第一章 豐富的圖形世界

1.1生活中的立體圖形分類

知識(shí)點(diǎn)1 常見(jiàn)的幾何體及其特征

知識(shí)點(diǎn)2 幾何體的分類

常見(jiàn)的幾何體不僅可以按柱體、錐體、球分類，也可以按圍成的面分類。分類如下：

提醒：如果對(duì)于我們看到的物體，只研究它們的形狀、大小和位置關(guān)系，而不考慮顏色、質(zhì)量、原料等其他性質(zhì)時(shí)，就得到各種幾何體。

知識(shí)點(diǎn)3 棱柱的相關(guān)概念及其特征

1.棱柱的相關(guān)概念

在棱柱中，相鄰兩個(gè)面的交線叫做棱，相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱。

2.棱柱的特征

①棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等

②棱柱的上下底面形狀相同

③棱柱的側(cè)面形狀是平行四邊形

3.棱柱的分類

根據(jù)底面圖形的邊數(shù)，將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱......它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形......

4.棱柱中元素之間的關(guān)系

底面多邊形的邊數(shù)n確定該棱柱是n棱柱，它有2n個(gè)頂點(diǎn)，3n條棱，其中有n條側(cè)棱，有（n+2）個(gè)面，n個(gè)側(cè)面。

知識(shí)點(diǎn)4 圓柱與棱柱的異同點(diǎn)

相同點(diǎn)都有兩個(gè)底面且上、下底面形狀、大小完全相同

不同點(diǎn)底面圓柱的底面是圓，棱柱的底面是多邊形

側(cè)面圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形

相同點(diǎn)都有兩個(gè)底面且上、下底面形狀、大小完全相同

不同點(diǎn)底面圓柱的底面是圓，棱柱的底面是多邊形

側(cè)面圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形

知識(shí)點(diǎn)5 圖形的構(gòu)成

1.圖形是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的，其中面有平面也有曲面；線有直線也有曲面，面與面相交得到線，線與線相交得到點(diǎn)。

2.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系

點(diǎn)動(dòng)成線：把筆尖看作一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)筆尖在紙上移動(dòng)時(shí)，就可畫出線；

線動(dòng)成面：鐘表上的指針旋轉(zhuǎn)時(shí)可以形成一個(gè)圓面；

面動(dòng)成體：長(zhǎng)方形繞它一邊旋轉(zhuǎn)，形成一個(gè)圓柱體

1.2展開(kāi)與折疊

知識(shí)點(diǎn)1 正方體的表面展開(kāi)圖

知識(shí)點(diǎn)2 棱柱、棱錐的表面展開(kāi)圖

（1）棱柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)相同的多邊形和一些平行四邊形組成的。沿棱柱表面不同的棱剪開(kāi)，可以得到不同組合方式的表面展開(kāi)圖。如圖：

（2）棱錐的表面展開(kāi)圖是由一個(gè)多邊形和一些三角形組成的。沿棱錐表面不同的棱剪開(kāi)，可得到不同組合方式的表面展開(kāi)圖。

知識(shí)點(diǎn)3 圓柱、圓錐的表面展開(kāi)圖

（3）圓柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)大小相同的圓和一個(gè)長(zhǎng)方形組成的，其中長(zhǎng)方形的一邊是底面圓的周長(zhǎng)，另一邊的長(zhǎng)是圓柱的高。

（4）圓錐的表面展開(kāi)圖是由一個(gè)扇形和一個(gè)圓組成的，其中扇形的半徑長(zhǎng)是圓錐的母線，而扇形的弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)。

1.3截一個(gè)幾何體

知識(shí)點(diǎn)1 截面

用一個(gè)平面去截幾何體，截出的面叫做截面，截面形狀通常為三角形、正方向、長(zhǎng)方形、梯形、圓、橢圓等，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度與方向有關(guān)。

知識(shí)點(diǎn)2 截一個(gè)幾何體所得截面的形狀

1.4 三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

第二章 有理數(shù)及其運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)1 有理數(shù)

1.用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量

（1）具有相反意義的量都具有數(shù)量

（2）具有相反意義的兩個(gè)量必須是同類量

2.有理數(shù)的定義：整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

3.有理數(shù)的分類：

（1）按定義分類：

（2）按符號(hào)分類

注意：有限小數(shù)和無(wú)線循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2 相反數(shù)

1.定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。

2.在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等

3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和是0，即a+（-a）=0。

知識(shí)點(diǎn)3 數(shù)軸

1.定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。

2.數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度。

3.任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示（反過(guò)來(lái)說(shuō)不對(duì)）。

4.同一數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

知識(shí)點(diǎn)4 倒數(shù)

1.乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)（乘積為-1的兩個(gè)有理數(shù)互為負(fù)倒數(shù)）。

2.如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。

3.倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1，0沒(méi)有倒數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)5 絕對(duì)值

1.定義：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值，記作|a|

2.任何數(shù)的絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0

3. 正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0

知識(shí)點(diǎn)6 有理數(shù)比較大小

1.正數(shù)>0>負(fù)數(shù)

