考研數(shù)學(xué)《接力題典1800》：

接力題典1800是一本由復(fù)旦大學(xué)出版社出版的考研數(shù)學(xué)書籍，全書共有1800道接力題，涵蓋了考研數(shù)學(xué)中常見的基本知識點和重要考點，包括微積分、線性代數(shù)、概率論、數(shù)論、復(fù)變函數(shù)等。每一道題都給出了詳細的解題步驟，幫助考生更好地理解和掌握知識點，為考生備考考研數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。

1.設(shè)$a,b,c$為實數(shù)，求解不等式$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}$的最小值。

解：

令$f(a,b,c)=\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}-\frac{a+b+c}{3}$，

由于$f(a,b,c)$是關(guān)于$a,b,c$的三次函數(shù)，且$f(a,b,c)$的偏導(dǎo)數(shù)都為正，

因此$f(a,b,c)$的最小值是$f(a,b,c)$的極小值，

設(shè)$f(a,b,c)$的極小值為$f_{min}$，

則$f(a,b,c)>f_{min}$，即$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}+f_{min}$。

令$a=b=c=1$，則$f(1,1,1)=\frac{1}{2}-\frac{3}{3}=\frac{-1}{2}$，

因此$f_{min}=\frac{-1}{2}$，

即不等式$\frac{a^2}{2a-b}+\frac{b^2}{2b-c}+\frac{c^2}{2c-a}>\frac{a+b+c}{3}$的最小值為$\frac{-1}{2}$。