第一章 豐富的圖形世界

1.1生活中的立體圖形分類

知識點1 常見的幾何體及其特征

知識點2 幾何體的分類

常見的幾何體不僅可以按柱體、錐體、球分類，也可以按圍成的面分類。分類如下：

提醒：如果對于我們看到的物體，只研究它們的形狀、大小和位置關(guān)系，而不考慮顏色、質(zhì)量、原料等其他性質(zhì)時，就得到各種幾何體。

知識點3 棱柱的相關(guān)概念及其特征

1.棱柱的相關(guān)概念

在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱。

2.棱柱的特征

①棱柱的所有棱長都相等

②棱柱的上下底面形狀相同

③棱柱的側(cè)面形狀是平行四邊形

3.棱柱的分類

根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱......它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形......

4.棱柱中元素之間的關(guān)系

底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個頂點，3n條棱，其中有n條側(cè)棱，有（n+2）個面，n個側(cè)面。

知識點4 圓柱與棱柱的異同點

相同點都有兩個底面且上、下底面形狀、大小完全相同

不同點底面圓柱的底面是圓，棱柱的底面是多邊形

側(cè)面圓柱的側(cè)面是一個曲面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形

相同點都有兩個底面且上、下底面形狀、大小完全相同

不同點底面圓柱的底面是圓，棱柱的底面是多邊形

側(cè)面圓柱的側(cè)面是一個曲面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形

知識點5 圖形的構(gòu)成

1.圖形是由點、線、面構(gòu)成的，其中面有平面也有曲面；線有直線也有曲面，面與面相交得到線，線與線相交得到點。

2.用運動的觀點看點、線、面、體之間的關(guān)系

點動成線：把筆尖看作一個點，當筆尖在紙上移動時，就可畫出線；

線動成面：鐘表上的指針旋轉(zhuǎn)時可以形成一個圓面；

面動成體：長方形繞它一邊旋轉(zhuǎn)，形成一個圓柱體

1.2展開與折疊

知識點1 正方體的表面展開圖

知識點2 棱柱、棱錐的表面展開圖

（1）棱柱的表面展開圖是由兩個相同的多邊形和一些平行四邊形組成的。沿棱柱表面不同的棱剪開，可以得到不同組合方式的表面展開圖。如圖：

（2）棱錐的表面展開圖是由一個多邊形和一些三角形組成的。沿棱錐表面不同的棱剪開，可得到不同組合方式的表面展開圖。

知識點3 圓柱、圓錐的表面展開圖

（3）圓柱的表面展開圖是由兩個大小相同的圓和一個長方形組成的，其中長方形的一邊是底面圓的周長，另一邊的長是圓柱的高。

（4）圓錐的表面展開圖是由一個扇形和一個圓組成的，其中扇形的半徑長是圓錐的母線，而扇形的弧長是圓錐底面圓的周長。

1.3截一個幾何體

知識點1 截面

用一個平面去截幾何體，截出的面叫做截面，截面形狀通常為三角形、正方向、長方形、梯形、圓、橢圓等，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度與方向有關(guān)。

知識點2 截一個幾何體所得截面的形狀

1.4 三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

第二章 有理數(shù)及其運算

知識點1 有理數(shù)

1.用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量

（1）具有相反意義的量都具有數(shù)量

（2）具有相反意義的兩個量必須是同類量

2.有理數(shù)的定義：整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

3.有理數(shù)的分類：

（1）按定義分類：

（2）按符號分類

注意：有限小數(shù)和無線循環(huán)小數(shù)都是分數(shù)，都是有理數(shù)

知識點2 相反數(shù)

1.定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。

2.在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，且到原點的距離相等

3.互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和是0，即a+（-a）=0。

知識點3 數(shù)軸

1.定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。

2.數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度。

3.任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示（反過來說不對）。

4.同一數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

知識點4 倒數(shù)

1.乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)（乘積為-1的兩個有理數(shù)互為負倒數(shù)）。

2.如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。

3.倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1，0沒有倒數(shù)。

知識點5 絕對值

1.定義：在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離，叫做該數(shù)的絕對值，記作|a|

2.任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)，即|a|≥0

3. 正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0

知識點6 有理數(shù)比較大小

1.正數(shù)>0>負數(shù)

