高等數(shù)學(xué)是高等院校大部分專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，是深入學(xué)習(xí)專業(yè)課程的必備基礎(chǔ). 培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和科學(xué)素養(yǎng)。  隨著數(shù)學(xué)在各學(xué)科中的應(yīng)用日益廣泛，無(wú)論將來(lái)從事科研工作還是教學(xué)工作，都應(yīng)該具備良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.本課程主要學(xué)習(xí)一元函數(shù)和多元函數(shù)的微積分學(xué)，以及無(wú)窮級(jí)數(shù)和常微分方程的主要內(nèi)容，是將來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)方法：1．注重理解，在理解的基礎(chǔ)上熟記基本概念、基本公式、基本定理。

2．通過(guò)典型例題加深對(duì)概念、性質(zhì)、定理的理解。

3．必須熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及基本積分公式。

4．強(qiáng)調(diào)基本概念的理解，而不注重概念的抽象性；

5．強(qiáng)調(diào)基本理論的實(shí)際應(yīng)用，而不強(qiáng)調(diào)理論的證明技巧；

6．強(qiáng)調(diào)基本計(jì)算方法的運(yùn)用，而不追求運(yùn)算的技巧。

第一章　函  數(shù)

[教學(xué)目的和要求]

1．理解鄰域及空心鄰域的概念及表示方法。

2．理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域，值域，能判定兩個(gè)函數(shù)是否相同。

3．掌握函數(shù)的三種表示法。

4．理解分段函數(shù)的定義。

5．掌握函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性，周期性，單調(diào)性，有界性。

6．會(huì)用奇偶性的定義判定函數(shù)的奇偶性，會(huì)用單調(diào)性定義判定函數(shù)的單調(diào)性。

7．了解反函數(shù)的定義，會(huì)求某些函數(shù)的反函數(shù)。

8．理解復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)把復(fù)合函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)。

9．掌握基本初等函數(shù)的定義，掌握六種基本初等函數(shù)的表達(dá)式，基本性質(zhì)，圖形，定義域，值域。

10．掌握初等函數(shù)的定義。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§1.1  實(shí)數(shù)與數(shù)軸

實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)

全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的全體點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

§1.2　實(shí)數(shù)的絕對(duì)值及其基本性質(zhì)

│x│的定義和幾何意義

§1.3　區(qū)間與鄰域

一、區(qū)間

有限區(qū)間：⑴開區(qū)間，⑵閉區(qū)間，⑶半開半閉區(qū)間， 

無(wú)限區(qū)間：⑷ 右端無(wú)限⑸ 左端無(wú)限⑹ 兩端無(wú)限  

全體實(shí)數(shù)集合：（－∞，＋∞）＝｛x│－∞＜x＜＋∞｝

區(qū)間的長(zhǎng)。

二、鄰域

鄰域，鄰域的中心，鄰域的半徑。空心鄰域。

§1.4  函數(shù)及其表示方法

一、函數(shù)定義

常量，變量，函數(shù)的定義，定義域，值域

定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則是確定函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)要素。

二、函數(shù)表示法

函數(shù)的表示法有三種：列表法，圖形法和公式法（解析法）。分段函數(shù)

§1.5　函數(shù)的基本性質(zhì)

函數(shù)的基本性質(zhì)有：奇偶性，周期性，單調(diào)性，有界性。

§1.6　反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)

一、反函數(shù)

在同一坐標(biāo)系中，y＝f(x)與y＝－1(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱

二、復(fù)合函數(shù)

§1.7　初等函數(shù)

一、基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)

二、初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

第二章　極限與連續(xù)

[教學(xué)目的和要求]

1．理解數(shù)列極限的定義。

2．掌握數(shù)列極限四則運(yùn)算法則和基本性質(zhì)，會(huì)求數(shù)列極限。

3．理解函數(shù)極限定義，會(huì)求函數(shù)極限。掌握左極限和右極限的定義，極限與左右極限的關(guān)系，會(huì)判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)極限存在與否。

