一、課程定位與核心目標(biāo)

本課程由湯家鳳老師主講，專為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、甚至零數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考研學(xué)子設(shè)計(jì)，核心解決 “考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)繁雜、入門難、解題無(wú)思路” 的痛點(diǎn)。課程嚴(yán)格對(duì)標(biāo)考研數(shù)學(xué)（數(shù)一數(shù)二數(shù)三）考綱，以 “循序漸進(jìn)、層層拆解” 為原則，從最基礎(chǔ)的預(yù)備知識(shí)切入，逐步構(gòu)建高等數(shù)學(xué)與線性代數(shù)的完整知識(shí)體系，幫助學(xué)生理解核心概念、掌握定理推導(dǎo)邏輯，最終形成 “概念→定理→解題方法” 的連貫思維，為后續(xù)強(qiáng)化沖刺階段打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)應(yīng)對(duì)考研數(shù)學(xué)真題的解題能力與應(yīng)試技巧。

二、課程核心內(nèi)容模塊

（一）預(yù)備導(dǎo)論：零基礎(chǔ)入門銜接（掃清入門障礙）

課程以 “1--01 零基礎(chǔ)課程導(dǎo)論及預(yù)備章節(jié)” 為起點(diǎn)，精準(zhǔn)對(duì)接零基礎(chǔ)學(xué)員需求：

先明確考研數(shù)學(xué)的考查范圍、試卷結(jié)構(gòu)及備考規(guī)劃（如 “基礎(chǔ)階段重概念、強(qiáng)化階段練題型”），幫助學(xué)員建立清晰的備考認(rèn)知；

系統(tǒng)梳理 “零基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)入門知識(shí)”，包括中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接內(nèi)容（如函數(shù)的基本表示方法、簡(jiǎn)單代數(shù)式運(yùn)算技巧），填補(bǔ)基礎(chǔ)漏洞，避免因前置知識(shí)缺失導(dǎo)致后續(xù)學(xué)習(xí)斷層，讓零數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)員也能平穩(wěn)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)。

（二）高等數(shù)學(xué)核心模塊（考研數(shù)學(xué)占比最高，分章節(jié)突破）

高等數(shù)學(xué)是考研數(shù)學(xué)的核心板塊（數(shù)一數(shù)三占比 56%，數(shù)二占比 78%），課程按 “函數(shù)→導(dǎo)數(shù)→積分→微分方程→多元函數(shù)→二重積分” 的邏輯遞進(jìn)，每個(gè)章節(jié)均從 “概念理解→定理推導(dǎo)→例題解析→解題方法” 展開(kāi)：

1. 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)（高數(shù)基礎(chǔ)根基）

作為高等數(shù)學(xué)的入門章節(jié)，課程用 5 節(jié)內(nèi)容（2--02 至 6--06）打牢基礎(chǔ)：

函數(shù)基礎(chǔ)：詳解 “1.1 函數(shù)及函數(shù)的初等特性”，包括函數(shù)的定義、定義域與值域求解、奇偶性 / 單調(diào)性 / 周期性 / 有界性的判斷方法，結(jié)合實(shí)例辨析易混函數(shù)類型（如分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)），為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪墊；

極限核心：從 “1.2 極限” 的定義（數(shù)列極限、函數(shù)極限）切入，延伸到 “1.3 無(wú)窮小與無(wú)窮大” 的概念、性質(zhì)及相互關(guān)系，重點(diǎn)講解 “1.4 極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則）與重要極限（兩個(gè)重要極限公式）” 的推導(dǎo)與應(yīng)用，幫助學(xué)員掌握極限計(jì)算的基礎(chǔ)方法；

連續(xù)與間斷：解析 “1.5 連續(xù)與間斷” 的定義，判斷函數(shù)連續(xù)性的方法，以及間斷點(diǎn)的分類（第一類、第二類）與判定技巧，應(yīng)對(duì)考研中 “函數(shù)連續(xù)性” 的基礎(chǔ)考點(diǎn)。

