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高中整套數(shù)學(xué)培訓(xùn)視頻教學(xué)，名師進(jìn)行指導(dǎo)！

1 元素與集合的關(guān)系:,.

2 集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè)；真子集有個(gè)；非空子集有個(gè)；非空的真子集有個(gè).

3 二次函數(shù)的解析式的三種形式：

(1) 一般式 ;

(2) 頂點(diǎn)式 ;（當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)為此式）

(3) 零點(diǎn)式；（當(dāng)已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)為此式）

（4）切線式：。（當(dāng)已知拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)為此式）

4 真值表：同真且真，同假或假

5 常見(jiàn)結(jié)論的否定形式;

原結(jié)論	反設(shè)詞	原結(jié)論	反設(shè)詞
是	不是	至少有一個(gè)	一個(gè)也沒(méi)有
都是	不都是	至多有一個(gè)	至少有兩個(gè)
大于	不大于	至少有個(gè)	至多有（）個(gè)
小于	不小于	至多有個(gè)	至少有（）個(gè)
對(duì)所有，成立	存在某，不成立	或	且
對(duì)任何，不成立	存在某，成立	且	或

6 四種命題的相互關(guān)系(下圖):（原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.）

原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題

若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ

　　　　　　　互　　　　　　　互

　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互

　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否

　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　否　　　　　　否

否命題　　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　

若非ｐ則非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ

充要條件： (1)、，則P是q的充分條件，反之，q是p的必要條件；

（2）、，且q ≠> p，則P是q的充分不必要條件；

(3)、p ≠> p ，且，則P是q的必要不充分條件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p，則P是q的既不充分又不必要條件。

7 函數(shù)單調(diào)性:

增函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而增大。

（2）、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè)f（x）在x D上有定義，若對(duì)任意的，都有

成立，則就叫f（x）在x D上是增函數(shù)。D則就是f（x）的遞增區(qū)間。

減函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。

（2）、數(shù)學(xué)符號(hào)表述是：設(shè)f（x）在x D上有定義，若對(duì)任意的，都有

成立，則就叫f（x）在x D上是減函數(shù)。D則就是f（x）的遞減區(qū)間。

單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；（2）、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；

(3)、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；(4)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號(hào)左邊兩個(gè)函數(shù)定義域的交集。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

函數(shù) 單調(diào)	單調(diào)性
內(nèi)層函數(shù)	↓	↑	↑	↓
外層函數(shù)	↓	↑	↓	↑
復(fù)合函數(shù)	↑	↑	↓	↓

等價(jià)關(guān)系：

(1)設(shè)那么

上是增函數(shù)；

上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).

8函數(shù)的奇偶性：（注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

奇函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有，

則f（x）就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：（1）、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

（2）、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；

（3）、定義在R上的奇函數(shù)，有f（0）=0 .

偶函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有，則f（x）就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：（1）、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

（2）、偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

(1)、奇函數(shù)·偶函數(shù)=奇函數(shù)； （2）、奇函數(shù)·奇函數(shù)=偶函數(shù)；

(3)、偶奇函數(shù)·偶函數(shù)=偶函數(shù)； (4)、奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)（也有例外得偶函數(shù)的）

(5)、偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)； (6)、奇函數(shù)±偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

9函數(shù)的周期性：

定義：對(duì)函數(shù)f（x），若存在T 0，使得f（x+T）=f（x），則就叫f（x）是周期函數(shù)，其中，T是f（x）的一個(gè)周期。

周期函數(shù)幾種常見(jiàn)的表述形式：

(1)、f（x+T）= - f（x），此時(shí)周期為2T ；

（2）、 f（x+m）=f（x+n），此時(shí)周期為2 ；

(3)、，此時(shí)周期為2m 。

10常見(jiàn)函數(shù)的圖像：

11 對(duì)于函數(shù) (),恒成立,則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是 ;兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

12 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的性質(zhì)：

(1)（，且）.

（2）（，且）.

（3） .

（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， .

13 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式:_.

指數(shù)性質(zhì)：

(1)1、； （2）、（）； (3)、

(4)、； (5)、；

指數(shù)函數(shù)：

(1)、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注： 指數(shù)函數(shù)圖象都恒過(guò)點(diǎn)（0，1）

對(duì)數(shù)性質(zhì)：

(1)、；（2）、；

(3)、；(4)、； (5)、

(6)、； (7)、

對(duì)數(shù)函數(shù)：

(1)、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

（2）、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象都恒過(guò)點(diǎn)（1，0）

(3)、

(4)、或

14 對(duì)數(shù)的換底公式 : (,且,_且,).,

對(duì)數(shù)恒等式： (,且,).

推論 (,且,).

15對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) 。

16 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題（負(fù)增長(zhǎng)時(shí)）：

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為，則對(duì)于時(shí)間的總產(chǎn)值，有 .

17 等差數(shù)列：

通項(xiàng)公式： （1），其中為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)數(shù)，為末項(xiàng)。

（2）推廣：

（3）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

前n項(xiàng)和：（1）；其中為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)，為末項(xiàng)。

（2）

（3）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

（4）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q ，則有；

注：若的等差中項(xiàng)，則有2 n、m、p成等差。

（2）、若、為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列。

（3）、為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則也成等差數(shù)列。

（4）、；

（5） 1+2+3+…+n=

等比數(shù)列：

通項(xiàng)公式：（1），其中為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù)，q為公比。

（2）推廣：

（3）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

前n項(xiàng)和：（1）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

（2）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）

（3）

常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q ，則有；

注：若的等比中項(xiàng)，則有 n、m、p成等比。

（2）、若、為等比數(shù)列，則為等比數(shù)列。

18分期付款(按揭貸款) ：每次還款元(貸款元,次還清,每期利率為 ).

19三角不等式：

（1）若，則 .

(2) 若，則 .

(3) .

20 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：， =，

21 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）

22 和角與差角公式

;;

(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定, ).

23 二倍角公式及降冪公式

24 三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期 .

三角函數(shù)的圖像：

25 正弦定理：（R為外接圓的半徑）.

26余弦定理：

;;.

27面積定理：

（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.

（2） .

(3) .

28三角形內(nèi)角和定理：

在△ABC中，有

29實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么：

(1) 結(jié)合律：λ(μ )=(λμ) ;

(2)第一分配律：(λ+μ) =λ +μ ;

(3)第二分配律：λ( +)=λ +λ .

30與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：· =||||。

31平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)設(shè)= ,=，則+= .

(2)設(shè)= ,=，則-= .

(3)設(shè)A，B ,則 .

(4)設(shè)=，則= .

(5)設(shè)= ,=，則·= .

32 兩向量的夾角公式：

(= ,= ).

33 平面兩點(diǎn)間的距離公式：

=(A，B).

34 向量的平行與垂直：設(shè)= ,=，且，則：

||=λ .（交叉相乘差為零）

() · =0.（對(duì)應(yīng)相乘和為零）

35 線段的定比分公式：設(shè)，，是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù)，且，則

（）.

36三角形的重心坐標(biāo)公式： △ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、 ,則△ABC的重心的坐標(biāo)是 .

37三角形五“心”向量形式的充要條件：

設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，則

（1）為的外心 .

（2）為的重心 .

（3）為的垂心 .

（4）為的內(nèi)心 .

（5）為的的旁心 .

38常用不等式：

（1） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

（2） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．

（3）

（4） .

（5） (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))。

39極值定理:已知都是正數(shù)，則有

（1）若積是定值，則當(dāng)時(shí)和有最小值；

（2）若和是定值，則當(dāng)時(shí)積有最大值 .

（3）已知，若則有

。

（4）已知，若則有

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