4．掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

5．掌握無(wú)窮大與無(wú)窮小的定義與關(guān)系。

6．掌握無(wú)窮小的性質(zhì)。

7．掌握無(wú)窮小量階的比較。

8．理解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則。

9．熟記兩個(gè)重要極限，能運(yùn)用它們來(lái)計(jì)算相關(guān)極限。

10．掌握連續(xù)的概念及連續(xù)的表示方法。

11．能判定函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)。

12．理解左右連續(xù)的定義，能判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)是否連續(xù)。

13．理解函數(shù)在開區(qū)間及閉區(qū)間上連續(xù)的定義。

14．掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

15．掌握間斷點(diǎn)的定義，會(huì)求函數(shù)間斷點(diǎn)。

16．理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§2.1　數(shù)列的極限

數(shù)列定義。數(shù)列收斂發(fā)散的定義。數(shù)列極限四則運(yùn)算法則

數(shù)列極限的基本性質(zhì)：1．唯一性2．有界性3．常數(shù)列的極限是它本身。

§2.2　函數(shù)極限

x→∞時(shí)，函數(shù)(x)的極限；x→x0時(shí)，(x)的極限

左右極限定義。函數(shù)(x)在點(diǎn)x0處極限存在充分必要條件是在該點(diǎn)的左右極限都存在，并且相等。函數(shù)極限的性質(zhì)：1．唯一性2．有界性3．局部保號(hào)性.。極限四則運(yùn)算法則

§2.3  無(wú)窮大量與無(wú)窮小量

無(wú)窮大量，無(wú)窮小量定義，無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)，無(wú)窮小量的階（高階，低階，同階，等價(jià)）

§2.4  兩個(gè)重要極限

一、極限存在的準(zhǔn)則（夾擠法，單調(diào)有界原理）

二、兩個(gè)重要極限

（1）＝1    （2）＝e  或  ＝e 

§2.5  連續(xù)函數(shù)

增量定義，連續(xù)的概念，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的三層含義，左右連續(xù)定義，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，間斷點(diǎn)定義和類型。

§2.6　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

一、有界性  二、最大值，最小值定理  三、介值定理  四、根的存在性

第三章　導(dǎo)數(shù)與微分

[教學(xué)目的和要求]

1．掌握導(dǎo)數(shù)定義及表示方法，會(huì)用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)。

2．了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

3．理解導(dǎo)函數(shù)定義及表示方法。

4．掌握左右導(dǎo)數(shù)的定義及函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)的定義，會(huì)判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)是否可導(dǎo)。

5．掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

6．熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則。

7．掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

8．掌握隱函數(shù)求導(dǎo)方法及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

9．理解高階導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)。

10．掌握微分的定義及表示方法，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

11．掌握基本初等函數(shù)的微分公式及微分的四則運(yùn)算法則，會(huì)求微分。

12．了解一階微分的形式不變性。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§3.1　引入導(dǎo)數(shù)概念的例題（了解）

一、由平均速度求瞬時(shí)速度    二、由割線斜率求切線斜率

§3.2　導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)定義，用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，物理意義，左右導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

§3.3　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

§3.4  復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)再乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。若y＝[(x)] ,其中u=(x)，則＝·

二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（了解）

若y＝(x) 的反函數(shù)是x＝則 ＝

三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

四、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

（一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（熟記）

1．＝0          

2．＝α

3．＝  (a＞0，a≠1)    ＝

4．＝　　(a＞0，a≠1)　　＝

5．＝cosx      

6．＝－sinx

7．＝      

8．＝－

9．＝ 

10．＝－

11．＝　　　（－1＜x＜1）　

12．＝－　　（－1＜x＜1）

13．＝

14．＝－

（二）求導(dǎo)法則（熟記）

1．＝±   

2．＝＋　　＝C

3．＝　（v≠0）　　　＝　（v≠0）

4．＝　　其中y＝(u)　u＝

5．＝　　(≠0) （了解）

§3.5　高階導(dǎo)數(shù)