2. 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分（高數(shù)計(jì)算核心）

聚焦 “導(dǎo)數(shù)與微分” 的計(jì)算邏輯，為后續(xù)中值定理、積分學(xué)習(xí)奠基（7--07 至 8--08）：

基礎(chǔ)概念與性質(zhì)：講解 “2.1 導(dǎo)數(shù)與微分的基本概念與性質(zhì)”，包括導(dǎo)數(shù)的定義（瞬時(shí)變化率）、幾何意義（切線斜率）、微分的定義與近似計(jì)算，以及基本求導(dǎo)公式（冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等）與求導(dǎo)法則（四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）；

特殊函數(shù)求導(dǎo)：針對(duì) “2.2 隱函數(shù)及參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”，拆解隱函數(shù)求導(dǎo)步驟（等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)、整理求解）、參數(shù)方程求導(dǎo)公式與應(yīng)用，解決考研中 “非顯式函數(shù)求導(dǎo)” 的高頻題型。

3. 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（高數(shù)難點(diǎn)突破）

作為考研高數(shù)的重難點(diǎn)，課程用 4 節(jié)內(nèi)容（9--09 至 12--12）深度拆解，降低理解難度：

中值定理與洛必達(dá)法則：分 3 節(jié)（3.1 一至三）詳解羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件、結(jié)論與幾何意義，結(jié)合例題講解定理的證明思路與應(yīng)用場(chǎng)景（如證明不等式、判斷函數(shù)單調(diào)性）；同時(shí)系統(tǒng)講解洛必達(dá)法則的適用條件（0/0 型、∞/∞型未定式）、使用步驟及注意事項(xiàng)，解決 “極限計(jì)算” 的難點(diǎn)題型；

一元微分學(xué)應(yīng)用：通過(guò) “3.2 一元微分學(xué)應(yīng)用”，講解函數(shù)的單調(diào)性與極值、凹凸性與拐點(diǎn)、函數(shù)最值的求解方法，以及曲率的計(jì)算（數(shù)一數(shù)二考綱要求），結(jié)合真題實(shí)例演示 “如何用微分學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題”。

4. 第四章 不定積分（積分學(xué)基礎(chǔ)）

圍繞 “積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算” 核心邏輯，拆解不定積分的計(jì)算方法（13--13 至 15--15）：

基礎(chǔ)概念與性質(zhì)：解析 “4.1 不定積分的基本概念與性質(zhì)”，包括原函數(shù)的定義、不定積分的幾何意義（積分曲線族），以及不定積分的基本公式與運(yùn)算法則；

核心積分法：重點(diǎn)講解 “4.2 積分法”，包括第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法（三角代換、倒代換等）、分部積分法的適用場(chǎng)景與操作步驟，通過(guò)典型例題強(qiáng)化方法應(yīng)用；

特殊函數(shù)積分：針對(duì) “4.3 兩類特殊函數(shù)的不定積分”（有理函數(shù)積分、三角函數(shù)有理式積分），總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)化的積分步驟，幫助學(xué)員應(yīng)對(duì) “復(fù)雜函數(shù)積分” 的難點(diǎn)題型。

5. 第五章 定積分及應(yīng)用（積分學(xué)重點(diǎn)與應(yīng)用）

銜接不定積分，聚焦定積分的概念、計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用（16--16 至 20--20）：

基礎(chǔ)概念與性質(zhì)：講解 “5.1 定積分基本概念與性質(zhì)”，包括定積分的定義（曲邊梯形面積）、幾何意義，以及單調(diào)性、奇偶性、周期性等特殊性質(zhì)的應(yīng)用（簡(jiǎn)化定積分計(jì)算）；

核心定理與計(jì)算：用 2 節(jié)（5.2 一至二）詳解 “牛頓 - 萊布尼茨公式”（定積分與不定積分的橋梁），以及定積分的換元法、分部積分法，結(jié)合例題演示 “如何利用定積分性質(zhì)與定理簡(jiǎn)化計(jì)算”；

反常積分與應(yīng)用：解析 “5.3 反常積分”（無(wú)窮限反常積分、無(wú)界函數(shù)反常積分）的定義與斂散性判斷方法，以及 “5.4 定積分的幾何應(yīng)用”（求平面圖形面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平行截面面積已知的立體體積），貼合考研中 “積分應(yīng)用” 的高頻考點(diǎn)。

