3）在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標(biāo)相同，則兩點的連線平行于縱軸；如果兩點的縱坐標(biāo)相同，則兩點的連線平行于橫軸。 

  2、點到軸及原點的距離：

點到x軸的距離為|y|； 

點到y(tǒng)軸的距離為|x|；

點到原點的距離為x的平方加y的平方再開根號； 

  3、三大規(guī)律

（1）平移規(guī)律：

點的平移規(guī)律   

左右平移→縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加；

上下平移→橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減。

圖形的平移規(guī)律 找特殊點

（2）對稱規(guī)律

   關(guān)于x軸對稱→橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；          

關(guān)于y軸對稱→橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；

關(guān)于原點對稱→橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。