＝，＝sin（x＋n），＝cos（x＋n）

§3.6微分

一、微分的定義，（由導(dǎo)數(shù)基本公式可求出微分基本公式）

微分基本公式（熟記）

1．dC＝0        

2．d()＝αdx

3．d()＝dx　　（a＞0，a≠1） 

4．d(lnx) ＝dx

5．d() ＝lnadx　 　（a＞0，a≠1） 　

6．d() ＝dx

7．d(sinx) ＝cosxdx           

8．d(cosx) ＝－sinxdx

9．d(tgx) ＝＝dx 

10．d(ctgx) ＝－＝－dx

11．d(secx) ＝secx·tgxdx    

12．d(cscx) ＝－cscx·ctgxdx

13．d(arcsinx) ＝　(－1＜x＜1)

14．d(arccosx) ＝－　(－1＜x＜1)

15．d(arctgx) ＝dx        

16．d(arcctgx) ＝－dx

二、微分的運(yùn)算法則

1．d(u±v)＝du±dv             

2．d(uv) ＝udv＋vdu

3．d(Cv) ＝Cdv                

4．d()＝　(v≠0)

5．d()＝－dv

三．一階微分的形式不變性

第四章　中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

[教學(xué)目的和要求]

1．  掌握羅爾定理，拉格朗日定理的內(nèi)容及幾何意義，

了解柯西定理，掌握三個(gè)定理之間的關(guān)系。

2．掌握拉格朗日定理的兩個(gè)推論。

3．會(huì)驗(yàn)證某函數(shù)是否滿足某中值定理。

4．能熟練應(yīng)用羅必達(dá)法則求函數(shù)極限。

5．能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性。

6．掌握極值的定義，能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。

7．會(huì)求函數(shù)的最大最小值。

8．掌握曲線凸凹性及拐點(diǎn)的定義，能熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定凸凹性及拐點(diǎn)。

9．會(huì)求曲線的漸近線。

10．了解函數(shù)作圖。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§4.1　中值定理

羅爾定理，羅爾定理的幾何意義；拉格朗日定理，拉格朗日定理的幾何意義,

推論1，推論2，柯西中值定理

§4.2　未定式的定值法

一、型未定式（羅必達(dá)法則Ⅰ）

二、型未定式（羅必達(dá)法則Ⅱ）

0·∞型，∞—∞型 未定式可化為型或型

0°，，∞°型未定式可先取對(duì)數(shù)

§4.3　函數(shù)的單調(diào)性

§4.4  函數(shù)的極值

一、函數(shù)的極植  極大值（或極小值）

二、極值的判定與求法

駐點(diǎn)，極值存在的必要條件，極值存在的充分條件Ⅰ，極值存在的充分條件Ⅱ

三、函數(shù)的最大值和最小值

§4.5　曲線的凸凹性、拐點(diǎn)和漸近線

曲線的凸凹性及拐點(diǎn)，曲線的漸近線1．水平漸近線2．垂直漸近線3．斜漸近線

§4.6　函數(shù)作圖

第五章　不定積分

[教學(xué)目的和要求]

1．掌握原函數(shù)及不定積分的定義，不定積分的表示方法。

2．了解不定積分的幾何意義。

3．掌握不定積分的基本性質(zhì)。

4．熟記基本積分公式。

5．能準(zhǔn)確計(jì)算不定積分

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§5.1　原函數(shù)與不定積分

原函數(shù)定義，不定積分定義，不定積分的幾何意義

§5.2　不定積分的性質(zhì)        

一、基本積分公式（熟記）

1．＝C   （C為常數(shù)）

2．＝x＋C

3．＝  （a≠－1）

4．＝  （a＞0，a≠1）

5．＝

6．＝

7．＝

8．＝－  

9．＝        

10．＝    ＝－     

11．＝        

12．＝ln＋C

§5.4　不定積分的計(jì)算

直接積分法，換元積分法：第一類換元法（湊微分法），第二類換元法

§5.5　分部積分法

第六章　定 積 分

[教學(xué)目的和要求]