6. 第六章 微分方程（高數(shù)應(yīng)用模塊）

圍繞 “建立方程、求解方程” 展開(kāi)，覆蓋考研常考題型（21--21 至 23--23）：

基礎(chǔ)概念與一階方程：講解 “6.1 微分方程基本概念（階、解、通解、特解）”，以及一階微分方程（可分離變量方程、齊次方程、一階線性微分方程）的求解方法，結(jié)合實(shí)例演示 “如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一階微分方程”；

高階方程求解：針對(duì) “6.2 可降階的高階微分方程”（y''=f (x) 型、y''=f (x,y') 型、y''=f (y,y') 型），講解降階技巧；解析 “6.3 高階線性微分方程” 的解的結(jié)構(gòu)（齊次方程通解、非齊次方程特解與通解），以及二階常系數(shù)齊次 / 非齊次線性微分方程的求解公式，應(yīng)對(duì)考研中 “高階微分方程” 的考點(diǎn)。

7. 第七章 多元函數(shù)微分學(xué)（高數(shù)拓展模塊）

從 “一元函數(shù)” 延伸到 “多元函數(shù)”，聚焦核心概念與計(jì)算（24--24 至 27--27）：

基礎(chǔ)概念與全微分：講解 “7.1 多元函數(shù)微分學(xué)的基本概念”（定義域、極限、連續(xù)性），以及 “7.2 全微分” 的定義、存在條件與近似計(jì)算，幫助學(xué)員理解 “多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系”；

求導(dǎo)法則與極值：重點(diǎn)講解 “7.3 多元函數(shù)求導(dǎo)法則”（偏導(dǎo)數(shù)、全導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)），通過(guò)例題強(qiáng)化計(jì)算步驟；解析 “7.4 多元函數(shù)的極值”（無(wú)條件極值、條件極值（拉格朗日乘數(shù)法））的求解方法，結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題（如最值優(yōu)化）演示解題思路。

8. 第八章 二重積分（積分學(xué)多元拓展）

針對(duì)考研中 “二重積分” 的核心考點(diǎn)，分步驟拆解（28--29 至 29--28）：

基礎(chǔ)概念與性質(zhì)：講解 “8.1 二重積分的概念與性質(zhì)”（定義、幾何意義、基本性質(zhì)），類比定積分幫助學(xué)員理解；

計(jì)算方法：重點(diǎn)講解 “8.2 二重積分的計(jì)算方法”，包括直角坐標(biāo)系下的累次積分（X 型區(qū)域、Y 型區(qū)域）、極坐標(biāo)系下的累次積分（適用于圓域或圓環(huán)域），以及積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性在簡(jiǎn)化計(jì)算中的應(yīng)用，解決 “二重積分計(jì)算” 的核心難點(diǎn)。

（三）線性代數(shù)模塊（考研數(shù)學(xué)重要分支）

線性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)分值約 22%（數(shù)一數(shù)二數(shù)三一致），課程按 “行列式→矩陣→向量→線性方程組→特征值與特征向量” 的邏輯遞進(jìn)，貼合考研線性代數(shù)的命題規(guī)律（30--30 至 38--38）：

1. 第一章 行列式（線代基礎(chǔ)）

講解 “行列式的定義（n 階行列式）、性質(zhì)（如交換行 / 列行列式變號(hào)、某行 / 列乘常數(shù)行列式變倍等）”，以及行列式的計(jì)算方法（對(duì)角線法則、展開(kāi)定理、化為上三角 / 下三角行列式），重點(diǎn)突破 “n 階行列式計(jì)算” 的技巧，為后續(xù)矩陣、線性方程組學(xué)習(xí)鋪墊。

2. 第二章 矩陣（線代核心工具）

用 3 節(jié)內(nèi)容（02 至 04）深度拆解矩陣的核心知識(shí)：

包括矩陣的定義、類型（單位矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱矩陣等）、運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆矩陣），以及矩陣的秩的定義、性質(zhì)與計(jì)算方法；

