一、課程定位與核心目標

本課程由湯家鳳老師主講，專為數(shù)學基礎薄弱、甚至零數(shù)學基礎的考研學子設計，核心解決 “考研數(shù)學知識點繁雜、入門難、解題無思路” 的痛點。課程嚴格對標考研數(shù)學（數(shù)一數(shù)二數(shù)三）考綱，以 “循序漸進、層層拆解” 為原則，從最基礎的預備知識切入，逐步構建高等數(shù)學與線性代數(shù)的完整知識體系，幫助學生理解核心概念、掌握定理推導邏輯，最終形成 “概念→定理→解題方法” 的連貫思維，為后續(xù)強化沖刺階段打下堅實基礎，同時培養(yǎng)應對考研數(shù)學真題的解題能力與應試技巧。

二、課程核心內容模塊

（一）預備導論：零基礎入門銜接（掃清入門障礙）

課程以 “1--01 零基礎課程導論及預備章節(jié)” 為起點，精準對接零基礎學員需求：

先明確考研數(shù)學的考查范圍、試卷結構及備考規(guī)劃（如 “基礎階段重概念、強化階段練題型”），幫助學員建立清晰的備考認知；

系統(tǒng)梳理 “零基礎高等數(shù)學入門知識”，包括中學數(shù)學與大學數(shù)學的銜接內容（如函數(shù)的基本表示方法、簡單代數(shù)式運算技巧），填補基礎漏洞，避免因前置知識缺失導致后續(xù)學習斷層，讓零數(shù)學基礎學員也能平穩(wěn)進入高等數(shù)學學習狀態(tài)。

（二）高等數(shù)學核心模塊（考研數(shù)學占比最高，分章節(jié)突破）

高等數(shù)學是考研數(shù)學的核心板塊（數(shù)一數(shù)三占比 56%，數(shù)二占比 78%），課程按 “函數(shù)→導數(shù)→積分→微分方程→多元函數(shù)→二重積分” 的邏輯遞進，每個章節(jié)均從 “概念理解→定理推導→例題解析→解題方法” 展開：

1. 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)（高數(shù)基礎根基）

作為高等數(shù)學的入門章節(jié)，課程用 5 節(jié)內容（2--02 至 6--06）打牢基礎：

函數(shù)基礎：詳解 “1.1 函數(shù)及函數(shù)的初等特性”，包括函數(shù)的定義、定義域與值域求解、奇偶性 / 單調性 / 周期性 / 有界性的判斷方法，結合實例辨析易混函數(shù)類型（如分段函數(shù)、復合函數(shù)），為后續(xù)學習鋪墊；

極限核心：從 “1.2 極限” 的定義（數(shù)列極限、函數(shù)極限）切入，延伸到 “1.3 無窮小與無窮大” 的概念、性質及相互關系，重點講解 “1.4 極限存在準則（夾逼準則、單調有界準則）與重要極限（兩個重要極限公式）” 的推導與應用，幫助學員掌握極限計算的基礎方法；

連續(xù)與間斷：解析 “1.5 連續(xù)與間斷” 的定義，判斷函數(shù)連續(xù)性的方法，以及間斷點的分類（第一類、第二類）與判定技巧，應對考研中 “函數(shù)連續(xù)性” 的基礎考點。

2. 第二章 導數(shù)與微分（高數(shù)計算核心）

聚焦 “導數(shù)與微分” 的計算邏輯，為后續(xù)中值定理、積分學習奠基（7--07 至 8--08）：

基礎概念與性質：講解 “2.1 導數(shù)與微分的基本概念與性質”，包括導數(shù)的定義（瞬時變化率）、幾何意義（切線斜率）、微分的定義與近似計算，以及基本求導公式（冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等）與求導法則（四則運算、復合函數(shù)求導）；

特殊函數(shù)求導：針對 “2.2 隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)”，拆解隱函數(shù)求導步驟（等式兩邊同時求導、整理求解）、參數(shù)方程求導公式與應用，解決考研中 “非顯式函數(shù)求導” 的高頻題型。

3. 第三章 中值定理與導數(shù)的應用（高數(shù)難點突破）

作為考研高數(shù)的重難點，課程用 4 節(jié)內容（9--09 至 12--12）深度拆解，降低理解難度：

中值定理與洛必達法則：分 3 節(jié)（3.1 一至三）詳解羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件、結論與幾何意義，結合例題講解定理的證明思路與應用場景（如證明不等式、判斷函數(shù)單調性）；同時系統(tǒng)講解洛必達法則的適用條件（0/0 型、∞/∞型未定式）、使用步驟及注意事項，解決 “極限計算” 的難點題型；