1．掌握定積分的定義及表示方法，了解定積分的幾何意義。

2．掌握定積分的基本性質(zhì)。

3．會(huì)求函數(shù)在區(qū)間上的平均值。

4．掌握定積分與不定積分的關(guān)系。

5．掌握原函數(shù)存在定理。

6．會(huì)求變限積分的導(dǎo)數(shù)。

7．能應(yīng)用換元法，分部積分法等方法準(zhǔn)確計(jì)算定積分。

8．會(huì)利用定積分求平面圖形的面積和了解旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算。

9．了解廣義積分的定義和廣義積分的斂散性的判定。

10．了解Г函數(shù)的定義，基本性質(zhì)及簡(jiǎn)單計(jì)算。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§6.1  定積分的概念

一、引出定積分概念的例題

1．求曲邊梯形的面積 

2．求變速直線運(yùn)動(dòng)的距離

二、定積分的定義，定積分的幾何意義

§6.2  定積分的基本性質(zhì)

§6.3  定積分與不定積分的關(guān)系

原函數(shù)存在定理

§6.4  定積分的計(jì)算

一、定積分的換元積分法

二、定積分的分部積分法

§6.5  定積分的應(yīng)用

一、求平面圖形的面積

二、求立體的體積

1．已知平行截面面積求體積（了解）

2．旋轉(zhuǎn)體的體積

Vx＝π， Vy＝π

§6.6  廣義積分與Г函數(shù)

廣義積分定義，收斂，發(fā)散定義1．無(wú)限區(qū)間上的廣義積分2.無(wú)界函數(shù)的廣義積分，Г函數(shù)定義，性質(zhì)

第七章　多元函數(shù)

[教學(xué)目的和要求]

1．了解空間直角坐標(biāo)系。

2．理解二元函數(shù)的定義，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。

3．了解二元函數(shù)的極限及連續(xù)的定義，二元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的基本性質(zhì)。

4．掌握一階，二階偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算。

5．掌握全微分的定義及計(jì)算方法。

6．掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

7．掌握隱函數(shù)微分法。

8．掌握二元函數(shù)極值的定義及計(jì)算。

9.掌握二重積分的定義及基本性質(zhì)，了解二重積分的幾何意義

10．掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。了解極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§7. 1　空間解析幾何

一、空間直角坐標(biāo)系    二、空間任意兩點(diǎn)間的距離

§7.2　多元函數(shù)

一、多元函數(shù)的定義    二、二元函數(shù)的定義域

§7.3　二元函數(shù)的極限與連續(xù)

§7.4　偏導(dǎo)數(shù)

增量，一階偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)

§7.5　全微分

§7.6　多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

§7.7　隱函數(shù)微分法

§7.8　二元函數(shù)的極值

§7.9　二重積分

二重積分定義，性質(zhì)，計(jì)算

第八章　微分方程與差分方程

[教學(xué)目的和要求]

1．掌握微分方程，方程的階數(shù)，通解，特解的概念。

2．掌握一階微分方程的解法。

3．掌握幾種二階微分方程的解法。

4．掌握差分的概念及計(jì)算。

5．了解差分方程的相關(guān)概念。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§8.1　微分方程的一般概念

§8.2　一階微分方程

一、變量可分離的一階微分方程

二、齊次方程

三、一階線性非齊次微分方程

§8.3  幾種二階微分方程

一、最簡(jiǎn)單的二階微分方程

二、不顯含y的二階微分方程

三、不顯含自變量x的二階微分方程

§8.4　二階常系數(shù)線性微分方程

§8.5　差分方程的一般概念

第九章　無(wú)窮級(jí)數(shù)

[教學(xué)目的和要求]

1．掌握無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念，表示方法及斂散性的定義。

2．掌握無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義及斂散性判別法。

4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別法。

5．能判定級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂。

6．掌握冪級(jí)數(shù)的定義，會(huì)計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。

7．了解冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的計(jì)算方法。

8．了解泰勒級(jí)數(shù)的計(jì)算方法。

9．了解函數(shù)馬克勞林展開式的計(jì)算方法。

[教學(xué)基本內(nèi)容]

§9.1　無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念

§9.2　無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

§9.3　正項(xiàng)級(jí)數(shù)

§9.4　任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂

§9.5　冪級(jí)數(shù)

§9.6　泰勒級(jí)數(shù)