2.正數(shù)和正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的就大

3.負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小

知識(shí)點(diǎn)7 有理數(shù)的運(yùn)算

1.運(yùn)算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的

2.運(yùn)算律

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

乘法對(duì)加法的分配律：a(b+c)=ab+bc

3.有理數(shù)加法法則

同號(hào)兩數(shù)相加，取相同符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大數(shù)的絕對(duì)值減去較小數(shù)的絕對(duì)值；

一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

4.有理數(shù)減法法則

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)

5.有理數(shù)的乘法法則

兩個(gè)數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘

任何數(shù)與0相乘，積仍為0

幾個(gè)不為0的因數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)。

6.有理數(shù)的除法法則

兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除

0除以任何非0數(shù)都得0，0不可作為除數(shù)，否則無(wú)意義

除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

有理數(shù)的乘方

7.有理數(shù)的乘方

幾個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算叫做乘方

注意：

（1）一個(gè)數(shù)可以看作是本身的一次方

（2）當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號(hào)將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)

乘方運(yùn)算性質(zhì)：

（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)

（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，偶數(shù)次冪是正數(shù)

（3）任何數(shù)的偶數(shù)次冪都是非負(fù)數(shù)，即a2≥0

（4）1的任何次冪都得1，0的任何次冪都得0

（5）-1的偶數(shù)次冪都得1，-1的奇次冪都得-1

知識(shí)點(diǎn)8 科學(xué)計(jì)數(shù)法

第三章 整式及其加減

3.1字母表示數(shù)

01 本節(jié)核心

字母可以表示任何數(shù)！！！！

02 用什么樣的字母表示數(shù)？

26個(gè)字母任何一個(gè)其實(shí)都是可以的，因?yàn)橛脕?lái)表示任何一個(gè)數(shù)時(shí)，它只是需要一個(gè)符號(hào)而已。但是一般情況下，我們常常用x表示。

03 字母表示數(shù)有何意義？

可以簡(jiǎn)明地表達(dá)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系

舉個(gè)栗子~

第一個(gè)，圓的半徑可以表示為r，那么該圓的面積是Πr2，周長(zhǎng)就是2Πr

第二個(gè)，我們?cè)诘谝徽聦W(xué)的，棱柱，還記得嗎？

n棱柱，有n+2個(gè)面，2n個(gè)頂點(diǎn)，3n條

04 用字母表示數(shù)要注意四點(diǎn)

1.在同一個(gè)問(wèn)題中，不同的量用不同的字母表示。比如說(shuō)，在長(zhǎng)方形中，如果長(zhǎng)用a表示，寬就不能用a表示了，可以用b表示，不然就會(huì)引起混亂。

2.在特定的情況下，有些字母表示的內(nèi)容有它特定的意義。比如說(shuō)，在計(jì)算面積和周長(zhǎng)時(shí)，習(xí)慣用s表示面積，c表示周長(zhǎng)，h表示高。

3.用字母表示數(shù)時(shí)，數(shù)字和字母，字母和字母之間的乘號(hào)可以記作"·"或者省略不寫。

4.用字母表示數(shù)需要寫單位名稱時(shí)，如果是乘法和分?jǐn)?shù)的形式，可以直接在后面寫上單位名稱，如果出現(xiàn)了+、-，請(qǐng)加上小括號(hào)再寫單位。比如說(shuō)， (a+5)米 和 5/a 米 的區(qū)別。

3.2代數(shù)式

01 代數(shù)式的概念

用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。

注意：

①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào)；

②代數(shù)式中不含有“=、>、<、≠”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義，是實(shí)際問(wèn)題的要符合實(shí)際問(wèn)題的意義。

01 代數(shù)式的書寫格式

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫，如vt；

②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)；

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號(hào)，即“×”號(hào)不省略；

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般寫成分?jǐn)?shù)的形式；注意：分?jǐn)?shù)線具有“÷”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。

⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來(lái)，再將單位名稱寫在式子的后面。

3.3整式

定義：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

①單項(xiàng)式：都是數(shù)字和字母乘積的形式的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)之和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)；數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。

注意：

1.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式；

2.單獨(dú)一個(gè)非零數(shù)的次數(shù)是0；

3.當(dāng)單項(xiàng)式的系數(shù)為1或-1時(shí)，這個(gè)“1”應(yīng)省略不寫，如-ab的系數(shù)是-1，a3b的系數(shù)是1。

②多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)；次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù)。

3.3整式的加減

01 什么是同類項(xiàng)

1.同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。

2.注意：

①同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：a.所含字母相同；b.相同字母的指數(shù)也相同。

②同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列順序無(wú)關(guān)；

③幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。

02 合并同類項(xiàng)法則

把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

03 去括號(hào)法則

①根據(jù)去括號(hào)法則去括號(hào)：

括號(hào)前面是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前面是“－”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“－”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。

②根據(jù)分配律去括號(hào)：

括號(hào)前面是“+”號(hào)看成+1，括號(hào)前面是“－”號(hào)看成-1，根據(jù)乘法的分配律用+1或-1去乘括號(hào)里的每一項(xiàng)以達(dá)到去括號(hào)的目的。

04 添括號(hào)法則

添“＋”號(hào)和括號(hào)，添到括號(hào)里的各項(xiàng)符號(hào)都不改變；添“－”號(hào)和括號(hào)，添到括號(hào)里的各項(xiàng)符號(hào)都要改變。