一元微分學應用：通過 “3.2 一元微分學應用”，講解函數(shù)的單調性與極值、凹凸性與拐點、函數(shù)最值的求解方法，以及曲率的計算（數(shù)一數(shù)二考綱要求），結合真題實例演示 “如何用微分學知識解決實際應用問題”。

4. 第四章 不定積分（積分學基礎）

圍繞 “積分是導數(shù)的逆運算” 核心邏輯，拆解不定積分的計算方法（13--13 至 15--15）：

基礎概念與性質：解析 “4.1 不定積分的基本概念與性質”，包括原函數(shù)的定義、不定積分的幾何意義（積分曲線族），以及不定積分的基本公式與運算法則；

核心積分法：重點講解 “4.2 積分法”，包括第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法（三角代換、倒代換等）、分部積分法的適用場景與操作步驟，通過典型例題強化方法應用；

特殊函數(shù)積分：針對 “4.3 兩類特殊函數(shù)的不定積分”（有理函數(shù)積分、三角函數(shù)有理式積分），總結標準化的積分步驟，幫助學員應對 “復雜函數(shù)積分” 的難點題型。

5. 第五章 定積分及應用（積分學重點與應用）

銜接不定積分，聚焦定積分的概念、計算與實際應用（16--16 至 20--20）：

基礎概念與性質：講解 “5.1 定積分基本概念與性質”，包括定積分的定義（曲邊梯形面積）、幾何意義，以及單調性、奇偶性、周期性等特殊性質的應用（簡化定積分計算）；

核心定理與計算：用 2 節(jié)（5.2 一至二）詳解 “牛頓 - 萊布尼茨公式”（定積分與不定積分的橋梁），以及定積分的換元法、分部積分法，結合例題演示 “如何利用定積分性質與定理簡化計算”；

反常積分與應用：解析 “5.3 反常積分”（無窮限反常積分、無界函數(shù)反常積分）的定義與斂散性判斷方法，以及 “5.4 定積分的幾何應用”（求平面圖形面積、旋轉體體積、平行截面面積已知的立體體積），貼合考研中 “積分應用” 的高頻考點。

6. 第六章 微分方程（高數(shù)應用模塊）

圍繞 “建立方程、求解方程” 展開，覆蓋考研常考題型（21--21 至 23--23）：

基礎概念與一階方程：講解 “6.1 微分方程基本概念（階、解、通解、特解）”，以及一階微分方程（可分離變量方程、齊次方程、一階線性微分方程）的求解方法，結合實例演示 “如何根據(jù)實際問題建立一階微分方程”；

高階方程求解：針對 “6.2 可降階的高階微分方程”（y''=f (x) 型、y''=f (x,y') 型、y''=f (y,y') 型），講解降階技巧；解析 “6.3 高階線性微分方程” 的解的結構（齊次方程通解、非齊次方程特解與通解），以及二階常系數(shù)齊次 / 非齊次線性微分方程的求解公式，應對考研中 “高階微分方程” 的考點。

7. 第七章 多元函數(shù)微分學（高數(shù)拓展模塊）

從 “一元函數(shù)” 延伸到 “多元函數(shù)”，聚焦核心概念與計算（24--24 至 27--27）：

基礎概念與全微分：講解 “7.1 多元函數(shù)微分學的基本概念”（定義域、極限、連續(xù)性），以及 “7.2 全微分” 的定義、存在條件與近似計算，幫助學員理解 “多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系”；

求導法則與極值：重點講解 “7.3 多元函數(shù)求導法則”（偏導數(shù)、全導數(shù)、復合函數(shù)求導、隱函數(shù)求導），通過例題強化計算步驟；解析 “7.4 多元函數(shù)的極值”（無條件極值、條件極值（拉格朗日乘數(shù)法））的求解方法，結合實際應用問題（如最值優(yōu)化）演示解題思路。

8. 第八章 二重積分（積分學多元拓展）

針對考研中 “二重積分” 的核心考點，分步驟拆解（28--29 至 29--28）：

基礎概念與性質：講解 “8.1 二重積分的概念與性質”（定義、幾何意義、基本性質），類比定積分幫助學員理解；

計算方法：重點講解 “8.2 二重積分的計算方法”，包括直角坐標系下的累次積分（X 型區(qū)域、Y 型區(qū)域）、極坐標系下的累次積分（適用于圓域或圓環(huán)域），以及積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性在簡化計算中的應用，解決 “二重積分計算” 的核心難點。