2.正數(shù)和正數(shù)比較大小，絕對值大的就大

3.負數(shù)和負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

知識點7 有理數(shù)的運算

1.運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的

2.運算律

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+bc

3.有理數(shù)加法法則

同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加；

異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值；

一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。

4.有理數(shù)減法法則

減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)

5.有理數(shù)的乘法法則

兩個數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘

任何數(shù)與0相乘，積仍為0

幾個不為0的因數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正；當負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負。

6.有理數(shù)的除法法則

兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除

0除以任何非0數(shù)都得0，0不可作為除數(shù)，否則無意義

除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)

有理數(shù)的乘方

7.有理數(shù)的乘方

幾個相同因數(shù)積的運算叫做乘方

注意：

（1）一個數(shù)可以看作是本身的一次方

（2）當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)

乘方運算性質(zhì)：

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)

（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，偶數(shù)次冪是正數(shù)

（3）任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負數(shù)，即a2≥0

（4）1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0

（5）-1的偶數(shù)次冪都得1，-1的奇次冪都得-1

知識點8 科學(xué)計數(shù)法

第三章 整式及其加減

3.1字母表示數(shù)

01 本節(jié)核心

字母可以表示任何數(shù)！！！！

02 用什么樣的字母表示數(shù)？

26個字母任何一個其實都是可以的，因為用來表示任何一個數(shù)時，它只是需要一個符號而已。但是一般情況下，我們常常用x表示。

03 字母表示數(shù)有何意義？

可以簡明地表達問題中的數(shù)量關(guān)系

舉個栗子~

第一個，圓的半徑可以表示為r，那么該圓的面積是Πr2，周長就是2Πr

第二個，我們在第一章學(xué)的，棱柱，還記得嗎？

n棱柱，有n+2個面，2n個頂點，3n條

04 用字母表示數(shù)要注意四點

1.在同一個問題中，不同的量用不同的字母表示。比如說，在長方形中，如果長用a表示，寬就不能用a表示了，可以用b表示，不然就會引起混亂。

2.在特定的情況下，有些字母表示的內(nèi)容有它特定的意義。比如說，在計算面積和周長時，習(xí)慣用s表示面積，c表示周長，h表示高。

3.用字母表示數(shù)時，數(shù)字和字母，字母和字母之間的乘號可以記作"·"或者省略不寫。

4.用字母表示數(shù)需要寫單位名稱時，如果是乘法和分數(shù)的形式，可以直接在后面寫上單位名稱，如果出現(xiàn)了+、-，請加上小括號再寫單位。比如說， (a+5)米 和 5/a 米 的區(qū)別。

3.2代數(shù)式

01 代數(shù)式的概念

用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

注意：

①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數(shù)式中不含有“=、>、<、≠”等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個代數(shù)式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。

01 代數(shù)式的書寫格式

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，通常省略不寫，如vt；

②數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；

③帶分數(shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)；

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號，即“×”號不省略；

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般寫成分數(shù)的形式；注意：分數(shù)線具有“÷”號和括號的雙重作用。

⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面。

3.3整式

定義：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

①單項式：都是數(shù)字和字母乘積的形式的代數(shù)式叫做單項式。單項式中，所有字母的指數(shù)之和叫做這個單項式的次數(shù)；數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。

注意：

1.單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式；

2.單獨一個非零數(shù)的次數(shù)是0；

3.當單項式的系數(shù)為1或-1時，這個“1”應(yīng)省略不寫，如-ab的系數(shù)是-1，a3b的系數(shù)是1。

②多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中，每個單項式叫做多項式的項；次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)。

3.3整式的加減

01 什么是同類項

1.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

2.注意：

①同類項有兩個條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數(shù)也相同。

②同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān)；

③幾個常數(shù)項也是同類項。

02 合并同類項法則

把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

03 去括號法則

①根據(jù)去括號法則去括號：

括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變符號；括號前面是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉，括號里各項都改變符號。

②根據(jù)分配律去括號：

括號前面是“+”號看成+1，括號前面是“－”號看成-1，根據(jù)乘法的分配律用+1或-1去乘括號里的每一項以達到去括號的目的。

04 添括號法則

添“＋”號和括號，添到括號里的各項符號都不改變；添“－”號和括號，添到括號里的各項符號都要改變。