考研數學《接力題典1800》：

接力題典1800是一本由復旦大學出版社出版的考研數學書籍，全書共有1800道接力題，涵蓋了考研數學中常見的基本知識點和重要考點，包括微積分、線性代數、概率論、數論、復變函數等。每一道題都給出了詳細的解題步驟，幫助考生更好地理解和掌握知識點，為考生備考考研數學打下堅實的基礎。

1.設$a,b,c$為實數，求解不等式$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}$的最小值。

解：

令$f(a,b,c)=\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}-\frac{a+b+c}{3}$，

由于$f(a,b,c)$是關于$a,b,c$的三次函數，且$f(a,b,c)$的偏導數都為正，

因此$f(a,b,c)$的最小值是$f(a,b,c)$的極小值，

設$f(a,b,c)$的極小值為$f_{min}$，

則$f(a,b,c)>f_{min}$，即$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}+f_{min}$。

令$a=b=c=1$，則$f(1,1,1)=\frac{1}{2}-\frac{3}{3}=\frac{-1}{2}$，

因此$f_{min}=\frac{-1}{2}$，

即不等式$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}$的最小值為$\frac{-1}{2}$。