高等數學 同濟大學 李雨生等主講

高等數學課程是高等工科院校各專業(yè)學生必修的重要的基礎理論課。為學生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，抽象思維和邏輯思維能力，為學生進一步學習后繼課程打下扎實的基礎。

1．函數、極限、連續(xù)

    理解函數的概念；了解函數的單調、有界、周期和奇偶等特性的含義；了解反函數、復合函數和函數的概念；熟悉基本初等函數的性質與圖形；會建立簡單實際問題中的函數關系；了解各類極限的概念；了解極限與單側極限的關系；掌握極限的性質和運算法則；掌握極限存在的準則(夾逼定理、單調有界極限存在定理)并會運用它們求極限；理解無窮小、無窮大的概念，會確定無窮小的階和利用等價無窮小求極限；理解函數連續(xù)的概念，會判斷間斷點的類型；了解初等函數的連續(xù)性；知道閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質并能應用于簡單問題；演示與實驗(一)。

    2．一元函數微分學

    理解導數和微分的概念；了解導數的幾何意義和作為變化率的其他一些實例；了解函數的可導與連續(xù)之間的關系；了解高階導數的概念；變化率司題和相關變化率；熟悉導數和微分的四則運算法則和復合運算的鏈法則；熟悉基本初等函數的導數公式表，能熟練求初等函數的一階和二階導數；會求隱函數和參數形式函數的一階和二階導數；演示與實驗(二)，理解rolle定理、lagrange定理和taylor定理，了解cauchy定理，并會應用它們解決一些簡單問題。掌握用導數判斷(或求)函數的單調性、極值點和最值點的方法，掌握函數凸性的判斷和圖形拐點的求法，會求函數圖形的漸近線，會描繪函數圖形；掌握用l’hospital法則求極限的方法；知道曲率和曲率半徑的概念并會計算；知道利用導數和微分進行近似計算和求方程的近似根；演示與實驗(三)。

    3．一元函數積分學

    了解定積分概念的實際背景，了解不定積分的概念；理解定積分和不定積分的性質；理解變上限積分的意義與性質；理解并熟悉newton-leibniz公式；掌握換元積分和分部積分法；知道有理函數、三角函數和簡單無理函數積分的一般方法；了解廣義積分的概念并能進行計算；了解定積分的近似計算方法；演示與實驗(四)；掌握用定積分表達和汁算一些幾何何量與物理量(平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力和函數平均值等)和其他應用，并能解決一些實際問題。

    4．常微分方程

    了解微分方程的基本概念；會解一階變量可分離方程、齊次方程、線性方程、bernoulli方程，并能應用于解決一些實際問題。會通過降階法解特殊的高階方程；了解一般線性微分方程的特性和解集合的結構；掌握二階常系數齊次方程的解法和某些二階常系數非齊次方程(自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數及它們的和與積)的解法；會解ruler方程；會解兩個未知函數的一階常系數微分方程組；知道微分方程的冪級數解法；會用微分方程(或方程組)解——些重要實際的問題；演示與實驗(五)。

    5．向量代數和空間解析幾何

    理解向量的概念；掌握向量的的各種運算并了解相應的幾何意義；掌握向量夾角的求法和向量平行、垂直的條件；理解空間直角坐標系的概念；熟悉向量、單位向量和方向余弦的坐標表示；熟練掌握用坐標進行向量各種運算的方法；熟悉平面和直線的各種方程及其求法；了解曲面方程的概念；了解常用二次曲面的方程和圖形，會求繞坐標軸的旋轉面和以坐標軸為母線的柱面的方程；了解空間曲線的參數方程和——般方程；了解空間曲線在坐標平面上的投影并會求方程；演示與實驗(六)。

    6．多元函數微分學

    理解多元函數的概念；知道二元函數的極限、連續(xù)的概念和有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質；理解偏導數、方向導數和全微分的概念，了解梯度的概念，并了解它們之間的關系和計算法；掌握復合函數 (包括隱函數)一、二階偏導數的求法；了解全微分存在的充分條件扣必要條件；了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，并會求它們的方程；知道二元函數taylor公式；理解多元函數極值和條件極值的概念，會求二元函數的極值和用lagrange乘數法求條件極值并能應用它求簡單的實際問題；演示與實驗(七)。

    7．多元函數積分學

    理解重積分的概念；了解重積分的性質；掌握二重積分(直角坐標、極坐標)和三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)的計算方法；演示與實驗(八)；理解兩類曲線積分的概念并了解它們的性質和關系；掌握兩類曲線積分的計算方法；熟悉green公式的形式和意義；會應用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分的原函數；會解全微分方程和某些有簡單積分因子的微分方程；曲面的參數方程；了解兩類曲面積分的概念、性質和關系；了解gauss公式和stokes公式的形式和意義并應用于計算，知道gauss公式(以及green公式)的向量形式；知道散度和旋度的概念和計算；會應用重積分、曲面積分和曲線積分解決幾何上、物理上的有關問題；演示與實驗(九)。

    8．無窮級數

    理解無窮級數收斂、發(fā)散以及和的概念，了解級數的基本性質和收斂必要條件；熟悉幾何級數和p級數的收斂性；掌握正項級數的比較審斂法和比值審斂法(尤其是比值法)；掌握交錯級數的leibniz定理；了解級數絕對收斂和條件收斂的概念以及它們的關系；了解函數項級數的收斂、收斂域以及和函數的概念；掌握冪級數收斂半徑和收斂域的求法；了解冪級數在其收斂區(qū)間的基本性質并能由此求出某些冪級數的和函數；知道函數展開為taylor級數的充要條件，掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和ln(1-x)的maclaurin展開式，并能利用它們將一些簡單函數展開為冪級數；會用冪級數進行簡單的近似計算；了解fourier級數的概念和函數逆行fourier展開的充分條件(circlet定理)，并能將定義在[-l，l]上的函數展開為fourier級數和將定義在[0，1]上的函數展開為正弦或余弦級數，能寫出某些fourier級數的和函數；演示與實驗(十)。