第一章
1、矩陣乘法
矩陣乘法通常滿足分配律
而一般不滿足交換律
即 AB!=BA
f(x),g(x)為多項式，有：
f(A)g(A)=g(A)f(A)
f(A)g(B)!=g(B)f(A)
2、矩陣的轉(zhuǎn)置
（A+B)^T=A^T+B^T
（AB)^T=B^TA^T
（kA)^T=kA^T
（A^T)^T=A
若A^t=-A 稱A為反對稱矩陣
（斜對稱矩陣）
任意n階方陣都可以寫成對稱矩陣和
反對稱矩陣之和。
3、矩陣的初等變換
4、逆矩陣
B唯一，B的逆為A。
(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）
(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）
①A可逆
②AX=0只有零解
③Ab=0有唯一解
〔①、③即為克拉默法則〕
④A≌Ⅰ（等價）
最簡判斷方法：det!=0
逆矩陣求法：
（A , I）—→（I , A^(-1））
5、分塊矩陣 （注意使用即可）
圖片
第二章
1、性質(zhì)（①、②為矩陣的某兩行）
某一行全為零，det=0
某兩行對應元成比例，則det=0
①→k·①，則det→k·det
①→k·②+①，則det不變
①←→②，則det→（-det）
detA=det（A^T）
detA^-1=1/detA
detAB…N=detAdetB……detN
det（kA）=k^n（detA）
#伴隨矩陣的性質(zhì)y
推導基礎：AA*=A*A=（detA）Ⅰ
若A可逆，則A^(-1) = (1/detA)A*
det(A*）=（detA)^(n-1）
(kA)*=k^(n-1）A*
(A*)^(-1）= A^(-1)*
(A^T)* =（A*)^T
(AB)* = B*A*
(A*)*=(detA)^(n-2) A
r(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA 2、矩陣的秩 定義：矩陣A的非零子式的最高階 數(shù)稱為A的秩，零矩陣的秩為0。 性質(zhì)： A可逆←→R（A）=n R（A）=0←→A=0 R（A）=R（A^T） k≠0時，R（kA）=R（A） 若P,Q為可逆矩陣，則R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ） A≌B←→R（A）=R（B） （1) 有：初等變換不改變矩陣的秩 經(jīng)過行初等變化把矩陣換為行最簡， 即可得到秩。 （2）加邊子式法（從定義出發(fā)） 如找到一個r階子式M!=0, 那么僅需計算r+1階子式， 即子式的加邊， 如果他們都等于零，那么rankA=r 補充:R(A+B)<=R(A)+R(B) Max{R(A),R(B)}<=R[(A,B)] <=R(A)+R(B) R(AB)<=min{R(A),R(B)} 圖片 第三章 1、向量 內(nèi)積，外積，混合積 幾何意義： 外積：平行四邊形的面積 混合機：平行六面體的體積 2、平面與直線的方程 平面的方程： 點法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 【過點（x0 , y0, z0）， 法向量n=(A, B, C)】 一般式:Ax+By+Cz+D=0 【法向量n=(A, B, C)】 截距式: x/a + y/b + z/c = 1 【平面在x,y,z軸上的截距分別為a,b,c】 直線的方程 ： 點向式:（x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p 【過點（x0, y0, z0）， 方向向量n=（A, B, C）】 參數(shù)方程:①x=x0+mt ②y=y0+nt ③z=z0+pt 3、平面，直線 位置關系 直線與直線：關注s1,s2, (方向向量)m1m2的關系， 注意混合積的使用 平面與平面：A1/A2,B1/B2, C1/C2,D1/D2 的等式關系 直線與平面 公式 ：平面平面夾角 點到平面的距離 直線直線的夾 圖片 第四章 1、向量的線性組合 2、向量組的線性相關性 等價命題 A=(α1……αn）: 1. α1,……,αn 線性 相關 / 無關 2. Ax=0 有非零解 / 只有零解 3. det(A) = 0 / !=0 4. R(A) < n / R(A) = n 推論：設m維向量組α1……αn, n>m,則α1……αn 必線性相關。 典型列： 將題目α1……αn線性相關與否 轉(zhuǎn)變?yōu)閷π辛惺街祷蚓仃嚨闹鹊?/p> 問題，使得問題簡化。 定理： 向量組中有一部分向量線性相關，則整個向量組線性相關。 向量組α1……αm線性相關的充分必要條件是其中至少有一個 3、向量組的秩與極大無關組 定義:向量組T中α1,α2,…,αr線性無關， 而且T中任意r+1個向量都線性相關， 則α1,α2,…,αr為T的一個最大無關組， 數(shù)r稱為向量組T的秩。 (推論: 向量組的任意一個最大無關組 都與這個向量本身等價） 幾個相關結論： 矩陣A的秩=A的行向量組的秩=A的列向量組的秩（應用于求解最大無關組） 設向量組α1,α2,…,αr可由向量組β1,β2,…,βs線性表出，若α1,α2,…,αr線性無關，則r≤s 若α1,α2,…,αr線性相關，則r＞s 兩個等價的線性無關向量組所含向量個數(shù)相同，等價向量組有相同的秩，但秩相同的兩個向量組不一定等價 4、線性方程組 齊次： AX=0解向量的線性組合也是它的解 解空間的基稱為基礎解系（只有齊次線性方程組有非零解即系數(shù)矩陣為降秩矩陣時才存在基礎解系），基礎解系都線性無關，且能夠線性表出任一解向量。 基礎解系所含向量的個數(shù)=解空間的維數(shù)=n-r，(n為方程組的未知數(shù)個數(shù)，r為系數(shù)矩陣的秩） 齊次線性方程組的通解： X=k1ξ1+k2ξ2+…+knξn (k1,k2,…，kn為常數(shù)） 非齊次： 若η1，η2是方程組AX=b的解，則η1-η2是其導出組AX=0的解。 若η是AX=b的解，ξ是AX=0的解，則η+ξ是AX=b的解。 若η。是AX=b的一個特解，ξ是AX=0的一個解，則AX=b的任一解η可表示為η=η。+ξ 非齊次線性方程組的通解：X=η。+k1ξ1+k2ξ2+…+k（n-r）ξn（n-r）(k1,k2,…，k（n-r）為常數(shù)） 圖片 第五章 1、特征值與特征向量 定義: 若Aα=λα,則λ是A一個特征值， α為A對應于特征值λ的一個特征向量 性質(zhì)：方程n個特征值之和等于方程 的組隊角元之和，(跡)n個特征值 之積等于方程的行列式。 計算：（λⅠ-A)X=0 導出λ1……λn （注意重根） 以及相應的特征向量 （注意取值時的線性無關性） 2、相似矩陣 定義： 如果存在可逆矩陣P使得 B=P^(-1）AP， 則稱A與B相似（A∽B）。 相似對角化： n階矩陣A與對角矩陣diag（λ1,λ2,…,λn）相似←→λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值。 若A的特征值都是單根，則A與對角矩陣相似。 n階矩陣A與對角矩陣相似←→A有n個線性無關的特征向量。 步驟： 計算‖λⅠ-A‖，求出A的全部特征值λ1,λ2,…,λn 分別求出（λⅠ-A）X=0的基礎解系 以A的n個線性無關的特征向量為列向量構成可逆矩陣P=(α1,α2,…,αn), 則P^(-1)AP=diag（λ1,λ2,…,λn)。 實對稱矩陣的相似對角化 性質(zhì): ①實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。 定理: 任一n階實對稱矩陣A，都存在一個正交矩陣C。 3、 n維向量的正交性 向量的內(nèi)積： 設α=（a1,a2,…,an）, β=（b1,b2,…,bn）, (α，β)=αβ^T稱為α與β的內(nèi)積。 正交矩陣定義： 若實矩陣A滿足AA^T=A^TA=Ⅰ， 則稱A為正交矩陣。 性質(zhì)： A為正交矩陣←→A^T=A^(-1） A為正交矩陣，則detA=±1 A,B為正交矩陣，則AB也是正交矩陣 圖片 第六章 1、實二次型及其標準形 將二次型表示為f(X)=X^tAX X=CY 線性變換 矩陣的合同：A,B為n階方陣， 如果存在可逆矩陣C， 使得B=C^TAC，則稱A與B合同。 標準形: d1y1^2+d2y2^2+…+dnyn^2 用正交變換化二次型為標準型 2、正定二次型與正定矩陣 相關概念： 設f(X)=X^TAX是實二次型， 如果任一非零實向量X， 都有f(X)=X^TAX＞0， 則稱f(X)為正定二次型， f(X)的矩陣A稱為正定矩陣。 正定二次型的判定（以下幾點等價）： 二次型f(X)=X^TAX為正定二次型（或者說，A是正定矩陣） 矩陣A的特征值全為正實數(shù) f(X)的正慣性指數(shù)為n，即各項系數(shù)都大于0 矩陣A與單位矩陣Ⅰ合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CC^T A的各階順序主子式全大于零 曲面與空間直線 與x軸平行，方程形式：f(y,z）=0 與y軸平行，方程形式：f(x,z）=0 與z軸平行，方程形式：f(x,y）=0 旋轉(zhuǎn)曲面：空間曲線c(曲面的母線) 繞一條定直線l(旋轉(zhuǎn)軸)旋轉(zhuǎn)一周得到 變換口訣：“繞誰旋轉(zhuǎn)，誰就不變” 例：yOz平面上的曲線f(y,z)=0(x=0) 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面的 方程為f(±(x^2+y^2)^(1/2)), z)=0。 二次曲面（即關于x,y,z的二次方程表示的方程）： 橢球面: x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 （a=b=c時則為球面） 拋物面：①橢圓拋物面： z=x^2/(2p)+y^2/(2q)（pq>0） 雙曲面: ①單葉雙曲面: x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1