（三）線性代數(shù)模塊（考研數(shù)學重要分支）

線性代數(shù)占考研數(shù)學分值約 22%（數(shù)一數(shù)二數(shù)三一致），課程按 “行列式→矩陣→向量→線性方程組→特征值與特征向量” 的邏輯遞進，貼合考研線性代數(shù)的命題規(guī)律（30--30 至 38--38）：

1. 第一章 行列式（線代基礎）

講解 “行列式的定義（n 階行列式）、性質（如交換行 / 列行列式變號、某行 / 列乘常數(shù)行列式變倍等）”，以及行列式的計算方法（對角線法則、展開定理、化為上三角 / 下三角行列式），重點突破 “n 階行列式計算” 的技巧，為后續(xù)矩陣、線性方程組學習鋪墊。

2. 第二章 矩陣（線代核心工具）

用 3 節(jié)內容（02 至 04）深度拆解矩陣的核心知識：

包括矩陣的定義、類型（單位矩陣、對角矩陣、對稱矩陣等）、運算（加法、數(shù)乘、乘法、轉置、逆矩陣），以及矩陣的秩的定義、性質與計算方法；

重點講解 “逆矩陣的求解”（伴隨矩陣法、初等變換法）與 “矩陣的初等變換”（行變換、列變換）的應用（如求秩、求逆矩陣、解線性方程組），掌握線性代數(shù)的 “核心運算工具”。

3. 第三章 向量（線代抽象模塊）

聚焦向量組的線性關系，是線性代數(shù)的難點（05 至 06）：

講解向量的定義、線性運算，以及向量組的線性表示（一個向量由向量組表示、兩個向量組等價）、線性相關性（線性相關與線性無關的定義、判定定理）；

結合矩陣的秩與行列式，推導 “向量組線性相關性的判定方法”，解決考研中 “向量組線性關系” 的抽象題型。

4. 第四章 線性方程組（線代應用核心）

圍繞 “線性方程組的解的判定與求解” 展開：

講解齊次線性方程組（AX=0）的基礎解系、通解的求解方法，以及非齊次線性方程組（AX=b）的解的存在性判定（無解、有唯一解、有無窮多解）與通解的求解步驟；

結合向量組的線性關系，推導 “線性方程組解的結構”，幫助學員建立 “矩陣→向量→線性方程組” 的關聯(lián)思維，應對考研中 “線性方程組” 的高頻大題。

5. 第五章 特征值與特征向量（線代高頻考點）

針對 “特征值與特征向量” 的定義、性質與應用：

講解特征值與特征向量的求解方法（解特征方程 | A-λE|=0 求特征值，解齊次方程組 (A-λE) X=0 求特征向量）；

延伸到矩陣的相似對角化（相似矩陣的定義、性質，矩陣可相似對角化的條件），為后續(xù)二次型（數(shù)一數(shù)三考綱要求）學習鋪墊，貼合考研中 “特征值與特征向量” 的大題考點。

三、課程特色與學習價值

零基礎友好，層層遞進：從預備知識切入，每個知識點均從 “定義→定理→例題” 逐步拆解，避免跳躍式講解，零數(shù)學基礎學員可跟隨節(jié)奏逐步消化，無需擔心 “跟不上”；

重概念更重解題：湯家鳳老師擅長 “用例題講方法”，每個知識點后均配套典型例題（基礎題、中檔題），解析解題步驟與思路，幫助學員從 “理解概念” 過渡到 “會做題、做對題”；

貼合考研考綱，考點明確：課程內容嚴格對標考研數(shù)學大綱，剔除超綱內容，重點突出高頻考點（如中值定理、積分計算、線性方程組、特征值），幫助學員節(jié)省備考時間，精準發(fā)力；

體系化構建，拒絕零散：每個模塊結尾均隱含 “知識串聯(lián)” 邏輯（如 “導數(shù)→中值定理→積分” 的關聯(lián)、“矩陣→向量→線性方程組” 的銜接），幫助學員構建完整的數(shù)學知識框架，避免 “學了后面忘前面”。

四、適用人群

數(shù)學基礎薄弱（如本科未學高數(shù) / 線代、中學數(shù)學基礎差）的考研學子；

備考初期（基礎階段）需要系統(tǒng)梳理考研數(shù)學知識點、打牢基礎的學員；

對高等數(shù)學、線性代數(shù)概念模糊，想從 “零” 開始建立解題思維的考生；

目標分數(shù)中等偏上（如數(shù)學想考 90+），需要扎實基礎支撐后續(xù)強化沖刺的學員。