第一章

1、矩陣乘法

矩陣乘法通常滿足分配律

而一般不滿足交換律

即 AB!=BA

f(x),g(x)為多項(xiàng)式，有：

f(A)g(A)=g(A)f(A)

f(A)g(B)!=g(B)f(A)

2、矩陣的轉(zhuǎn)置

（A+B)^T=A^T+B^T

（AB)^T=B^TA^T

（kA)^T=kA^T

（A^T)^T=A

若A^t=-A 稱A為反對(duì)稱矩陣

（斜對(duì)稱矩陣）

任意n階方陣都可以寫成對(duì)稱矩陣和

反對(duì)稱矩陣之和。

3、矩陣的初等變換

4、逆矩陣

B唯一，B的逆為A。

(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）

(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）

①A可逆

②AX=0只有零解

③Ab=0有唯一解 

  〔①、③即為克拉默法則〕

④A≌Ⅰ（等價(jià)）

最簡(jiǎn)判斷方法：det!=0

逆矩陣求法：

（A , I）—→（I , A^(-1））

5、分塊矩陣  （注意使用即可）

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第二章

1、性質(zhì)（①、②為矩陣的某兩行）

某一行全為零，det=0

某兩行對(duì)應(yīng)元成比例，則det=0

①→k·①，則det→k·det

①→k·②+①，則det不變

①←→②，則det→（-det）

detA=det（A^T）

detA^-1=1/detA

detAB…N=detAdetB……detN

det（kA）=k^n（detA）

#伴隨矩陣的性質(zhì)y

推導(dǎo)基礎(chǔ)：AA*=A*A=（detA）Ⅰ

若A可逆，則A^(-1) = (1/detA)A*

det(A*）=（detA)^(n-1）

(kA)*=k^(n-1）A*

(A*)^(-1）= A^(-1)*

(A^T)* =（A*)^T

(AB)* = B*A*

(A*)*=(detA)^(n-2) A

r(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA

2、矩陣的秩

定義：矩陣A的非零子式的最高階

數(shù)稱為A的秩，零矩陣的秩為0。

性質(zhì)：

A可逆←→R（A）=n

R（A）=0←→A=0

R（A）=R（A^T）

k≠0時(shí)，R（kA）=R（A）

若P,Q為可逆矩陣，則R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）

A≌B←→R（A）=R（B）

（1) 有：初等變換不改變矩陣的秩

經(jīng)過行初等變化把矩陣換為行最簡(jiǎn)，

即可得到秩。

（2）加邊子式法（從定義出發(fā)）

如找到一個(gè)r階子式M!=0,

那么僅需計(jì)算r+1階子式，

即子式的加邊，

如果他們都等于零，那么rankA=r

補(bǔ)充:R(A+B)<=R(A)+R(B)

Max{R(A),R(B)}<=R[(A,B)]

<=R(A)+R(B)

R(AB)<=min{R(A),R(B)}

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第三章

1、向量

內(nèi)積，外積，混合積

幾何意義：

外積：平行四邊形的面積

混合機(jī)：平行六面體的體積

2、平面與直線的方程

平面的方程：

點(diǎn)法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

【過點(diǎn)（x0 , y0, z0），

   法向量n=(A, B, C)】

一般式:Ax+By+Cz+D=0

【法向量n=(A, B, C)】

截距式: x/a + y/b + z/c = 1

【平面在x,y,z軸上的截距分別為a,b,c】

直線的方程 ：

點(diǎn)向式:（x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p

【過點(diǎn)（x0, y0, z0），

   方向向量n=（A, B, C）】

參數(shù)方程:①x=x0+mt       ②y=y0+nt

③z=z0+pt

3、平面，直線 位置關(guān)系

直線與直線：關(guān)注s1,s2,

(方向向量)m1m2的關(guān)系，

注意混合積的使用

平面與平面：A1/A2,B1/B2,

C1/C2,D1/D2 的等式關(guān)系

直線與平面

公式 ：平面平面夾角  

點(diǎn)到平面的距離  

直線直線的夾

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第四章

1、向量的線性組合

2、向量組的線性相關(guān)性

等價(jià)命題  A=(α1……αn）:

1. α1,……,αn 線性 相關(guān) / 無關(guān)

2. Ax=0 有非零解 / 只有零解

3. det(A) = 0 / !=0

4. R(A) < n / R(A) = n

推論：設(shè)m維向量組α1……αn,

n>m,則α1……αn 必線性相關(guān)。

典型列：

將題目α1……αn線性相關(guān)與否

轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)行列式值或矩陣的秩的

問題，使得問題簡(jiǎn)化。

定理：

向量組中有一部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。

向量組α1……αm線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個(gè)

3、向量組的秩與極大無關(guān)組

定義:向量組T中α1,α2,…,αr線性無關(guān)，

而且T中任意r+1個(gè)向量都線性相關(guān)，

則α1,α2,…,αr為T的一個(gè)最大無關(guān)組，

數(shù)r稱為向量組T的秩。

(推論: 向量組的任意一個(gè)最大無關(guān)組

都與這個(gè)向量本身等價(jià)）

幾個(gè)相關(guān)結(jié)論：

矩陣A的秩=A的行向量組的秩=A的列向量組的秩（應(yīng)用于求解最大無關(guān)組）

設(shè)向量組α1,α2,…,αr可由向量組β1,β2,…,βs線性表出，若α1,α2,…,αr線性無關(guān)，則r≤s 若α1,α2,…,αr線性相關(guān)，則r＞s

兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)相同，等價(jià)向量組有相同的秩，但秩相同的兩個(gè)向量組不一定等價(jià)

4、線性方程組

齊次：

AX=0解向量的線性組合也是它的解

解空間的基稱為基礎(chǔ)解系（只有齊次線性方程組有非零解即系數(shù)矩陣為降秩矩陣時(shí)才存在基礎(chǔ)解系），基礎(chǔ)解系都線性無關(guān)，且能夠線性表出任一解向量。

基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)=解空間的維數(shù)=n-r，(n為方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)，r為系數(shù)矩陣的秩）

齊次線性方程組的通解：

X=k1ξ1+k2ξ2+…+knξn

(k1,k2,…，kn為常數(shù)）

非齊次：

若η1，η2是方程組AX=b的解，則η1-η2是其導(dǎo)出組AX=0的解。

若η是AX=b的解，ξ是AX=0的解，則η+ξ是AX=b的解。

若η。是AX=b的一個(gè)特解，ξ是AX=0的一個(gè)解，則AX=b的任一解η可表示為η=η。+ξ

非齊次線性方程組的通解：X=η。+k1ξ1+k2ξ2+…+k（n-r）ξn（n-r）(k1,k2,…，k（n-r）為常數(shù)）

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第五章

1、特征值與特征向量

定義: 若Aα=λα,則λ是A一個(gè)特征值，

α為A對(duì)應(yīng)于特征值λ的一個(gè)特征向量

性質(zhì)：方程n個(gè)特征值之和等于方程

的組隊(duì)角元之和，(跡)n個(gè)特征值

之積等于方程的行列式。

計(jì)算：（λⅠ-A)X=0 

導(dǎo)出λ1……λn （注意重根）

以及相應(yīng)的特征向量

（注意取值時(shí)的線性無關(guān)性）

2、相似矩陣

定義：

如果存在可逆矩陣P使得

B=P^(-1）AP，

則稱A與B相似（A∽B）。

相似對(duì)角化：

n階矩陣A與對(duì)角矩陣diag（λ1,λ2,…,λn）相似←→λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值。

若A的特征值都是單根，則A與對(duì)角矩陣相似。

n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似←→A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

步驟：

計(jì)算‖λⅠ-A‖，求出A的全部特征值λ1,λ2,…,λn

分別求出（λⅠ-A）X=0的基礎(chǔ)解系

以A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量為列向量構(gòu)成可逆矩陣P=(α1,α2,…,αn),

則P^(-1)AP=diag（λ1,λ2,…,λn)。

實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化

性質(zhì): ①實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。

定理: 任一n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在一個(gè)正交矩陣C。

3、 n維向量的正交性

向量的內(nèi)積：

設(shè)α=（a1,a2,…,an）,

β=（b1,b2,…,bn）,

(α，β)=αβ^T稱為α與β的內(nèi)積。

正交矩陣定義：

若實(shí)矩陣A滿足AA^T=A^TA=Ⅰ，

則稱A為正交矩陣。

性質(zhì)：

A為正交矩陣←→A^T=A^(-1）

A為正交矩陣，則detA=±1

A,B為正交矩陣，則AB也是正交矩陣

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第六章

1、實(shí)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

將二次型表示為f(X)=X^tAX

X=CY  線性變換

矩陣的合同：A,B為n階方陣，

如果存在可逆矩陣C，

使得B=C^TAC，則稱A與B合同。

標(biāo)準(zhǔn)形: d1y1^2+d2y2^2+…+dnyn^2

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

2、正定二次型與正定矩陣

相關(guān)概念：

設(shè)f(X)=X^TAX是實(shí)二次型，

如果任一非零實(shí)向量X，

都有f(X)=X^TAX＞0，

則稱f(X)為正定二次型，

f(X)的矩陣A稱為正定矩陣。

正定二次型的判定（以下幾點(diǎn)等價(jià)）：

二次型f(X)=X^TAX為正定二次型（或者說，A是正定矩陣）

矩陣A的特征值全為正實(shí)數(shù)

f(X)的正慣性指數(shù)為n，即各項(xiàng)系數(shù)都大于0

矩陣A與單位矩陣Ⅰ合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CC^T

A的各階順序主子式全大于零

曲面與空間直線

與x軸平行，方程形式：f(y,z）=0

與y軸平行，方程形式：f(x,z）=0

與z軸平行，方程形式：f(x,y）=0

旋轉(zhuǎn)曲面：空間曲線c(曲面的母線)

繞一條定直線l(旋轉(zhuǎn)軸)旋轉(zhuǎn)一周得到

變換口訣：“繞誰旋轉(zhuǎn)，誰就不變”

例：yOz平面上的曲線f(y,z)=0(x=0)

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面的

方程為f(±(x^2+y^2)^(1/2)), z)=0。

二次曲面（即關(guān)于x,y,z的二次方程表示的方程）：

橢球面:

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

（a=b=c時(shí)則為球面）

拋物面：①橢圓拋物面：

z=x^2/(2p)+y^2/(2q)（pq>0）

雙曲面: ①單葉雙曲面:

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1