重點(diǎn)講解 “逆矩陣的求解”（伴隨矩陣法、初等變換法）與 “矩陣的初等變換”（行變換、列變換）的應(yīng)用（如求秩、求逆矩陣、解線性方程組），掌握線性代數(shù)的 “核心運(yùn)算工具”。

3. 第三章 向量（線代抽象模塊）

聚焦向量組的線性關(guān)系，是線性代數(shù)的難點(diǎn)（05 至 06）：

講解向量的定義、線性運(yùn)算，以及向量組的線性表示（一個(gè)向量由向量組表示、兩個(gè)向量組等價(jià)）、線性相關(guān)性（線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義、判定定理）；

結(jié)合矩陣的秩與行列式，推導(dǎo) “向量組線性相關(guān)性的判定方法”，解決考研中 “向量組線性關(guān)系” 的抽象題型。

4. 第四章 線性方程組（線代應(yīng)用核心）

圍繞 “線性方程組的解的判定與求解” 展開(kāi)：

講解齊次線性方程組（AX=0）的基礎(chǔ)解系、通解的求解方法，以及非齊次線性方程組（AX=b）的解的存在性判定（無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解）與通解的求解步驟；

結(jié)合向量組的線性關(guān)系，推導(dǎo) “線性方程組解的結(jié)構(gòu)”，幫助學(xué)員建立 “矩陣→向量→線性方程組” 的關(guān)聯(lián)思維，應(yīng)對(duì)考研中 “線性方程組” 的高頻大題。

5. 第五章 特征值與特征向量（線代高頻考點(diǎn)）

針對(duì) “特征值與特征向量” 的定義、性質(zhì)與應(yīng)用：

講解特征值與特征向量的求解方法（解特征方程 | A-λE|=0 求特征值，解齊次方程組 (A-λE) X=0 求特征向量）；

延伸到矩陣的相似對(duì)角化（相似矩陣的定義、性質(zhì)，矩陣可相似對(duì)角化的條件），為后續(xù)二次型（數(shù)一數(shù)三考綱要求）學(xué)習(xí)鋪墊，貼合考研中 “特征值與特征向量” 的大題考點(diǎn)。

三、課程特色與學(xué)習(xí)價(jià)值

零基礎(chǔ)友好，層層遞進(jìn)：從預(yù)備知識(shí)切入，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)均從 “定義→定理→例題” 逐步拆解，避免跳躍式講解，零數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)員可跟隨節(jié)奏逐步消化，無(wú)需擔(dān)心 “跟不上”；

重概念更重解題：湯家鳳老師擅長(zhǎng) “用例題講方法”，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)后均配套典型例題（基礎(chǔ)題、中檔題），解析解題步驟與思路，幫助學(xué)員從 “理解概念” 過(guò)渡到 “會(huì)做題、做對(duì)題”；

貼合考研考綱，考點(diǎn)明確：課程內(nèi)容嚴(yán)格對(duì)標(biāo)考研數(shù)學(xué)大綱，剔除超綱內(nèi)容，重點(diǎn)突出高頻考點(diǎn)（如中值定理、積分計(jì)算、線性方程組、特征值），幫助學(xué)員節(jié)省備考時(shí)間，精準(zhǔn)發(fā)力；

體系化構(gòu)建，拒絕零散：每個(gè)模塊結(jié)尾均隱含 “知識(shí)串聯(lián)” 邏輯（如 “導(dǎo)數(shù)→中值定理→積分” 的關(guān)聯(lián)、“矩陣→向量→線性方程組” 的銜接），幫助學(xué)員構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)框架，避免 “學(xué)了后面忘前面”。

四、適用人群

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱（如本科未學(xué)高數(shù) / 線代、中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差）的考研學(xué)子；

備考初期（基礎(chǔ)階段）需要系統(tǒng)梳理考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、打牢基礎(chǔ)的學(xué)員；

對(duì)高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)概念模糊，想從 “零” 開(kāi)始建立解題思維的考生；

目標(biāo)分?jǐn)?shù)中等偏上（如數(shù)學(xué)想考 90+），需要扎實(shí)基礎(chǔ)支撐后續(xù)強(qiáng)化沖刺的學(xué)員。